大学数学概率统计概念定义归纳

PAGEPAGE10一、随机事件及其概率1.（基本概念）随机事件定义（特点：1.试验可以在相同条件下重复进行；2.结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；3.在一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。常记为Ω事件，事件发生与否，必然事件，不可能事件事件（定义：在试验中，可能发生也可能不发生的事件称为随机随机事件，简；从数学意义上讲，就是样本空间的子集。事件通常用大写英文字母表示。在一次试验中，若试验结果ω∈A，则称这次试验中事件A发生了，否则称事件A没有发生。的。有两个特殊的事件：样本空间本身，每次试验一定发生，称为是必然事件；空集也是Ω的子集，也能称为事件，每次试验一定不会发生，称为不可能事件。事件域：就是所谓运算的封闭性。还是事件，则把这个集合类称为事件域。约定随机试验的事件构成事件域，通常记为F。事件的概率FPAA的概率。EE3P(A)A的概率。1. 非负性：0≤P(A)≤1；2.规范性：P(A)=1；2. 可列可加性：设A1,A2,….An…..是两两互不相容事件，则有2.2.（基本理论）事件的运算及运算定律ABA∪B=（x|x∈Ax∈B）A+B积事件：事件A与事件BA∩B=（x|x∈Ax∈B）AB求逆：A∪B=SAB=∅AAB生。记为事件的三种关系运算：相等：若A包含：互斥;ABAB=∅事件的运算定律：交换律：A∪B=B∪A,AB=BA结合律：分配律：易证等式概率的运算性质：3.（基本方法：标号和不同颜色，摸球可分为有放回摸球和无放回摸球。二、条件概率与事件的独立性基本概念条件概率：设A,B是两个事件，且P(A)＞0，则称P(B丨A)=为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。P(B)＞0BA件概率：P(AB)=事件的独立性A,B为两个事件，如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件AB互独立定理：ABA、A、AB3独立事件类的独立性（略）基本理论由条件概率演绎出乘法公式：对任意两个事件A,BP(B)＞0，则有P(AB)=P(B)P(AB)类似地，若P(A)＞0，有P(AB)=P(A)P(B丨A)全概率公式与贝叶斯公式及其推导全概率公式：全概率公式：B，B，...，BS1 2 n意事件A⊆S，有贝叶斯公式：设事件组B，B，...BΩ的一个完备事件组，则对任1 2 n意事件A⊆Ω，当P(A)＞0，P(Bi)＞0时，有3.基本方法利用全概率公式计算概率利用全概率公式简化贝叶斯公式三、随机变量及其分布1.基本概念ES（ee∈SX(e)SX(e)X=X(e).离散型随机变量及其分布律离散型随机变量定义XX两点分布：设随机变量X01适合：合格不合格，性别登记，发芽不发芽，下雨不下雨等只有两种结果的现象二项分布：泊松分布：设随机变量X所有可能取的值为0,1,2„,且概率分布为其中,λ＞0XλX～π(λ)适合：电话交换台一定时间内收到的呼叫次数，一本书一页中印刷错误次数，原子一定时间放射的粒子数，超市一定时间的顾客数。连续型随机变量及其概率密度函数定义：F(x)是随机变量Xf(x)，xXf(x)X均匀分布：设连续型随机变量X则称随机变量X在区间(a,b)上服从均匀分布，记作X～U(a,b)指数分布：若随机变量X具有概率密度其中，θ＞0，Xθ的指数分布适合：常用于可靠性统计研究，如电子元件寿命，随机服务系统的服务时间等。正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为μ和σ(σ＞0)Xμσ布或高斯分布2.(基本理论）分布函数的定义及性质定义：设XF(x)=P(X≤x)(-X性质：分布律的定义及性质XXk(k=1,2„),X律即事件(X=Xk)的概率为则称为离散型随机变量X的概率分布或分布律，可以表示为：性质：密度函数的定义及性质F(x)Xf(x)，xXf(x)X性质：证明几何分布和指数分布的无记忆性若X服从参数为θ的指数分布，则其分布函数为服从指数分布的随机变量X具有一下有趣的性质：对于任意s,t＞0有这条性质称为“无记忆性”3.（基本方法：利用分布函数，分布律，密度函数计算概率；求随机变量的线概率四、随机变量的数字特征数学期望离散型随机变量的数学期望定义：设离散型随机变量XP(X=k)=k（k=1，2，，称∑xkpk=x1p1+x2p2+...+xkpk+...为随机变量XE(X)。连续型随机变量的数学期望Xxf(x)dx则称此积分∫xf(x)dxXE(X)=xf(x)dx随机变量函数的数学期望设g(x)为连续函数，Y=g(X)也是随机变量X的函数XP(X=xk)=pk(k=1,2,...)Y的数学期望为E(Y)=E[g(X)]=∑g(xk)pkXf(x)Y的数学期望为E(Y)=E[g(X)]=∫g(x)f(x)dx方差定义：设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}存在，称E{[X-E(X)]2}为X的方差，记作D(X)，即D(X)=E{[X-E(X)]2}基本理论数学期望的性质E(C)=C(C为任意常数)E(CX)=CE(X)3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)4.X,YE(XY)=E(X)E(Y)方差的性质CD(C)=0CD(CX)=C2D(X)XYD(X+Y)=D(X)+D(Y)+2{[X-E(X)][Y-E(Y)]};XYD(X+Y)=D(X)+D(Y)3.基本方法五、多维随机变量1.基本概念多维随机变量：一般来说，设E是一个随机试验，它的样本空间是S=(e),设X1=X1(e),X2=X2(e)„Xn=Xn(e)是定义在S上的随机变量，由它n(X1,X2„Xn)nn机变量二维随机变量联合分布函数、联合分布律、联合密度函数二维随机变量联合分布函数：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x和y，二元函数F(x,y)= 称为二维随变量(X,Y)XY(X,Y)可能取的值是(Xi,Yi)(i,j=1,2„),P(X=Xi,Y=Yj)Pij,称为二维离散型随机变量(X,Y)XY性质：(X,Y)F(x,y)，f(x,y)x,y则称(X,Y)f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)XY性质：边缘分布函数：边缘分布律：设(X,Y)为二维离散型随机变量，分布律为P(X=Xi,Y=Yj)=PijXYXYPi.P.j，于是边缘密度函数：条件分布函数、条件分布律、条件密度函数条件分布率：设(X,YY=YjXX=XiY条件密度函数：设(X,Y)为连续型随机变量，并且其联合概率密度为f(x,y),若对于固定的有fy(y)＞0,则称 为在Y=y的条件下X的条件概率密度记作：协方差与协方差矩阵协方差：设(X,Y)为二维随机变量，若E{[X-E(X)][Y-E(Y)]