十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科数学）专题18坐标系与参数方程（解析版）

大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新课标文科卷)专题18坐标系与参数方程◎真题汇总(_2+£X=~(，为参数)，曲线C2的y=Vt，__2+s参数方程为x=一丁(s为参数).y=~y[s(1)写出Cl的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cos8-sin。=0,求C3与G交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标.【答案】(l)y2=6x-2(y>0)；(2)C3，g的交点坐标为g，l)，(1,2)，C3H2的交点坐标为(一3一1)，(-1.-2).【解析】(1)因为》=华，y=Vt>所以丫=工工，即Ci的普通方程为y2=6x-2(yN0).o 6(2)因为x=-牛,y=-石，所以6x=-2-y2,即的普通方程为y?=-6%-2(yW0),O由2cosG-sin0=0=>2pcos0—psinJ=0,即C3的普通方程为2%—y=0.联立，2=2?二六o'"，解得：｛；[：或｛；二；，即交点坐标为&1)，(L2)；联立纥"°),解得：f二;或后二;，即交点坐标为(-a-1),(-1,-2).2.【2022年全国乙卷文科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为俨=呼襁产，(》为参数)，以(y=zsint坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为psin(。+§+机=0.(1)写出/的直角坐标方程；(2)若/与C有公共点，求加的取值范围.【答案】(l)V5x+y+2m=0⑵一【解析】（1）因为/：psin（8+g）+m=0,所以1p・sin6+今p•cos。+m=0,又因为p,sind=y,p-cosd=x,所以化简为/+小+巾=。，整理得I的直角坐标方程：V3x+y+2m=0（2）联立/与。的方程，即将％=Hcos2£,y=2sint代入>j3x+y+27n=0中，可得3cos2t+2sint4-2m=0,所以3（1-2sin2t）+2sint+2m=0,化简为-6sin2t+2sint+3+2m=0,要使/与。有公共点，则27n=6sin2t-2sint-3有解，令sint=q,则qE[-1,1],令/（a）=6a2-2a-3,（-1<a<1）,对称轴为a=：,开口向上，o所以f（a）max=/（-1）=6+2-3=5,〃、 “1、 12- 19/©min”。），一13=一%，所以一下W2m<56m的取值范围为一<TH<3.【2021年全国甲卷文科22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为p=2V2cos0.（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点/的直角坐标为（1,0）,M为C上的动点，点尸满足R=隔，写出尸的轨迹G的参数方程，并判断c与G是否有公共点.【答案】（1）（X-包）2+y2=2;（2）尸的轨迹G的参数方程为尸=：1耍:;cos。（0为参数），c与g没有公共点.（1）由曲线C的极坐标方程p=2«cos6可得p2=2V2pcos0.将x=pcosO,y=psin。代入可得/+,2=2V即（刀-V2）2+y2=2.即曲线C的直角坐标方程为（％-我）2+k=2：（2）设P（x,y）,设5/（但+V^cose,V^sin。）vAP=V2AM，（x-l.y）=V2（V2+V2cos0-l,V2sin0）=（24-Zcosfl-V2,2sin0）.mdrX—1=2+2cos6-V2prjrX—3-y[*2»+2cos6'y=2sin0 y=2sin0故P的轨迹Cl的参数方程为广=j等:了°S0（e为参数）•••曲线C的圆心为（、反,0），半径为金，曲线C1的圆心为（3-四,。），半径为2,则圆心距为3-2V2. 3-2V2<2-a，二两圆内含，故曲线C与孰没有公共点..【2021年全国乙卷文科22】在直角坐标系xOy中，。C的圆心为C（2,1）,半径为1.（1）写出。C的一个参数方程；（2）过点F（4,l）作OC的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.【答案】（1）（以为参数）；（2）2℃。5（0+?）=4—6或2℃。5（。一2）=4+6.y-jl十oincc 3 j（1）由题意，0C的普通方程为（X-2）2+3—1）2=1,所以OC的参数方程为震，（a为参数）V-X"rblllCC（2）由题意，切线的斜率，定存在，设切线方程为y-l=k（x-4）,即九x-y+l-4k=0,由圆心到直线的距离等于1可得、吟=1，Vl+fcz解得九=±争所以切线方程为—3y4-3—4\/3=0或值%+3y—3—4V3=0，将％=pcos6,y=psin6代入化简得2pcos（0+g）=4-国或2pcos（J-g）=4+国.【2020年全国1卷文科22】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为二黑：：；'Q为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4pcos0-16psin。+3=0.（1）当A=1时，Ci是什么曲线？（2）当丸=4时，求Ci与C2的公共点的直角坐标.【答案】（I）曲线C表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）（；3）.【解析】（1）当"=1时，曲线G的参数方程为（t为参数），两式平方相加得*2+丁2=1,所以曲线C1表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；

（2）当k=4时，曲线G的参数方程为｛；二；：：4：（t为参数），所以xNO,y20,曲线Cl的参数方程化为｛[二（t为参数），两式相加得曲线a方程为«+e=1,得4=1-V5，平方得y=X-2依+1,0WxW1,0WyW1,曲线C2的极坐标方程为4pcos8-16psin0+3=0,曲线C2直角坐标方程为4x-16y+3=0,联立GQ方程:[2直+1｛4x-16y+3=0整理得12工一32仃+13=0,解得仃=；或怖=芋（舍去），•，•X=y= Ci，Cz公共点的直角坐标为（艮）.6.【2020年全国2卷文科22】已知曲线C”。2的参数方程分别为G：卜=4cos2?”为参数），j：（y=4sin/。fx=t+y,I；（r为参数）.（1）将Ci,C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设Ci，C2的交点为尸，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.【答案】（I）Ci：x+y=4：C2.x2-y2=4；（2）p=^cos0.【解析】（I）由cos?。+siMe=1得G的普通方程为：x+y=4；两式作差可得C2的普通方程为：两式作差可得C2的普通方程为：x2-y2=4设所求圆圆心的宜角坐标为（a,0）,其中a>0,则缶一丁+（0-丁=a?,解得：a=W.•.所求圆的半径r=・所求圆的直角坐标方程为:（■需+V=（W，即/+y=m，•••所求圆的极坐标方程为p=£cose.712020年全国3卷文科22】在直角坐标系xQy中，曲线C的参数方程为卜=2一,一 ((为参数且归》ky=2-3t+t2C与坐标轴交于Z,8两点.(1)求|4B|：(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线48的极坐标方程.【答案】(1)4V10(2)3pcos0-psinO+12=0【解析】(1)令x=O,则/+t-2=0,解得£=一2或t=1(舍)，则y=2+6+4=12,即4(0,12).令y=0,则d-3t+2=0,解得t=2或t=1(舍)，则*=2-2—4=-4,即B(—4,0).\AB\=J(0+ +(12—0)2=4V10：则直线48的方程为y=3(x+4),即3%-y+12=0.由x=pcosO,y=psin。可得，直线AB的极坐标方程为3pcos6-psinO+12=0.8.【2019年新课标3文科22］如图，在极坐标系Ox中，A(2,0),B(V2,£),C(V2,巧，D(2,it),4 4弧而，BC,而所在圆的圆心分别是(1,0),(1,1),(1,1T),曲线All是弧防，曲线必是弧沅，曲线Mi是弧CD.(1)分别写出A/i,Mi,上的极坐标方程；(2)曲线M由M，Mi，%构成，若点P在M上，且。尸|=百，求尸的极坐标.【答案】解：(1)由题设得，弧通，BC,而所在圆的极坐标方程分别为p=2cos。，p=2sinO,p=-2cos0,则Mi的极坐标方程为p=2cos0, 它的极坐标方程为p=2sin0, <0<^),上的极坐标方程为p=-2cos0,(可WOWit),(2)设P(p,0),由题设及(I)值，若0W>W三，由2cos0=百得cos0=—,得6=4 2 6若彳<0<泽由2sin0=V5得sin0=y,得。=g或g，若如<0^71,由-2cos0=百得cos0=-得。=里，4 2 6综上尸的极坐标为(V5,?)或(代，白或(8，二)或(V5,^).6 3 3 69.【2019年新课标2文科22】在极坐标系中，O为极点，点M(po，00)(po>O)在曲线C：p=4sin。上,直线/过点4(4,0)且与垂直，垂足为尸.(1)当Oo=g时，求po及/的极坐标方程：(2)当M在C上运动且尸在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.【答案】解：(1)当Oo=g时，po=4sing=2代，在直线/上任取一点(p,0),则有pcos(0-g)=2,故/的极坐标方程为有pcos(6-^)=2；(2)设尸(p,0),则在RtZkCM尸中，有p=4cos。，在线段0M上，...OeU，口，故尸点轨迹的极坐标方程为p=4cos0,0G[p标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为2pcos0+Hpsin0+ll=0.(1)求C和/的直角坐标方程；(2)求C上的点到/距离的最小值.(_1-t2 (_i-t2【答案】解：(1)由“二可'(f为参数)，得::中，两式平方相加，得好+4=1(xW-1),.••C的直角坐标方程为d+4=1(xW-1),4由2pcos6+V3psin0+11=0,得2x+\[3y4-11=0.即直线I的直角坐标方程为得2x+V3y+ll=0；（2）设与直线2x+V5y+ll=0平行的直线方程为2x+V5y+m=0,[2x+号+m=0,得16F+4侬+/72=0.（4xz+y2-4=0由△=16/-64（/-12）=0,得加=±4....当"?=4时，直线2x+ +4=0与曲线C的切点到直线2x+Vly+11=0的距离最小，为场=V7.11.【2018年新课标1文科22】在直角坐标系中，曲线G的方程为^=砥|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p2+2pcos。-3=0.（1）求C2的直角坐标方程；（2）若G与C2有且仅有三个公共点，求Ci的方程.【答案】解：（1）曲线C2的极坐标方程为p2+2pcosS-3=0.转换为直角坐标方程为：x2+f+2x-3=0,转换为标准式为：（x+1）W=4.（2）由于曲线Ci的方程为，=张|+2,则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0,2）.由于该射线与曲线G的极坐标有且仅有三个公共点.所以：必有一直线相切，-直线相交.则：圆心到直线y=h+2的距离等于半径2.故：下京=2,或研=2解得：％=-（或0,当左=0时，不符合条件，故舍去，同理解得：或0经检验，直线y=gx+2与曲线C2没有公共点.故Ci的方程为：y=—|x|+2.12.【2018年新课标2文科22】在直角坐标系xQy中，曲线C的参数方程为匕=吃，（。为参数），直线（y4srn8/的参数方程为仁江:;甯,a为参数）•（1）求C和/的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线/所得线段的中点坐标为（1,2）,求/的斜率.【答案】解：⑴曲线C的参数方程为匕;上吃（0为参数），—^tsiTiu转换为直角坐标方程为：4+t=i-16 4直线/的参数方程为忧；为参数）.转换为直角坐标方程为：xsina-ycosa+2cosa-sina=0.（2）把直线的参数方瞰二：;二窗（r为参数），代入椭圆的方程得到：上胃叱+业科=[16 4整理得：（4cos2a+sin2a）■+（8cosa+4sina）t-8=0,则：ti+t2=—警笠誓，（由于“和，2为48对应的参数）4cosa-\-sina由于（I,2）为中点坐标，所以利用中点坐标公式华=0,则：8cosa+4sina=0»解得：tana=-2,即：直线/的斜率为-2.13.【2018年新课标3文科221在平面直角坐标系xQy中，。。的参数方程为匕：%，，（。为参数），过点（0,-V2）且倾斜角为a的直线/与。。交于4,8两点.（1）求a的取值范围；（2）求Z8中点尸的轨迹的参数方程.【答案】解：（1）:。。的参数方程为（。为参数），.••。。的普通方程为（+炉=1,圆心为0（0,0）,半径r=l,当€（=轲，过点（0,-V2）且倾斜角为a的宜线/的方程为x=0,成立；当aH狎j,过点（0,-V2）且倾斜角为a的直线/的方程为尸tana,x-夜，二•倾斜角为a的直线/与。。交于4,8两点，圆心O（0,0）到直线/的距离口=,周，VI,Vl+tan2aAtan2a>1,Atana>1或tanaV-1,综上a的取值范围是0给.<2)/的参数方程为1二③皿g(，为参数，:<。呻,设/B,P对应的参数分别为〃，3,M则tp=^%,且以，“满足d—2y/2tsina+1=0,tA+5=20sma,tp=y/2sinaf(x=tpcosa•"(x7)满足y=_&+tsina'1y—v乙ILpoiim( y/2.Q(x=—sin2a o."8中点尸的轨迹的参数方程为：1 2 ,(a为参数，：Vav^).(y=----cos2a14.【2017年新课标1文科22】在直角坐标系x°y中，曲线C的参数方程为3二；器‘，(。为参数)，直线/的参数方程为I：；1｝，(，为参数).(1)若。=-1,求C与/的交点坐标；(2)若C上的点到/距离的最大值为后，求a.【答案】解：(1)曲线C的参数方程为匕=:禽%。为参数)，化为标准方程是：1+/=1;ly=stnu 9”a=-1时，直线/的参数方程化为一般方程是：x+4y-3=0；联立方程「■+/=】，(%4-4y-3=0(__21解得孱九漳,所以椭圆C和直线/的交点为(3,0)和(-急急./的参数方程(，为参数)化为一般方程是：x+4y-a-4=0,椭圆C上的任一点尸可以表示成P(3cos。，sin。)，06[0,2n),所以点尸到直线/的距离d为：公”+甯--旬=眄伊方F,满足tamp=：,且的”的最大值为g.V17 V17 4①当-a-4W0时，即a2-4时，|5sin(0+q))-a-4|<|-5-a-4|=|5+a+4|=17解得。=8和-26,。=8符合题意.②当-〃-4>0时，即4V-4时|5sin（0+（p）-a-4|W|5-a-4|=|5-a-4|=17,解得a=-16和18,a=-16符合题意..【2017年新课标2文科22】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，工轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为pcos6=4.（1）M为曲线G上的动点，点P在线段上，且满足10M・|。9=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;（2）设点4的极坐标为（2,》，点8在曲线C2上，求△048面积的最大值.【答案】解：（1）曲线G的直角坐标方程为：x=4,设尸（x,y）,M（4,刈），则：=工，.*.^o=—»V|OA/||OP|=16,/.J/2+y2ji6+y（）2=16,即（f+/）（1+4）=16,/.=16x2.即』1镇，两边开方得：x2+y2=4x,整理得：（x-2）2+产=4（x/0）,点尸的轨迹C2的直角坐标方程：（x-2）2+产=4（xWO）.（2）点X的直角坐标为Z（1,V3）,显然点4在曲线C2上，\OA\=2,：.曲线Ci的圆心（2,0）到弦0A的距离d=V4-1=V3,的最大面积S=1|O*•（2+百）=2+V3..【2017年新课标3文科22】在直角坐标系xQy中，直线八的参数方程为jI（f为参数），直线{x——2+my=2 ,（机为参数）.设公与/2的交点为尸，当无变化时，尸的轨迹为曲线C（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设/3：p（cos0+sin0）-V2=0,M为八与C的交点，求M的极径.【答案】解：⑴•.•直线人的参数方程为仁二（r为参数），.•.消掉参数，得：直线人的普通方程为：y=%（x-2）①；一,一,一.・（x=-2+m.,,,又直线/2的参数方程为v_m ，（m为参数），y_T同理可得，直线，2的普通方程为：x=-2+ky@；联立①②，消去上得：炉=4,即C的普通方程为x2-y=4(y#0)；(2)；/3的极坐标方程为p(cosO+sinO)-V2=0,...其普通方程为：x+y-y[2=Q,联立露宜得:I，2:.p2=x2-^-y2=y4-=5.・"3与C的交点M的极径为p=V5.17.【2016年新课标1文科23】在直角坐标系x°y中，曲线Ci的参数方程为C为参数，。>0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：p=4cos0.(1)说明Ci是哪种曲线，并将G的方程化为极坐标方程；(II)直线C3的极坐标方程为0=00,其中ao满足tanao=2,若曲线G与C2的公共点都在C3上，求a.【答案】解：(I)由仁;曹sN得｛二;笺或优两式平方相加得，(7-1)』标.为以(0,1)为圆心，以a为半径的圆.化为一般式：/+炉-2y+\-.2=0.①由x?+炉=p2,y=psin0,得p?-2psin0+l-/=0；(II)C2：p=4cos0,两边同时乘p得p2=4pcos。，.•./+炉=4为，②即(x-2)24y=4.由C3：0=ao>其中a0满足tanao=2,得y=2x,,/曲线Ci与Ci的公共点都在J上，：.y=2x为圆G与C2的公共弦所在直线方程，①-②得：4x-2y+l-a2=0,即为C3,Al-a2=0,：.a=\(o>0).18.【2016年新课标2文科23】在直角坐标系xQy中，圆C的方程为(x+6)2+炉=25.(I)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(II)直线/的参数方程是(f为参数)，/与C交与4,B两点,\AB\=V10,求/的斜率.【答案】解：(I),・•圆。的方程为(x+6)24y=25,・*4y+12x+ll=0,Vp2=x2+^2»x=pcosa,y=psina,，C的极坐标方程为p2+12pcosa+l1=0.(H)：直线/的参数方程是(r为参数)，/./= ,代入y=/sina,得：直线/的一般方程y=tana・x,cosa与C交与Z,B两点,\AB\=Vio,圆C的圆心C(-6,0),半径r=5,圆心到宜线的距离d=卜一弊尸....圆心C(-6,0)到直线距离d=T,mq=125--.Vl+tan2a7 4解得tan2a=|,/.tana=±J=±二/的斜率仁士孚19.【2016年新课标3文科23】在直角坐标系xQy中，曲线G的参数方程为卜=^cosa为参数)，以ly=sina坐标原点为极点，以X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为psin(0+“=2V2.(1)写出Ci的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在G上，点。在C2上，求|「。的最小值及此时尸的直角坐标.【答案】解：⑴曲线Ci的参数方程为俨=8c°sa(a为参数)，ly=sina移项后两边平方可得:4-y2=cos2a+sin2a=1,即有椭圆G：9+产=1；曲线C2的极坐标方程为psin(0+^)=2V2,即有p(ysin6+ycos0)=2y/2,由》=「＜：05。，y=psin0,可得x+y-4=0,即有Ci的直角坐标方程为直线x+y-4=0；(2)由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时，|尸。|取得最值.设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t=0,(x+y+t=02,Q2q可得4/+6次+3--3=0,xL+3y」=3由直线与椭圆相切，可得△=36/2-16(3/2-3)=0,解得，=±2,显然f=-2时，|尸。|取得最小值，即有|20|=上需21=V2,此时4x2-12r+9=0,解得x=之，即为P件1).另解：设尸(V3cosa,sina)»由P到直线的距离为d=।后。s。誓34|v2_|2sin(a+j)-4|=V2'当sin(a+j)=1时,俨。|的最小值为VL此时可取a=g即有尸(1,；).6 2 220.【2015年新课标1文科23】在直角坐标系X。中，直线G：x=-2,圆C2：(x-1)2+(j-2)2=1,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求Cl，C2的极坐标方程；(II)若直线。3的极坐标方程为。=彳(P6R),设C2与C3的交点为“，N,求△C2AW的面积.【答案】解：(1)由于x=pcos。，y=psin。，C\：x=-2的极坐标方程为pcos0=-2,故C2：(X-1)2+(y-2)2=1的极坐标方程为：(pcos0-1)2+(psin0-2)2=1,化简可得p2-(2pcos0+4psin0)+4=0.(II)把直线C3的极坐标方程0=：(P6R)代入圆Cz：(x-1)2+(y-2)2=1,可得p2-(2pcos0+4psin0)+4=0,求得pi=2近，p2=V2,= -P2|=V2,由于圆Ci的半径为1,.,.C2MJ.C2N,△CiMN的面积为m。2〃匕%=$1•1=/21.【2015年新课标2文科23】在直角坐标系xQy中，曲线Ci：匕：;鬻：C为参数，学0）,其中0<a<tt,在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线。2：p=2sin0,C3：p=2V3cose.（1）求。2与C3交点的直角坐标；（2）若G与C2相交于点4G与C3相交于点8,求|48|的最大值.【答案】解：（/）由曲线。2：p=2sin。，化为p2=2psin。，"•+"=2y.同理由C3：p=2V3cos0.可得直角坐标方程：x2+y2=2y/3xf联立代+'；-?金。（x24-y2-2y3x=0V3/，2・・G与。3交点的直角坐标为（0,0）,（苧，|）.（2）曲线C： （f为参数，ZW0）,化为普通方程：y=xtana,其中OTaWmaH*a=£时，为—LolilU. L Lx=0（y#0）.其极坐标方程为：0=a（pGR,pWO）,J,8都在C上，"（2sina»a）,B（2y13cosa,a）.A|JB|=\2sina-2y/3cosa\=4|sE（a-g）|,当a=第f,|典取得最大值4..【2014年新课标1文科23】已知曲线C：搭+卷=1,直线/： 为参数）(1)写出曲线C的参数方程，直线/的普通方程.(1【)过曲线C上任意一点尸作与/夹角为30°的直线，交/于点4求|以|的最大值与最小值.【答案】解：(1)对于曲线C：—+^-=1»可令x=2cos。、y=3sin。，4 9 ,故曲线C的参数方程为仁1甯，(。为参数).对于直线/:产：+%1y=2-2t②由①得：f=x-2,代入②并整理得：2x+y-6=0；(H)设曲线C上任意一点尸(2cos。，3sin0).P到直线/的距离为d=y\4cos6+3sind-6|.则|P4|=焉=等|5sin(6+a)—6],其中a为锐角.当sin(0+a)=-1时，|4|取得最大值，最大值为竿.当sin(0+a)=1时，|我|取得最小值，最小值为等..【2014年新课标2文科23】在直角坐标系xQy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为p=2cos。，0G[O,自(I)求C的参数方程；(II)设点。在半圆C上，半圆C在。处的切线与直线/：丁=伍+2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，求直线C。的倾斜角及。的坐标.【答案】解：(1)由半圆C的极坐标方程为p=2cos36G[0,g，即p2=2pcos。，可得C的普通方程为(x-1)24T2=1(OWyWl).可得C的参数方程为R (，为参数，OSWn).(2)设。(1+cosf,sinf),由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆，•.•宜线C£＞的斜率与直线/的斜率相等，...tan/=g,/=%故。的直角坐标为(1+cos；,sing),即(1,y).24.【2013年新课标1文科23]已知曲线G的参数方程为(f为参数)，以坐标原点为极点，(V-3十uSITIlX轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=2sin0.(1)把G的参数方程化为极坐标方程；(2)求G与C2交点的极坐标(p》0,0W0V21T).【答案】解：⑴将晨嚣，消去参数，，化为普通方程(x-4)2+(厂5)占25,即G：/+产-8x-lQy+16=0,将｛；二温;代入'工产"8a-10>+16=0,得p2-8pcos0-!Opsin0+16=O./.Ci的极坐标方程为p2-8pcos0-10psin6+16=0.(2)•・•曲线。2的极坐标方程为p=2sine.・•・曲线C2的直角坐标方程为x2^-2y=0,g+(x2+y2—8x—lOy4-16=0J2. 2cc 9(x2+V_2y=0解啜二端三，.♦.Cl与C2交点的极坐标为«，7)和(2,»4 225.【2013年新课标2文科23】已知动点尸、。都在曲线C：］霏(。为参数)上，对应参数分别为0=a与B=2a(0<a<2n),M为尸0的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断”的轨迹是否过坐标原点.【答案】解：(1)依题意有尸(2cosa,2sina),Q(2cos2a.2sin2a),因此A/(cosa+cos2a,sina+sin2a).M的轨迹的参数方程为靠工晨常(。为参数，0<a<2n).M点到坐标原点的距离d=J/+y2=，2+2cosa(0<a<2ir).当a=ir时，d=0,故M的轨迹过坐标原点..・••⑥模拟好题••・..已知函数/'(x)=|2x+a|+|x-1|(1)当a=4时，求不等式f(x)<6的解集：(2)若f(x)>a2-|x-1|对任意的xGR恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)(-3,1)(2)-1<a<2【解析】(1)当a=4时,/(x)<6化为|2x+4|+|x-1|<6当无V-2时，不等式化为一2%一4一(》一1)V6,解得一3Vx<-2；当-2<x<1时，不等式化为2x+4—(x-1)<6,解得一2WxVl；当%>1时，不等式化为2冗+4+%-1V6,无解，综上所述：当q=4时，不等式/(无)V6的解集为(一3,1)(2)由f(x)>a2—|x—1得/<|2x+a|+|2x—2|*因为|2x+q|+|2x-2|>|(2x+a)—(2x-2)|=|a+2|(当且仅当(2x+d)(2x-2)W0时，等号成立),又因为a2<\2x+q|+\2x-2|对任意的xGR恒成立，所以a2<|a4-2|,当Q+2W0,即qW—2时，有。2工一。—2,即次+@+240,此不等式无解：当q+2>0,即q>-2时，有。240+2,田q2-q-2W0,解得一1Wq工2综上所述：。的取值范围为一1WqW2・..已知正数a,b,c满足a3b3+b3c3+c3a3+=4.(1)求证：0Vabc<1；(2)求证：(煮+^+上了23(ab+bc+ca).【答案】(1)证明详见解析；(2)证明详见解析.【解析】(1)证明：•：a3b3+b3c3+c3a3>3y/a6be,cb=3a2b2c2<当且仅当a=6=c时，等号成立，设abc=x» a3h3+b3c3+c3a3+abc=4>3(adc)2+abc,即3%2+x-4wo,解得一gwxSl,,:a,b,c为正数，/•abc>0,/.0<abc<1.c\・•1 1.1a+b+c(2)・ 1 1 = ,abbecaabc由(1)可得，0Vabc41,—■—Na+b+c>0,abc.•.(々+?+工)2>(a4-fe+c)2=a24-b24-c2+2ab+2ac+2bc,*.,a24-b2+c2>ab+he+ca,当且仅当Q=b=c时，等号成立.・'•(々+；+"L)2N3(ab+bc+ca),当且仅当a=b=c时，等号成立・abbeca3.已知函数/(%)=|x+1|+|x-2|.(1)解不等式/0)>6：(2)若关于X的不等式/(无)>X24-m在[0,4]上恒成立，求实数m的取值范围.【答案】⑴(一8,一习U6,+8)(2)(-oo,-9]【解析】⑴由设+1|+忧-2|>6得｛ 二一：'八A或f11'时点A或f…工'解得X〈一j或无E0或X> ・,.不等式的解集为(一8,-1)UQ,4-8).(2)由题意知，当工£[0,4]时，|工+1|+|久一2| +7n恒成立.若0WxV2,则x+14-2-x>x2+m,即m<-x2+3恒成立，此时，-IV-/+3W3,故mW-l；若2WxW4,则x4-1+x—2>x2+m,即m<—x2+2x-1恒成立，此时，——2x—1=—(x—1)2在最小值为-9,故mW-9.综上所述，〃7的取值范围是(一8,—9]..已知f(%)=|%-4|+\2x+2|一优一1|的最小值m.(1)求实数m值；(2)若Q+b+c=^-3,证明/++c2工【答案】(l)m=3(2)证明见解析【解析】(1)由题意,函数f(x)=|x-4|+|2x+2|-|x-l|,当为<—1时，可得/(%)=4—x-2x-2+x-l=l-2x,可得f(x)>/(-l)>3；当-1工xV1时，可得f(x)=4-x+2x+24-x-l=5+2x,可得f(x)>/(-l)=3；当14XV4时，可得/(%)=4—%+2x+2+l—%=7,可得/(x)>7；当％N4时，可得f(x)=x—4+2x4-24-1—x=2x—1»可得f(%)>f(4)=7»所以函数/(》)的最小值为3.(2)解：由m=3,可得q+b+c=T—3=|-3=—2,所以4=(q+b+c)2=q2+/+/+2ab+2ac+2bc<3(a2+&2+c2),当且仅当Q=b=C=-:时取等号，所以02+82+。22*.已知/(%)=|x-2|4-卜+曰的最小值为m.(1)求m的值；(2)若正实数a,hc满足a+b+c=m,证明：a24-2b24-c2>|.【答案】(唠(2)证明见解析【解析】(1)/(%)=|x-2|+|x+1|>|(x-2)-(%+1)|=|,当且仅当一时等号成立，・・・m=，(2)va>0,b>0,c>0,a4-fa+c=热由柯西不等式得：(a2+2b2+c2)-(尸+(乎)+之(q+b+c)2,.•・a2+2b2+c2>I，当且仅当q=2b=c=1时取等号..已知a,b,c均为正实数，且abc=l.证明：(1)a34-b3+c3>3：(2平+£+£??.a3+lb3+lc3+l2【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(l)Va,b,c都为正整数，且abc=l.•a3+b3+c3>3y/a3b3c3=3•当且仅当a=b=c=1时"="成立.£^+港3+1)>眄…①(2)法一：由题意得，高+ +1)N…②岛+((。3+1)之乱…③TOC\o"1-5"\h\z①+②+@，+-^-+^—>-(a3+b3+c3}a3+lb3+ll+l4、 J4 4 4 2当且仅当a=b=C=1时“=”成立.法二：由Cauchy不等式，得(言y+忌T+仑^乂④+D+(^3+1)+(c3+1)]>(a34-b34-c3)2.令t=a34-&34-c3>3»则b6 c6 a6 (a3+ft3+c3)2 t2 9 ,人J」+ +'T-7Na,a~「7=—T=t+3d -6•a3+l b3+l 〃+l a3+b3+c3+3 t+3 t+3令g(t)=t+3+/-6,则g(t)在[3,+8)上单调递增./,、、3nnb，,c，.a，、3••g(t)'?即不+而.已知f(x)=|x+4|-|x-m\.(1)若m=2,求/'(x)Vm的解集；(2)若q>0,b>0,c>0,abc=1,对于VxER,(a+b)?+(a+c)?+(b+c)2Z/(%)恒成立，求实数加的取值范围.【答案】(l)W%<0}(2)[-16,8]【解析】(1)若m=2,则/(x)=忱+4|一以-21V2,当xZ2,(无+4)—(X—2)V2时，无解；当一4V%V2时，(x+4)-(2-x)<2,解得一4VxV0；当％<-4时(一工一4)一(2一%)=-6V2,解得x<-4.综上所述：m=2时，/(x)<m的解集为{x|x<0}.(2)由(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2>4ab+4ac+4bc=4(ab+qc+be),又因为abc=1,所以4(ab+qc+be)>4x3x>Jab-acbe=12,当且仅当a=b=c,ab=be=ac时，即q=b=c=1等号成立，所以(q+b)?+(a+c)2+(b+c)z的最小值为12；因为VxGR9(q+b)?+(q+c)?+(b+c)2>f(x)恒成立.即/(%)=|x4-4|—|x-m|<|4+m|<12.当且仅当(x+4)(x-m)>0时等号成立，解得一16<m<8：故实数m的取值范围为[-16,8]..已知函数/(冗)=|x+4a|+m|x-(1)当m=2,Q=l,求不等式/(x)415的解集;(2)当m=l时,证明：/(%)>4.【答案】(1)卜号］(2)证明见解析【解析】3%4-2,x>1(1)当m=2,q=1时，/(x)=|x4-4|4-2|x—1|=6—X,—4<x<l,.-3x—2,xW—4当％N1时，/(x)415化为3x+2W15,解得14xW日；当-4<x<l时，f(x)415化为6-xW15,解得一4cx<1；当xW-4时，f(x)W15化为-3x-2W15,解得一54x4-4,所以f(x)W15的解集为卜日,用；(2)当m=1时，/(X)=|x+4a|+x-->(x+4a)-fx--'jl=14a+—=|4a|+1-1>2114al.口=4

a \a/1Ia laiJ la当且仅当x+4a与异号，且14al=H，即(1=±(时，等号成立..已知函数f(x)=|x+2|-m,meR,且f(x)40的解集为［-3,—1］.(1)求m的值；(2)设a,h,c为正数，且a+b+c=zn,求，3a+1+73b+1+，3c+1的最大值.【答案】⑴1(2)372【解析】(1)由/(x)40,得|x+2|4m,所以f0d,-I—m—2<x<m—2X/(x)<0的解集为［-3,-1］,所以｛曹二2二；，解得它］.(2)由(1)知a+b+c=1由柯西不等式得(V3a+1+73b+1+(3c+1)2<(«3a+I)2+(V3/j+l)2+(V3c+l)2)•(l2+l2+l2).所以(，3a+1+V3h+1+V3c+l)2<(3(a+b+c)+3)x3=18，所以V3a+1+73b+1+V3c+1<3夜，当且仅当V3a+1=73b+1=V3c+1.即a=b=c=；时等号成立.故V3a+1=V36+1=V3c+1的最大值为3企..己知函数/'(x)=\2x—m2\+\2x+1—2m\.(1)当机=3时，求不等式/a)》io的解集；(2)若/(x)》4恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(l){x|xVl或x>6}(2)(-oo,-1]U[3,+oo)【解析】14-4x, |(1)解：当m=3时，/(x)=\2x-9|+|2x-5|=<4,：<x<g,9

、4x-14,当时，令14-4x210,解得xWl.当m<x<g时，不等式/(x)>10无解.当xN3时，令4%一14210,解得XN6.因此，不等式/(x)>10的解集为{x|x<1或x>6}.(2)解：因为/(幻)4恒成立，所以f(x)min>4.因为f(x)=|2x—m2|+|2x+1-2m|>|(2x—mz)—(2x+1—2m)|=|m2—2m+11=(m—I)2当且仅当2m-1SxWm2时取等号，所以(m-l)2)4,解得m>3或rn4—1.所以实数m的取值范围是(一8,-l]u[3,+oo)..已知函数/'(x)=3|x-l|-|x+3|.(1)求不等式f(x)>14的解集；(2)若方程川x|=f(x)存在非零实数根，求实数k的取值范围.【答案】(1)(-00,-4]U[10,+00)(2)[-4,2)U(2,4]—2.x+6xS—3(1)由题意f(x)=｛-4x-3<x<12x-6x>l又板>14,所以｛一2：之14或｛二工或H14解得xW-4或xN10,即不等式f(x)>14的解集为(-oo,-4]U[10,+co).(2)由题得方程k|x|=3|x-l|-|x+3|存在非零实数根.所以卜=党产一3|一《+1|存在非零实数根，又|弓_3|一味+1||工吗—3)_(：+1)|=4,当且仅当G-3)(：+1)>0,即0<xW1或一3<x<0时等号成立，又0，则弓一31-弓+II*2,所以一4<11—3|—|^+1|<4且I：-3|一|：+1|*2,所以一4<k<4Rk*2,综上，实数人的取值范围是[-4,2)U(2,4].12.已知函数/(冗)=\2x—a\—a\x-2\.(1)当。=一1时，求不等式f(x)V8的解集；(2)当xW[1,2]时,/(%)>0,求a的取值范围.【答案】⑴(后,3)(2)(-oo,l]【解析】(1)当。=-1时，f(r)=|2x+l|+|x-2|；当无工一1时，/(x)=-2x-14-2-%=-3x+1<8,解得：x>-p <x1当一3VXV2时，/(》)=2无+1+2—x=x+3V8，解得：x<5,x<2；当无N2时，/(x)=2x+l+x-2=3x-l<8,解得：x<3,.%2<x<3：综上所述：不等式/(%)<8的解集为(一[,3).(2)当xG[1,2]时，/(x)=\2x—a\—a(2—x)=\2x—a|-2a4-ax>0,即|2x-a|>a(2—x)；①当2x—aN0时，2x—a>a(2—x)»即(a+2)x—3a>0恒成立；(2-a>0•••ja+2-3a>0,解得：a41；(-a+4>0②当2x-a<0时，a-2xNa(2-x),即(a—2)x-a20恒成立；ia>4•••a-2-a>0,不等式组解集为0：(2(a—2)—a10综上所述：实数a的取值范围为.已知函数f(%)=|2x-3|+|3x-6|+2a+2.(1)当a=-l时，求不等式f(x)<2的解集；(2)若关于x的不等式/(x)-\x-2\<a?有实数解，求实数a的取值范围.【答案】⑴6，装)(2)(-oo,-1]U[3,+oo)【解析】(I)由题意得,|2x-3|+|3x-6|<2,当*时，不等式化为3-2x+6-3x<2.解得x>g,.■/<x<|：当*xW2时，不等式化为2x-3+6-3x<2.解得x>l,.《WxW2；当x>2时，不等式化为2x-3+3x-6<2,解得*<2,：.2<x<—,5 5综上，不等式/⑺<2的解集为仔号).(2)由题意得，a2-2a-2>|2x-3|+\2x-4|有实数解,V|2x-3|+|2x-4|>|(2x-3)-(2x-4)|=1,：.a2-2a-2>1,解得：。4一1或。23,即a的取值范围是(-8,-l]u[3,+8)..己知函数/'(x)=|x-1|-2|x-3|.(1)求不等式f(x)>-2的解集：(2)若存在x,使不等式a?-a</(x)+|x—3|成立，求实数a的取值范围.【答案】⑴由7](2)(-1,2)Ix—5,x<13x-7,1<%<3,—x+5,x>3

由/1(x)>-2可得x<1时无解,14x43时，解得：1<x<3,x>3时，解得3<x47,综上，解集为自7].(2)由已知：存在x>使不等式次一qv|x-1|—\x-3|成乂，即。2_a<(|X-1|一|X—3|)max，又•••|x—1|一|x—3|4|(x-1)-(%-3)1=2(当且仅当x>3时取“=”号),/.a2—a<2»A—1<a<2,・♦・实数a的取值范围为(一1,2).15.已知函数/(%)=|x-2|+|x-4|,已知不等式/'(%)>kxQk>0)恒成立.(1)求k的最大值而；(2)设a>0,b>0,求证:高+公之卷.【答案】(1)3=((2)证明见解析2；2；当x24时,(1)当xW2时，/(x)=2—x+4—x=6—2x：当2cx<4时，/(x)=x—2+4—xf(x)=x-2+x-4=2x-6；由此可得/'(x)图象如下图所示，•••f(x•••f(x)2kx(k>0)恒成立，则由图象可知：当丫=卜》过点(4,2)时，k取得最大值后,⑵由⑴知:只需证明岛+热w,即⑵由⑴知:只需证明岛+热w,即m=n时取等号),16.已知函数f(x)=|x4-a|—|x—1|(1)当q=2时，解不等式f(x)>2；(2)若不等式f(x)<|x-4|对任意文£[0,2]都成立，求实数〃的取值范围.【答案】(1)6,+8)⑵(-4,1)【解析】(1)当a=2时,/(x)=|x+2|—|x—1|,收>2=｛蓑；，或篁/或低：从而，原不等式的解集为6,+8)(2)当工€[0,2]时,/(x)<|x—4|恒成立，即忧+a|-|x-1|<4—x恒成立①当1<%<2时,有氏4-a|<3恒成立，即-3V无+qV3<=>-3-%<a<3—x恒成立Vl<x<2,故一4VqV1.②当04xV1时，有|x+a|V5-2x恒成立，即2%一5Vx+q〈5-2x=x-5<q<5—3%恒成立.V0<x<1,故一44a42.综上所述，所求实数。的取值范是(-4,1).17.已知函数/(幻=\2x-1|-|x4-1|.(1)解不等式/(x)V2；(2)若关于％的不等式/(冗)+3|%+1|<。2一2°的解集不是空集，求a的取值范围