HL判定三角形全等【核心知识精细梳理+巩固提升训练】人教版八年级数学 上册 核心考点精讲精练 （含答案解析）

HL判定三角形全等判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理（HL）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.注意：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.题型1：用HL判定三角形全等1.如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA．【答案】证明：∵∠C=∠D=90°，∴△ACB和△BDA都是直角三角形，在Rt△ACB和RtAB=BA∴Rt△ACB≌【解析】【分析】先求出△ACB和△BDA都是直角三角形，再利用HL证明三角形全等即可。【变式1-1】已知：如图，∠A=∠D=90°，BE=EC.求证：△ABC≌△DCB.【答案】证明：在△ABE和△DCE中∠A=∠D∴△ABE≌△DCE（AAS）∴AB=DC∵∠A=∠D=90°∴在Rt△ABC和Rt△DCB中AB=DC∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）【解析】【分析】先由等腰三角形的性质得出∠ACB=∠DBC，再由AAS证明△ABE≌△DCE得到AB=DC，再由HL证明△ABC≌△DCB即可.【变式1-2】已知：如图，点C、D，在线段AB上，且AC=BD，AE=BF，ED⊥AB，FC⊥AB．求证：AE∥BF．【答案】∵ED⊥AB，FC⊥AB，∴∠DEA＝∠FCB＝90°，又∵AC＝BD，∴AD＝BC，在Rt△AED和Rt△BFC中，AE=BFAD=BC∴Rt△AED≌Rt△BFC（HL）∴∠A＝∠B，∴AE∥BF.【解析】【分析】先由HL证明两直角三角形全等，对应角相等，再由内错角相等两直线平行即可得证.题型2：全等的判定条件选择2.如图，AC⊥BE于点C，DF⊥BE于点F，BC＝EF，如果添加一个条件后，可以直接利用“HL”来证明△ABC≌△DEF，则这个条件应该是（）A．AC=DE B．∠D=∠A C．AB=DE D．∠B=∠E【答案】C【解析】【解答】由题意可知，一对直角边相等，即BC＝EF，根“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△DEF，还需补充一对斜边相等，即AB＝DE.故答案为C.【分析】先求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定方法判断求解即可。【变式2-1】如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC的条件是（）A．∠D=∠C，∠BAD=∠ABC B．BD=AC，∠BAD=∠ABCC．∠BAD=∠ABC，∠ABD=∠BAC D．AD=BC，BD=AC【答案】B【解析】【解答】解：A、符合AAS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；B、符合SSA，∠BAD和∠ABC不是两条边的夹角，不能判断两个三角形全等，故该选项符合题意；C、符合AAS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；D、符合SSS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；故答案为：B．【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可。【变式2-2】如图，在△ABC和△DEC中，已知CB=CE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．AC=DC，AB=DE B．AC=DC，∠A=∠DC．AB=DE，∠B=∠E D．∠ACD=∠BCE，∠B=∠E【答案】B【解析】【解答】解：由题知：CB=CE；A选项，AC=DC、AB=DE、CB=CE，满足定理：SSS，使ΔABC≅ΔEDC，故A选项正确；B选项，AC=DC、∠A=∠D、CB=CE，不满足定理，使ΔABC≅ΔEDC，故B选项不正确；C选项，AB=DE、∠B=∠E、CB=CE，满足定理：SAS，使ΔABC≅ΔEDC，故C选项正确；D选项，∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACB=∠DCE、∠B=∠E、CB=CE，满足定理：ASA，使ΔABC≅ΔEDC，故D选项正确.故答案为：B.【分析】要使△ABC≌△DEC，已知CB=CE，可根据SSS、SAS、ASA进行逐一判断即可.题型3：直角三角形全等的判定与求度数3.在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．（1）求证：△ABE≌△CBF；（2）若∠CAE=25°，求∠BFC度数．【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠ABC=∠CBF=90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AE=CFAB=CB∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，∵∠CAE=25°，∴∠BAE=45°-25°=20°，∵Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=20°，∴∠BFC=90°-20°=70°．【解析】【分析】（1）根据题目条件，由两个直角三角形的一条直角边和斜边对应相等，即可证明两个直角三角形全等。（2）在直角三角形CBA中，根据题意可得，∠BAC=45°，即可求得∠BAE=20°，根据（1）中证明的Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠FCB=20°，在直角三角形BFC中，根据三角形的内角和为180°，即可求得∠BFC的度数。【变式3-1】如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，点D到AB、AC的距离相等，且∠B=70∘，求【答案】解：如下图，过点D分别作AB、AC的垂线交于点E、F，∵点D到AB、AC的距离相等，∴DE=DF，又∵∠AED=∠AFD=90°，AD是△ADE与△ADF的公共边，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴∠CAD=∠BAD，对于Rt△ABD，∠BAD=90°-∠B=20°，∴∠CAD=20°.【解析】【分析】根据点D到AB、AC的距离相等，可得AD是∠BAC的角平分线，然后根据三角形的内角和公式可求得∠BAD，继而求得∠CAD.【变式3-2】如图，点C在BE上，AB⊥BE，DE⊥BE，且AB=BE，BC=DE，AC交BD于F．（1）求证：△ABC≌△BED；（2）求∠BFC的度数．【答案】（1）证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠ABC=∠BED=90°，在△ABC和△BED中，​∴△ABC≌△BED（SAS）；（2）解：∵△ABC≌△BED，∴∠DBE=∠CAB，∵∠ABC=90°，∴∠CAB+∠ACB=90°．∴∠DBE+∠ACB=90°．∴在△BFC中，∠BFC=90°．【解析】【分析】（1）在两个直角三角形中，已知的条件有：AB=BE、BC=DE、∠ABC=∠E=90°，即可由SAS判定两个三角形全等．（2）根据（1）题证得的全等三角形，可得到∠DBE=∠A，由于∠A、∠BCF互余，所以∠FBC、∠BCF互余，即∠BFC是直角．题型4：直角三角形全等的判定与求长度4.如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC=2，求BE的长．【答案】解：∵∠ABC=∠BAC=45°，∴∠ACB=90°，AC=BC，∵∠DAC+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ACD和△CEB中，​∴△ACD≌△CEB（AAS），∴BE=CD=2．【解析】【分析】已知了CD的长，求BE的长，可通过证明三角形BEC和ACD全等来得出．这两个三角形中已知的条件只有一组直角，根据∠ABC=∠BAC=45°，因此∠ACB=90°，AC=BC，我们发现∠DAC和∠BCE同为∠ACD的余角，因此∠DAC=∠BCE，这样就构成了三角形ACD和BCE全等的条件，两三角形全等．这样就能求出BE、CD的关系就能得出BE的长．【变式4-1】如图，∠1=∠2，CE⊥AB于E，CF⊥AD交AD的延长线于F，且BC=DC.（1）BE与DF是否相等？请说明理由；（2）若DF=1cm，AD=3cm，则AB的长为cm.【答案】（1）解：BE=DF，理由是：∵∠1=∠2，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，在Rt△CEB和Rt△CFD中，BC=DC∴Rt△CEB≌Rt△CFD(HL)，∴BE=DF；（2）5【解析】【解答】解：（2）在Rt△AFC和Rt△AEC中，AC=AC，CF=CE∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），∴AE=AF，∵AD=3cm，DF=1cm，∴AE=AF=AD+DF=4cm，BE=DF=1cm，∴AB=AE+BE=5cm.故答案为：5.【分析】（1）根据角平分线的性质可得CE=CF，然后利用HL证明△CEB≌△CFD，据此可得结论；（2）易证△AFC≌△AEC，得到AE=AF=AD+DF=4cm，BE=DF=1cm，然后根据AB=AE+BE进行计算.【变式4-2】如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）若AD=12，DE=7，请直接写出BE的长．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，∴∠ECB+∠ACD=90°，∠ECB+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE（2）解：BE=5【解析】【解答】（2）解：∵△ACD≌△CBE，∴AD=CE，BE=CD，∴BE=CD=AD−DE=5．【分析】（1）根据等角的余角相等可得∠ACD=∠CBE，再利用∠ADC=∠CEB=90°，AC=BC，可证明△ACD≌△CBE；（2）根据全等三角形的性质可得BE=CD，CE=AD=12，再利用线段的和差计算出CD=CE-DE即可。题型5：直角三角形全等的判定与证明5.如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过点C，过A、B两点分别作直线l的垂线AE、BF，垂足分别为E、F，AE=CF，求证：∠ACB=90°【答案】证明：在Rt△ACE和Rt△CBF中，AC=BCAE=CF∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL）∴∠EAC=∠BCF∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACB=180°-90°=90°.【解析】【分析】先证出Rt△ACE≌Rt△CBF，得出∠EAC=∠BCF，从而得出∠ACE+∠BCF=90°，即可得出∠ACB的度数.【变式5-1】如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD＝ADCD＝DE∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，∴△DEB的周长等于AB的长.【解析】【分析】根据AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，得出CD=DE，利用全等三角形的性质得出Rt△ACD≌Rt△AED（HL），得出AC=AE，从而得出△DEB的周长，即可得出结论。【变式5-2】如图，在四边形ABCD中，AB=AD,AE⊥BC于点E,AF⊥CD交CD的延长线于点F,BE=DF．求证：点A在∠BCD的平分线上．【答案】证明：在Rt△AEB和Rt△AFD中，AB=ADBE=DF∴Rt△AEB≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF．∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F，∴点A在∠BCD的平分线上．【解析】【分析】由HL判定Rt△AEB≌Rt△AFD，再根据角平分线的判定定理即可得出结论．题型6：直角三角形全等的判定与求探究6.（1）问题原型：如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，在AD上取点E，连接BE，使BE=AC．求证：DE=CD；（2）问题拓展：如图2，在问题原型的条件下，F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM=EF，连接CM．判断线段AC与CM的大小关系，井说明理由；（3）问题延伸：在上述问题原型和问题拓展条件及结论下，在图②中，若连接AM，则△ACM为三角形．【答案】（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90，∴∠ABC=45°∴∠BAD=45°∴∠ABC=∠BAD，∴AD=BD，在Rt△BDE和Rt△ADC中，BD=AD∴△BDE≌△ADC（HL），∴DE=CD；（2）AC=CM，理由：∵点F是BC中点，∴BF=CF在△BEF和△CMF中，BF=CF∴△BEF≌△CMF（SAS），∴BE=CM；由（1）知，BE=AC，∴AC=СM；（3）等腰直角三角形【解析】【解答】解：（3）如图②连接AM，由（1）知，△BDE≌△ADC，∴∠BED=∠ACD，由（2）知，△BEF≌△CMF，∴∠EBF=∠BCM，∴∠ACM=∠ACD+∠BCM=∠BED+∠EBF=90°，∵AC=CM，∴△ACM为等腰直角三角形．【分析】（1）利用HL证出△BDE≌△ADC，即可得出结论；（2）利用SAS证出△BEF≌△CMF，由（1）知，BE=AC，即可得出结论；（3）连接AM，由（1）知，△BDE≌△ADC，得出∠BED=∠ACD，由（2）知，△BEF≌△CMF，得出∠EBF=∠BCM，再根据∠ACM=∠ACD+∠BCM即可得出答案。【变式6-1】如图①，C、F分别为线段AD上的两个动点，BC⊥AD，垂足为C，EF⊥AD，垂足为F，且AB==DE，AF=CD，点G是AD与BE的交点.（1）求证∶BG=EG;（2）当C、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由.【答案】（1）证明：∵BC⊥AD，EF⊥AD，∴∠ACB＝∠DFE＝90°，∵AF＝CD，∴AF+FC＝CD+FC，∴AC＝DF，在Rt△ABC和Rt△DFE中，AB=DE∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL），∴BC＝EF∵BC⊥AD，EF⊥AD∴BC//EF∴∠FEG=∠CBG在△EFG和△BCG中∠FEG=∠CBG∴△EFG≌△BCG（ASA）∴EG＝BG（2）解：成立.证明如下：∵BC⊥AD，EF⊥AD∴∠ACB＝∠DFE＝90°∵AF＝CD∴AF－FC＝CD－FC∴AC＝DF在Rt△ABC和Rt△DFE中AB=DE∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）∴∠A＝∠D在△DEG和△ABG中∠D=∠A∴△DEG≌△ABG（AAS）∴EG＝BG【解析】【分析】（1）由HL证明出Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）得出BC＝EF，由ASA证明出△EFG≌△BCG（ASA）得出EG＝BG；（2）由HL证明出Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）得出BC＝EF，由AAS证明出△DEG≌△ABG（AAS）得出EG＝BG.【变式6-2】已知：AB⊥BD，ED⊥BD，AC=CE，BC=DE．（1）试猜想线段AC与CE的位置关系，并证明你的结论．（2）若将CD沿CB方向平移至图2情形，其余条件不变，结论AC（3）若将CD沿CB方向平移至图3情形，其余条件不变，结论AC【答案】（1）解：AC⊥CE理由如下：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°在Rt△ABC和Rt△CDE中AC=CE∴Rt△ABC≌Rt△CDE(HL)，∴∠A=∠DCE∵∠B=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠ACE=180°−(∠DCE+∠ACB)=90°，∴AC⊥CE（2）解：成立，理由如下：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，在Rt△ABC1和Rt△C∴Rt△ABC∴∠A=∠DC∵∠B=90°，∴∠A+∠AC∴∠DC在△C1F∴A（3）解：成立，理由如下：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠AB在Rt△ABC1和Rt△C∴Rt△ABC∴∠A=∠DC∵∠ABC∴∠A+∠AC在△C1F∴A【解析】【分析】（1）先求出，再利用HL证明三角形全等，求出，最后进行证明求解即可；（2）先求出，再证明Rt△ABC1≌Rt△C（3）先求出，再证明Rt△ABC1≌Rt△C2DE(HL)，一、单选题1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论，一定成立的是（）A．BD＝AD B．∠B＝∠CC．AD＝CD D．∠BAD＝∠ACD【答案】B【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADB与Rt△ADC中，AD=ADAB=AC∴Rt△ADB≅Rt△ADC，∴∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，BD=CD，故答案为：B.【分析】根据HL证明Rt△ADB≅Rt△ADC，利用全等三角形的性质进行判断即可.2．如图，在△ABC和△ADC中，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=30°，则∠2=（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】D【解析】【解答】解：∵∠B=∠D=90°∴△ABC和△ADC均为直角三角形在Rt△ABC和Rt△ADC中∵CB=CD∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)∴∠1=∠CAD∵∠2+∠CAD+∠D=180°∴∠2=180°−90°−30°=60°故答案为：D．【分析】利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ADC可得∠1=∠CAD，再利用三角形的内角和求出∠2=180°−90°−30°=60°即可。3．如图，在等腰RtΔABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC，若BC=10cm，则△DEC的周长为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】B【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD，在Rt△ABD和Rt△EBD中，∵BD=BDAD=DE∴RtΔABD≌RtΔEBD(∴AB=BE，∴△DEC的周长=DE+CD+CE=AD+CD+CE，=AC+CE，=AB+CE，=BE+CE，=BC，∵BC=10cm，∴△DEC的周长是10cm．故答案为：B．【分析】先利用“HL”证明RtΔABD≌RtΔEBD，可得AB=BE，再利用三角形的周长公式可得△DEC的周长=DE+CD+CE=BC，再结合BC=10，即可得到答案。4．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC的平分线BE交于点E，若∠BEC=40°，则∠CAE的度数为（）A．65° B．60° C．55° D．50°【答案】D【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，设∠ECD=x°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD=x°，EM=EN，∵BE平分ABC，∴∠ABE=∠EBC，EF=EN，∴EF=EM，∵∠BEC=40°，∴∠ABE=∠EBC=∠ECD–∠BEC=（x-40）°，∴∠BAC=∠ACD–∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△EFA和Rt△EMA中，∵EA=EA，EM=EF，∴Rt△EFA≌Rt△EMA（HL），∴∠FAE=∠EAC=50°．故答案为：D【分析】先求出EF=EM，再利用全等三角形的判定与性质求解即可。5．如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA＝AE交CB的延长线于点F，若AB＝4，则四边形AFCE的面积是（）A．4 B．8 C．16 D．无法计算【答案】C【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，∴AB=AD∴∠ABF=∠ABC=90°∵AF=AE∴Rt△AFB≌Rt△AED(HL)∴∴∵AB＝4，∴∴故答案为：C【分析】先利用“HL”证明Rt△AFB≌Rt△AED，再利用全等的性质可得S△AFB=S6．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴CP平分∠ACF，故①符合题意；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，PM=PDPA=PA∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴∠CPD＝∠CPN，∴∠MPN＝2∠APC，∴∠ABC+2∠APC＝180°，②符合题意；③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝12∴∠ACB＝2∠APB，③符合题意；④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④符合题意，故答案为：D．【分析】①过点P作PD⊥AC于D，由角平分线的性质可得PM＝PN＝PD，根据角平分线的判定即证CP平分∠ACF，故正确；②证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），可得∠APM＝∠APD，同理Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），可得∠CPD＝∠CPN，即得∠MPN＝2∠APC，由四边形内角和求出∠ABC+2∠APC＝180°，故正确；③利用角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝12∠ABC+∠APB，从而得出∠ACB＝2∠APB，故正确；④利用全等三角形的性质可得S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN7．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则直接判定△APD与△APE全等的理由是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．HL【答案】D【解析】【解答】解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠ADP=∠AEP=90°，在Rt△ADP和Rt△AEP中PD=PEAP=AP∴Rt△ADP≅Rt△AEP(HL)，故答案为：D．【分析】根据题意可得：∠ADP=∠AEP=90°，再结合PD=PE，AP=AP，可利用“HL”证明全等。8．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90∘；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③【答案】A【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，∴BE=EF，AE=AE，∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；而点E是BC的中点，∴EC＝EF＝BE，所以③错误；∵EC＝EF，ED=ED，∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝12∠BEC＝90°，所以①综上：①②④正确，故答案为：A【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.二、填空题9．如图所示，△ABC中∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝13cm，则△DBE的周长为.【答案】13cm【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC，∵∠C=∠DEA=90∴△CAD≅△EAD(HL)，∴AC=AE，∵AC=BC，∴BC=AE，AB＝13cm，∴△DBE的周长=BD+DE+BE=BC+BE=AE+BE=AB=13cm.故答案为：13cm.【分析】由角平分线的性质可得DE=DC，证明△CAD≌△EAD，得到AC=AE，结合AC=BC可得BC=AE，然后将△DBE的周长转化为AB，据此解答.10．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝．【答案】55°【解析】【解答】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，∴∠CFD=35°．又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠BED=∠CDF=90°，在Rt△BDE与△Rt△CFD中，BE=CDBD=CF∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），∴∠BDE=∠CFD=35°，∴∠EDF=180°-90°-35°=55°．故答案是：55°．【分析】先利用HL得出Rt△BDE≌△Rt△CFD，再由全等三角形的对应角相等得出∠BED=∠CDF，根据∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，求出∠CFD的度数，得出∠BED的度数，即可求出∠EDF的度数。11．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝．【答案】55°【解析】【解答】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，∴∠CFD=35°．又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠BED=∠CDF=90°，在Rt△BDE与△Rt△CFD中，BE=CDBD=CF∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），∴∠BDE=∠CFD=35°，∴∠EDF=180°-90°-35°=55°．故答案是：55°．【分析】根据∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，求出∠CFD=35°，根据“HL”证明Rt△BDE≌△Rt△CFD，再利用全等三角形的性质求解即可。三、解答题12．如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，DB＝BC，求证：AC=AE+DE．【答案】证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴∠EDB=∠C=90°，在Rt△BED和Rt△BEC中，BD=BCBE=BE∴Rt△BED≌Rt△BE