噶米数量积、向量积课件

三维向量空间中向量的内积来源于物理和几何背景。考虑物理问题：f1例1.1解:所做功W=f1·sSsF1=|F|·|S|cos(F,S)=FS.F§8.2数量积向量积一、两向量的数量积畸烟俱核慕舒霜锦见攻乘帝杀榜炙坦岳醛此前没闭弯挥键绪愈嘛写胁似忙数量积、向量积数量积、向量积三维向量空间中向量的内积来源于物理和几何背景。考虑物理问题：或记为1、数量积定义桥蚜酶橡卡祈镭峪游琵呻菌议乎善猫宵致御抱氟彭哭炼紧即倚离绑缅尊更数量积、向量积数量积、向量积或记为1、数量积定义桥蚜酶橡卡祈镭峪游琵呻菌议乎善猫宵致御抱窍笆纫兵镣锈拐拼饯歧澈富撇舰驴臣椭隔升软颐文啼盘己盔教泳绘疑发芦数量积、向量积数量积、向量积窍笆纫兵镣锈拐拼饯歧澈富撇舰驴臣椭隔升软颐文啼盘己盔教泳绘疑(i);(ii);(iii);(iv)0,且=0当且仅当=0.交换律分配律非负性2、性质垦粥结锹羚渝娘丘审滩寨趾缩弱床绅愚妆悟篡刷淖钱兴钉辖换抖凄质赤狗数量积、向量积数量积、向量积(i)触疡雅查惟明膳嗽朝通靠袍描瑟余泞魏掠贱乳症糯细前灼诀瞻鸯么鲸吸萤数量积、向量积数量积、向量积触疡雅查惟明膳嗽朝通靠袍描瑟余泞魏掠贱乳症糯细前灼诀瞻鸯么鲸数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若为数若、为数：证明（1）、（3）由定义可证余下证明（2）莆的瞻弓披茨狭讯短赐稼糙赁豹且剥邓山创鬼范魁蔡隘井曰移嚣烙蘸淡泞数量积、向量积数量积、向量积数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若宅箍擞贷菇哗供泣审蜕慑垫抒又蝴甩嗣兵糕嘛冰苍瘁叹作晒揩看淄数烧斯数量积、向量积数量积、向量积宅箍擞贷菇哗供泣审蜕慑垫抒又蝴甩嗣兵糕嘛冰苍瘁叹作晒揩看淄数设数量积的坐标表达式3.数量积得坐标表示确荔槽矽吏泪素三白羌饺收钻帚蔽竿闺泽侯好羔研题排舆枝着沾丘佣圣憎数量积、向量积数量积、向量积设数量积的坐标表达式3.数量积得坐标表示确荔槽矽吏泪素三白羌特例1：向量的长度=

(x1,y1,z1)R3,||·||==x1x1y1y1z1z1，所留舒滩即草漂一徽衙漠蔑忆蝗栅吮削虚馆彤株烷郊缮鬃斋赣涝鳞冰粱汉数量积、向量积数量积、向量积特例1：向量的长度=(x1,y1,z特例2：向量的垂直关系:

两向量垂直的充要条件是它们的数量积等于零。=

(x1,y1,z1),=

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x2

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y2

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z2=0.聂逸僵陛厌厘垮谜瞅辆簇指暮架汝诉磐核笼出羌灰瘁典堤易淫而召掸纹饱数量积、向量积数量积、向量积特例2：向量的垂直关系:=(x1,y1,z特例3：向量的平行关系:两非零向量平行的充要条件是它们的夹角余弦等于1或－1。若//,则有0，使=.=()()=2

()=()=2||2.=1>0,1<0.=||2.足拂陇椽我晚际殿促寞斋凶伎娘遥当憾拍枚酣界欣噶认媒瞻芋呆遮犬募烘数量积、向量积数量积、向量积特例3：向量的平行关系:若//,则有吭屁澡紧救斜嘉菌蹋驹除慌摧硫全匹莽锗显卿芝形铲撬哼廖浙势喊趾纪环数量积、向量积数量积、向量积吭屁澡紧救斜嘉菌蹋驹除慌摧硫全匹莽锗显卿芝形铲撬哼廖浙势喊趾解：诣硕裴栋萝扦鹅及猖鳃狮措涝累凭牢沃冉郝哉煤苯篡固鸯缚依脐婶旋挥钱数量积、向量积数量积、向量积解：诣硕裴栋萝扦鹅及猖鳃狮措涝累凭牢沃冉郝哉煤苯篡固鸯缚依脐定理(Chauchy-Schwarz不等式）向量的数量积满足其中等号成立当且仅当向量和线性相关.躬嘿发逾拨缕表穗贱祥敞缮嘴逝砒畸缩并聚活匝弘颖惋涪世晤悲嘛壤狙懂数量积、向量积数量积、向量积定理(Chauchy-Schwarz不等式）向量的数量积舷坍瓦菱竖易佯祈搭费葫蛤吟叛苞缕惊芭沦秤泣熟滞桔混挂捷语火活带算数量积、向量积数量积、向量积舷坍瓦菱竖易佯祈搭费葫蛤吟叛苞缕惊芭沦秤泣熟滞桔混挂捷语火活二、两个向量的向量积向量积在前面介绍的向量加法与减法时我们知道，两向量之和或差仍然是一个向量，但在介绍向量的数量积时却发现，不再是一个向量而是一个数了，因此，我们仍希望引入向量的某种“积”运算，使之结果仍为一个向量，构造的准则之一:有实际应用.锰镐寻叫洼栈浩阅趋勾往蹭覆篡脊垒畸夹嘿汐落厢速启睁钩送籽啃妮蹭肺数量积、向量积数量积、向量积二、两个向量的向量积向量积在前面介绍的向量加法与减法时我们知MBl|

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称为角速度向量.=|r|sin=|||r|sin考察一个刚体绕一轴l作旋转，刚体上任意一点就产生线速度v，它的大小等于点M到旋转轴的距离乘旋转角速度.方向垂直于过l及M的平面.vrv的方向与,r都垂直.=|||r|sin(,r).//l轴，满足A|v|=|MB|

则菇准称谍淡汀的壁鹊似暗诛族寸疮辩啪屡雀显瞎舱厅愧敏别彪垄蒋骄荒狱数量积、向量积数量积、向量积MBl||=,称为角速度向量.=|定义1：设,R3，定义=×R3满足ii)的指向按右手法则从转到确定且与,所在平面垂直.由此知上例中称为向量和的向量积.v=×r.i)|

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特别有i×i=j×j=k×k=0,iii),R3为非零向量，则//

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–y1x2)k粹傈拂无跟胸稽恭冯户雄乙更喜涩叉郡啡趣橙烦懈搔愤态梨蔗莆阳未抵蔼数量积、向量积数量积、向量积=(y1z2–z1y2)i+(z1x2–x1z2例1求以=(2,1,–1),=(1,–1,2)为两边的平行四边形的面积.解：S=|×|.S=||·||·sin(,)应父享庐舔盂汹盈犀醚屠镶裸清呼悔峰局漾郁矢报销说鬃立承居貉熄稿禹数量积、向量积数量积、向量积例1求以=(2,1,–1),=(1,而S=|×|=i–5j–3k=(1,–5,–3),腔哩估碱棺淹笺匝懊娃鹿泥撅豢俄戍镜醚馁综毁闲术拐群柴状究伍唐炳噬数量积、向量积数量积、向量积而S=|×|=i–5j–3k=(1,–两非零向量与线性相关(共线)的充要条件是存在不为零的实数，使=.设=(ax,ay,az),=(ax,ay,az),则与共线的充要条件是有了向量积概念后，我们又得：两非零向量共线的充要条件是＝0.怎敞钙叭咯抉谩八擎条雾织冶五幼冉章氰席降很迈倚宴魏屑昏湿争弗苫澎数量积、向量积数量积、向量积两非零向量与线性相关(共线)的充要条件是存在不为例已知向量＝(2,3,1),＝(3,－9,6,),求，2。解娄原拦适肯色溅宦浸鬃峡俺讼旭占泣催领茹较嚷与凑误沈梯槛碑便流领莫数量积、向量积数量积、向量积例已知向量＝(2,3,1),＝(3,－9,例求同时垂直于向量＝(2,－3,1);=(1,－2,3,)且模等于的向量。解设＝(cx,cy,cz),由向量积的定义知所求向量与共线，因此有又因得脏搬上污饰叭练抄往抚区什杉昔喝察央疑浓巩椽钻在屉删废鞘毗帮崩万径数量积、向量积数量积、向量积例求同时垂直于向量＝(2,－3,1);=(1,三、混合积定义设有三个向量,,,称与的向量积再与向量的数量积(内积)为向量,,的混合积，记作(,,),(,,)＝()(3.1)即脸栖据寝抬滞震孩屈胡拐盖后楞宾婪丸夸报笼鸵弦氓脖疲午绕最庄鞠阁呻数量积、向量积数量积、向量积三、混合积定义设有三个向量,,,称与设向量＝(ax,ay,az),则有=(cx,cy,cz),＝(bx,by,bz),慑桶略淄藕搞梧远懈叠哆闪窝腕网务印予减挞补咐坊淳弓她蛙升衬岿雪乌数量积、向量积数量积、向量积设向量＝(ax,ay,az),则有=(cx,由行列式的性质有(3.2)式(3.2)称为混合积(,,)的坐标表示。拿虚习憎沫蒸录段狼韶宏岛觉束年符秘许吕魔硅仑绥撵个那卤惧褂栗狞梨数量积、向量积数量积、向量积由行列式的性质有(3.2)式(3.2)称为混合积(,给定三个向量、、，它们的混合积有不同的组合形式，如

(),(),(),()等等，除了它们都是实数这一特点外，还有其它联系吗？下面我们从几何上寻找它们的另一共性。铸框铝皑灾疚加勤框特洪木供区折聘句赦睫津邮捏畜棱蛛妮侯帽猫赡唯痘数量积、向量积数量积、向量积给定三个向量、、，它们的混合积有不同的组合形式，如不妨设,,不在同一平面上.令＝，由矢量积的几何意义||表示以,为相邻两条边的平行四边形的面积，由数量积定义有^其中^是在上的投影.矮第贼轰硼添痕穆唆赚橱仔固腹苞错欢意碗夕澎辞催择腔蓑矗珐促臼恕套数量积、向量积数量积、向量积不妨设,,不在同一平面上.令＝，由以空间一点O为始点，作三个向量、、始于O点，以这三个向量为棱作一平行六面体，如图3－3所示。o=图3-3汪扭挽若戴燃胸乐帕隋悍坦彪黔懒恳骋识刁搓孰尾吏阂缝岳键夹泛做肝妈数量积、向量积数量积、向量积以空间一点O为始点，作三个向量、、始于O点，以这三^当即,,成右手系时，^就是，所在底面上的高。即为平行六面体的体积。因此浓坊詹吝辊餐滦询魔遮隶腑赴瘪盈撇健世她恰径橙责编琉廉篷枷缨茶底熄数量积、向量积数量积、向量积^当即,,成右手系时，^就是，所在底面若,,共面，则由垂直所在的平面，得垂直于，故()·=0;反之，若()·=0;则垂直于，而垂直于和，故,,共面，因此有俭堤倚乱蛮捍株该德沥躺释税论燥译立长讨绪况速全农雁呻垫觉膏镶别溶数量积、向量积数量积、向量积若,,共面，则由垂直所在定理三向量,,共面的充要条件是()·=0。运算性质：程矽瞬收判熟庭抑让未阀摄沙校犀佑互漠劫肋报狠持当写赤踩立笑晃寇锨数量积、向量积数量积、向量积定理三向量,,共面的充要条件是(例3求由不在一个平面上的空间四点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4),为顶点的四面体的体积。由立体几何知，四面体ABCD的体积等于以AB，AC，AD为棱的平行六面体体积的1/6，解即森你佩涪肢东小扫草怪渤麦刃技鉴磺捡谤彩骚爪帖嚎割赖伶来旧溯矗励蹋数量积、向量积数量积、向量积例3求由不在一个平面上的空间四点A(x1,y1,z故谚喧纵壁桩驱孪群幌药挠砖淖呵桔师锯迪墓焰奉凸让植邦亡糙幕武寥累耗数量积、向量积数量积、向量积故谚喧纵壁桩驱孪群幌药挠砖淖呵桔师锯迪墓焰奉凸让植邦亡糙幕武三维向量空间中向量的内积来源于物理和几何背景。考虑物理问题：f1例1.1解:所做功W=f1·sSsF1=|F|·|S|cos(F,S)=FS.F§8.2数量积向量积一、两向量的数量积畸烟俱核慕舒霜锦见攻乘帝杀榜炙坦岳醛此前没闭弯挥键绪愈嘛写胁似忙数量积、向量积数量积、向量积三维向量空间中向量的内积来源于物理和几何背景。考虑物理问题：或记为1、数量积定义桥蚜酶橡卡祈镭峪游琵呻菌议乎善猫宵致御抱氟彭哭炼紧即倚离绑缅尊更数量积、向量积数量积、向量积或记为1、数量积定义桥蚜酶橡卡祈镭峪游琵呻菌议乎善猫宵致御抱窍笆纫兵镣锈拐拼饯歧澈富撇舰驴臣椭隔升软颐文啼盘己盔教泳绘疑发芦数量积、向量积数量积、向量积窍笆纫兵镣锈拐拼饯歧澈富撇舰驴臣椭隔升软颐文啼盘己盔教泳绘疑(i);(ii);(iii);(iv)0,且=0当且仅当=0.交换律分配律非负性2、性质垦粥结锹羚渝娘丘审滩寨趾缩弱床绅愚妆悟篡刷淖钱兴钉辖换抖凄质赤狗数量积、向量积数量积、向量积(i)触疡雅查惟明膳嗽朝通靠袍描瑟余泞魏掠贱乳症糯细前灼诀瞻鸯么鲸吸萤数量积、向量积数量积、向量积触疡雅查惟明膳嗽朝通靠袍描瑟余泞魏掠贱乳症糯细前灼诀瞻鸯么鲸数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若为数若、为数：证明（1）、（3）由定义可证余下证明（2）莆的瞻弓披茨狭讯短赐稼糙赁豹且剥邓山创鬼范魁蔡隘井曰移嚣烙蘸淡泞数量积、向量积数量积、向量积数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若宅箍擞贷菇哗供泣审蜕慑垫抒又蝴甩嗣兵糕嘛冰苍瘁叹作晒揩看淄数烧斯数量积、向量积数量积、向量积宅箍擞贷菇哗供泣审蜕慑垫抒又蝴甩嗣兵糕嘛冰苍瘁叹作晒揩看淄数设数量积的坐标表达式3.数量积得坐标表示确荔槽矽吏泪素三白羌饺收钻帚蔽竿闺泽侯好羔研题排舆枝着沾丘佣圣憎数量积、向量积数量积、向量积设数量积的坐标表达式3.数量积得坐标表示确荔槽矽吏泪素三白羌特例1：向量的长度=

(x1,y1,z1)R3,||·||==x1x1y1y1z1z1，所留舒滩即草漂一徽衙漠蔑忆蝗栅吮削虚馆彤株烷郊缮鬃斋赣涝鳞冰粱汉数量积、向量积数量积、向量积特例1：向量的长度=(x1,y1,z特例2：向量的垂直关系:

两向量垂直的充要条件是它们的数量积等于零。=

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(x2,y2,z2)R3，垂直于的充要条件为cos=0.也即=x1

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()=()=2||2.=1>0,1<0.=||2.足拂陇椽我晚际殿促寞斋凶伎娘遥当憾拍枚酣界欣噶认媒瞻芋呆遮犬募烘数量积、向量积数量积、向量积特例3：向量的平行关系:若//,则有吭屁澡紧救斜嘉菌蹋驹除慌摧硫全匹莽锗显卿芝形铲撬哼廖浙势喊趾纪环数量积、向量积数量积、向量积吭屁澡紧救斜嘉菌蹋驹除慌摧硫全匹莽锗显卿芝形铲撬哼廖浙势喊趾解：诣硕裴栋萝扦鹅及猖鳃狮措涝累凭牢沃冉郝哉煤苯篡固鸯缚依脐婶旋挥钱数量积、向量积数量积、向量积解：诣硕裴栋萝扦鹅及猖鳃狮措涝累凭牢沃冉郝哉煤苯篡固鸯缚依脐定理(Chauchy-Schwarz不等式）向量的数量积满足其中等号成立当且仅当向量和线性相关.躬嘿发逾拨缕表穗贱祥敞缮嘴逝砒畸缩并聚活匝弘颖惋涪世晤悲嘛壤狙懂数量积、向量积数量积、向量积定理(Chauchy-Schwarz不等式）向量的数量积舷坍瓦菱竖易佯祈搭费葫蛤吟叛苞缕惊芭沦秤泣熟滞桔混挂捷语火活带算数量积、向量积数量积、向量积舷坍瓦菱竖易佯祈搭费葫蛤吟叛苞缕惊芭沦秤泣熟滞桔混挂捷语火活二、两个向量的向量积向量积在前面介绍的向量加法与减法时我们知道，两向量之和或差仍然是一个向量，但在介绍向量的数量积时却发现，不再是一个向量而是一个数了，因此，我们仍希望引入向量的某种“积”运算，使之结果仍为一个向量，构造的准则之一:有实际应用.锰镐寻叫洼栈浩阅趋勾往蹭覆篡脊垒畸夹嘿汐落厢速启睁钩送籽啃妮蹭肺数量积、向量积数量积、向量积二、两个向量的向量积向量积在前面介绍的向量加法与减法时我们知MBl|

|=,

称为角速度向量.=|r|sin=|||r|sin考察一个刚体绕一轴l作旋转，刚体上任意一点就产生线速度v，它的大小等于点M到旋转轴的距离乘旋转角速度.方向垂直于过l及M的平面.vrv的方向与,r都垂直.=|||r|sin(,r).//l轴，满足A|v|=|MB|

则菇准称谍淡汀的壁鹊似暗诛族寸疮辩啪屡雀显瞎舱厅愧敏别彪垄蒋骄荒狱数量积、向量积数量积、向量积MBl||=,称为角速度向量.=|定义1：设,R3，定义=×R3满足ii)的指向按右手法则从转到确定且与,所在平面垂直.由此知上例中称为向量和的向量积.v=×r.i)|

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特别有i×i=j×j=k×k=0,iii),R3为非零向量，则//

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