数学高考真题卷-全国2文数（含答案解析）

2018年普通高等学校招生全国统一考试•全国H卷（文科数学）一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..i(2+3i)=A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2/.已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5}，则ACB=A.{3} B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}.函数f(x)上；的图象大致为XZA BC D.已知向量a,6满足Ia\=lta•则a,（2a-H）=A.4 B.3C.2D.05.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3.双曲线盘＜=1（a0,垃0）的离心率为则其渐近线方程为A.y=±V2x B.y=±V3%C.y二土争r D・y二土争r.在优中,cos三岑,BC=X,AC=5,51lJAB=

A.4V2 B.V30C.V29 D.2V5.为计算S=l4/-+…+'壶,设计了如图所示的程序框图,则在空白框中应填入MlA.i=i+lA.i=i+li=i假B.i=i@i=i制N=O,T=O/输出S/N=O,T=O/输出S/.在正方体{腼-4区G4中,£为棱制的中点，则异面直线4E与位所成角的正切值为.若/1(x)yosx-sinx在［0,a］是减函数，则a的最大值是.已知凡K是椭圆。的两个焦点，夕是，上的一点.若PFdPB,且/用£40°,则C的离心率为A.1-yB.2-V3C.缪D.V3-1.已知/'(x)是定义域为(-『+8)的奇函数，满足f(l-*)=f(l+x).若£(1)之,则AD+A2)+A3)+-+A50)=A.-50B.OC.2D.50二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分..曲线尸21nx在点(1,0)处的切线方程为.{X+2y-520,x-2y+3>0,则z=x"的最大值为.x・5W0,.已知tan(0-：)三,贝(Jtan0=..已知圆锥的顶点为S,母线SA,眼互相垂直,必与圆锥底面所成角为30°.若△SI5的面积为8,则该圆锥的体积为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题:共60分..（12分）记S为等差数列｛&｝的前〃项和，已知a=-7,S=T5.（1）求｛a'｝的通项公式;（2）求S,并求S,的最小值..（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位:亿元）的折线图.2000300120022003200420052m161X)720*83W9201020112012201320142015»16年吩为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,-,17）建立模型①:y-30.443.5力根据2010年至2016年的数据（时间变量，的值依次为1,2,…,7）建立模型②:yR9+17.5t.（1）分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由..（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC&[i,PA=PB=PC=ACW,0为〃'的中点.⑴证明：/UL平面ABC;⑵若点材在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面/W的距离..（12分）设抛物线的焦点为K过6且斜率为4(心0)的直线/与。交于46两点，lABl=^.(1)求/的方程；(2)求过点A,6且与，的准线相切的圆的方程..(12分)已知函数f(x)^x-a{x+x+\).(1)若aW求/U)的单调区间;(2)证明：/'(>)只有一个零点.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分..［选修4M:坐标系与参数方程］(10分)在直角坐标系.中,曲线，的参数方程为优z盘小(，为参数)，直线1的参数方程为匕z；t:黑力—^rsintz 一Z十csinu为参数).(1)求C和/的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线1所得线段的中点坐标为(1,2),求/的斜率..［选修4出:不等式选讲］(10分)设函数f{x)%Tx+a\-\x-2.(1)当a=\时,求不等式f(x)20的解集;(2)若/求a的取值范围.12345678910111213141516DCBBDAABCCDCy=2x-29328冗.D【考查目标】 本题主要考查复数的运算，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】i(2+3i)=2i+3/=-3+2i,故选D.【解题关键】按照复数的运算法则计算即可,同时牢记复数运算中i2-l..C【考查目标】 本题主要考查集合的交运算，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】 因为集合4={1,3,5,7},B=[2,3,4,5),所以4n序{3,5},故选C.【解后反思】 集合的交、并、补运算是高考中的高频考点，应熟练掌握，解题时一定要认真、细心..B【考查目标】 本题主要考查函数的图象、函数奇偶性的判断，考查考生的逻辑思维能力及运算求解能力,考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】因为A-X)芸=W=-f(x)(杼°)，所以f(x)是定义域上的奇函数,所以函数f(x)的图象关(-x)zX&于原点(0,0)中心对称,排除选项A;因为AD和\>2,所以排除选项C,D,选B.e4.B【考查目标】 本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】 因为Ia|=l,a•b--\,所以a•(2a-6)=O.\a\2-a*62X『-(T)4,故选B.D【考查目标】 本题主要考查古典概型，考查考生分析问题与解决问题的能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】将2名男同学分别记为x,y,3名女同学分别记为a,6,c.设“选中的2人都是女同学”为事件4则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(%y),(x,a),(x,ti),(x,c),(y,a),(y,6),(%c),(a,6),(a,c),(6,c),共10种,其中事件A包含的可能情况有(a,6),(a,c),(6,c),共3种,故P[A)磊43.故选D.【方法总结】对于古典概型，计算事件1的概率的具体步骤:①分析一次试验由多少个基本事件组成(即求"W)；②分析事件4包含多少个基本事件(即求m书;③利用公式P(A)艺,求得事件A的概率.在求解n,m的值时,可利用列举法逐一列出基本事件求解,列举基本事件时要做到不重不漏.A【考查目标】 本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】因为双曲线的离心率为V5,所以£个后,即cW5a.又所以（百a）唯d上从化简得2甘=片,所a以2R2.因为双曲线的渐近线方程为y=±-x,所以y=土显x.故选A.a a【拓展结论】（1）焦点在“轴上的双曲线的标准方程为5珞=1（a>O"X））,焦点坐标为（土c,0）,实轴长为2a,虚轴长为26,渐近线方程为尸土，（2）焦点在y轴上的双曲线的标准方程为《芸=l（aX）,6刈，焦点坐标为（0,土c）,实轴长为2a,虚轴长为26,渐近线方程为A【考查目标】本题主要考查二倍角公式、余弦定理，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】因为cos翟所以cos02cos]T之X造2-1=9.于是,在△胸中，由余弦定理得2.5 2 5 5A#=AC+BC々ACXBCXcosC^52*l2-2X5X\X（-）32,所以AB工故选A.【命题风向】解三角形是近几年高考中的高频考点,将解三角形与其他知识巧妙地融合在一起，既体现了试题设计的亮点,又体现了对所学知识的交汇考查.8.B【考查目标】本题主要考查程序框图，考查考生的逻辑推理能力以及运算求解能力,考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】由题意可将S变形为S=（l+J+…+尚）-（：+：+…+白），则由S=N-T,得小+…+白,左4+…+白？据3 99 24 100 3 99 24 100此结合型wg,7=7二易知在空白框中应填入i=i+2.故选B.I 1+19.C【考查目标】本题主要考查异面直线所成的角,考查考生的空间想象能力、化归与转化能力以及运算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.【解析】如图,连接阳因为相〃勿所以异面直线在•与5所成的角等于相交直线四与46所成的角，即不妨设正方体的棱长为2,则CEA,BC2由勾股定理得BE』.又由.平面BCCB可得ABX.BE,所以tan/口唠当故选C.【答题模板】 求异面直线所成的角，需要将异面直线所成的角等价转化为相交直线所成的角，然后利用解三角形的知识加以求解..C【考查目标】 本题主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的数形结合能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.【解析】解法一F(x)=cosx~sinxr^cos(x5).当XG[0,a]时,入片6[?,a5],所以结合题意可知,a*n，即aW：,故所求a的最大值是故选C.4 4 4解法二f"(x)--sinx-cosx=-\Z^sin(x5).于是，由题设得F'(x)W0,即sin(x5)》0在区间[0,a]上恒成立.当xG[0,a]时,I?,a5],所以n,即aW?,故所求a的最大值是半.故选C.【解题关键】 灵活运用“局部整体化”思想是处理好形如内sin(3x")(Q刈，Qcosg广0)(。刈，『4tan(。户0)(。刈的三角函数问题的关键.具体问题中,首先将“3x+@”看作一个整体，然后活用相关三角函数的图象与性质求解..D【考查目标】 本题主要考查椭圆的定义和简单的几何性质,考查考生的数形结合能力、运算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.【解题思路】 结合有关平面几何的知识以及椭圆的定义、性质加以灵活分析,关键是寻找椭圆中a,c满足的关系式.【解析】由题设知吗40°,/砥£与0°,阴£|=2c,所以I格l=c,l阳由椭圆的定义得PFx\+\PFi\-2a,即VIc+c2a,所以(g+1)c^2a,故椭圆C的离心率5T.故选D.【方法总结】在求解有关椭圆或双曲线的离心率的问题时，一般不直接求出a和c的值，而是根据题设条件建立关于基本量a,b,c的方程(组)或不等式(组),通过解方程(组)或不等式(组)求得离心率的值或取值范围..C【考查目标】 本题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】 可以先根据题设条件确定函数/X*)的周期，再由已知求出一个周期内的相关函数值，最后结合周期化简求和;也可以找一个符合题意的特殊函数,以便迅速求解.【解析】通解因为F(l-x)=/U+x),所以函数/'(X)的图象关于直线x=l对称.因为F(x)是奇函数，所以函数/1(*)的图象关于坐标原点(0,0)中心对称.数形结合可知函数f(x)是以4为周期的周期函数.因为r(x)是(-8,+8)上的奇函数,所以f(0)因为f(l-x)=f(l+*),所以当x=l时，f⑵=f(0)4);当户2时,f(3)=f(T)=-f(l)=-2;当x-3时，/1(4)=f(-2)=-f(2) 综上,可得f⑴+/1⑵ ⑶…・"(50)=12X"(1)”(2)1(3)"(4)]”(1)”(2)=12X[2X)+(-2)X)]+2X)=2.故选C.优解取一个符合题意的函数/"(X)之sin葭,则结合该函数的图象易知数列"(〃)}(〃eN)是以4为周期的周期数列.故/■⑴+/1⑵“⑶*”"(50)=12X"⑴"(2)+f(3)1(4)]+F(1)+F(2)=12X[24+(-2)如上2旬2.故选C.【拓展结论】一般地，①若函数/(")的图象既关于点(a,0)对称,又关于点(6,0)(6#a)对称,则函数f(x)是以2|a-引为周期的周期函数;②若函数/U)的图象既关于直线产a对称,又关于直线x=b(6Wa)对称,则函数/'(X)是以2|a-引为周期的周期函数;③若函数/Xx)的图象既关于点(a,0)时称,又关于直线x=b(b片心对称,则函数〃*)是以4a-引为周期的周期函数.1302x-2 【考查目标】本题主要考查利用导数求曲线在某点处的切线方程，考查考生的运算求解能力,考查的数学核心素养是数学运算.【解析】由题意知,，千,所以曲线在点(1,0)处的切线斜率〃可’口之,故所求切线方程为厂03(xT),即片2x2.9【考查目标】本题主要考查线性规划中的最值问题,考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.【解析】通解画出可行域如图中阴影部分所示.目标函数z=x+y可化为尸-x+z,作出直线y=-x,并平移,当平移后的直线经过点6时,z取得最大值.联立,得产③=°，解得?=:，所以以5,4),故/巧(x-5=0, (y=4,优解画图(图略)知可行域是封闭的三角形区域，易求得可行域的三个顶点的坐标分别是(1,2),(5,4),(5,0),依次代入目标函数可求得z的值是3,9,5,故z^x=9.【方法总结】线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界处取得，所以对于可行域为封闭型的线性规划问题，可以直接解出可行域的所有顶点坐标,然后将坐标分别代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值.15.|【考查目标】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解题思路】可直接利用正切函数的差角公式求解;也可灵活利用加减变形技巧加以求解.【解析】解法一因为tan（a彳）W，所以上上与W，即*■三解得tan.：45 l+tanatan经51+tana5 24解法二因为tan（。r）W，所以tana=tan[（a之]-an（a-q+tan:一可丹.4 5 4 4i_tan（a?）tan；F12【解题高招】⑴有意识地考虑“角”与“角”之间的“加减”联系，常见的有2。=（"£）+（"£）,2a+B=（a+夕）+a,£=。-（。-£）等；（2）处理有关三角函数问题时,有时需将表示“角”的代数式看作一个整体,然后通过换元,进一步分析、解决问题.16.8n【考查目标】本题主要考查圆锥与直角三角形的交汇,考查考生的数形结合能力、运算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.【解题思路】首先结合题设条件求得圆锥的母线长,然后在直角三角形中求得圆锥的高以及底面圆的半径,最后利用圆锥的体积公式求解即可.【解析】 由题意画出图形,如图,设〃1是底面圆。的直径,连接SO,则SO是圆锥的高.设圆锥的母线长为1,则由必_1_防,/\必）的面积为8,得“2=8,得在RtZ\4S0中，由题意知NS1330°,所以SO曰乏"041乏V3.故该圆锥的体积K-ijiXAOXSO^X（2V3）aX2-8n.【方法总结】（D求简单几何体的体积时，可直接利用相应几何体的体积公式求解；（2）求组合体的体积时,常用转换法、分割法、补形法等进行求解；（3）求以三视图为背景的几何体的体积时,应先根据三视图还原几何体的直观图,然后根据题设条件求解..【考查目标】本题主要考查等差数列的通项公式及前〃项和公式，配方法求最小值，考查考生的运算求解能力,考查的数学核心素养是数学运算.【解题思路】（1）结合题设,构建关于首项和公差的方程，解之即可求得数列的通项公式；（2）先求出S,再利用配方法求得最小值.【解析】（1）设｛a｝的公差为d,由题意得3a产3d=T5.由a、=T得d2所以｛aj的通项公式为a„^2/?-9.⑵由⑴得Stpn-8n=（77-4）2-16.所以当n=\时,S取得最小值,最小值为T6.【方法总结】在进行等差仕匕）数列的通项与前n项和的运算时，常化成关于首项和公差（公比）的方程（组）求解,但要注意消元法及整体计算的应用，以减少计算量..【考查目标】本题主要考查线性回归方程的实际应用，考查考生的应用意识，分析问题与解决问题的能力以及运算求解能力,考查的数学核心素养是数据分析、数学建模、数学运算.【解题思路】（1）模型①中取片19,模型②中取tR,求出对应的函数值即可；（2）利用所给折线图中数据的增长趋势，加以分析即可.【解析】（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=-30.4+13.5X19426.1（亿元）.利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=99+17.5X9=256.5（亿元）.（2）利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下：（i）从折线图可以看此2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线尸-30.4+13.51上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型©不能很好地描述环境基础设施投资额的趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠.（ii）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.n nE（^rx）（yry） a£xiyi-nxy*."【解后反思】 ①线性回归方程丫=2+6＞中，系数计算公式b-i~~■—,也可以写成b当__a^y-bx,E（xj-x）2 Exf-nx2i=i i=i其中x,y表示样本均值.②统计中涉及的图形较多，常见的有条形统计图、折线图、茎叶图、频率分布直方图等,应熟练掌握这些图形的特点,提高识图与用图的能力..【考查目标】本题主要考查立体几何中线面垂直以及点到平面的距离，考查考生的空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力,考查的数学核心素养是宜观想象、逻辑推理、数学运算.【解题思路】（1）利用线面垂直的判定定理加以证明；（2）利用“等面积法”巧解点到平面的距离.

【解析】⑴因为加勺产/司，0为4c的中点,连接OB.因为AB=B*AC,所以a'为等腰直角三角形,且OBLAC,OB=AC2由。尸+0易Pg知，OPX.0B.由OPLOB,见_然知。01.平面ABC.（2）作物〃弘垂足为〃又由⑴可得0P上CH,所以如平面POM.故。/的长为点C到平面%（/的距离.由题设可知OC^AC^.,CM^BC当,NACBN50.所以0M堂OC•MC•sin所以0M堂OC•MC•sinZACBCH- 0M4\/55,所以点C到平面的距离为增.【方法总结】（1）证明线线平行常用的方法:①利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行；卷闲」用平行四边形进行平行转换;朗I］用三角形的中位线定理证明；例|」用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.（2）证明线线垂直常用的方法:明I」用等腰三角形底边中线即高线这一性质；②勾股定理的逆定理;③线面垂宜的性质定理,即要证两宜线垂直，只需证明一条宜线垂直于另一条直线所在的平面..【考查目标】本题主要考查抛物线与直线和圆的综合,考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.【解题思路】（D利用点斜式写出直线1的方程，代入抛物线方程,得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系以及抛物线的定义加以求解；（2）由题意写出线段熊的垂直平分线所在宜线的方程，设出圆心的坐标，由题意列出方程组,解得圆心的坐标,即可求解.【解析】 ⑴由题意得尸（1,0）,/的方程为尸设/（汨，％）,6（检㈤.由PT号")'得加72/⑷x出=0.(y=4xA=16Ar2+16X),故x\+x/2k：k£所以|留二|朋+1即=(xi+1)+(X2+I)=空匕.k£由题设知智3,解得a=T(舍去)，〃=i.因此/的方程为心r-L⑵由⑴得相的中点坐标为(3,2),所以四的垂直平分线方程为广2=-(『3),即尸H5.设所求圆的圆心坐标为(8,yo),则l(x0+I)2="铲+16.解得［%=2或1%=-6.因此所求圆的方程为(x-3)%(y-2)2=16或(x-11)2+(_r⑹2=144.【拓展结论】设熊是过抛物线炉之后(卢0)的焦点厂的弦,记水汨,％),讥居㈤，直线四的倾斜角为“C(0,"),则yxy2=-p,XiX2^,IAB\~x'+x2+P~^2g'总脸怖*"2：ne(其中。为坐标原点)•.【考查目标】本题主要考查导数与函数单调性的关系、零点存在性定理,考查考生的数形结合能力、推理论证能力以及运算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.【解题思路】(1)通过求导、解不等式即可迅速求解；(2)构造函数，利用导数研究该函数的单调性，进而得f(x)的单调性,然后利用零点存在性定理即可证得结论.【解析】⑴当a考时,/Xx)^x-3x2-3x-3,f'(x)4~6x-3.令fJ(x)=0解得产32/5或产3+2y/3.当xG(--,3-2V3)U(3+2V3,+8)时，f，(x)M；当xG(3-2V3,32/5)时，f'(x)<0.故/■(入)在(-8,3-2百)，(3+2次,+8)单调递增，在(3-2百,3+2百)单调递减.(2)由于xJx+l3,所以f(x)=0等价于>7^-324).xz+x+l设g⑸x^+x+l~3a,则g'(X)一节0,仅当xK时/(*)次,所以g(x)在(-8,+8)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又r(3a-l)―6a2+2a'-6(3')2'<0,f(3a+l)上X),故f(x)有一个零点.3 6 6 3综上，/■(*)只有一个零点.【方法总结】①若求函数f（x）的单调区间（或证明函数F（x）的单调性），只需在函数f（x）的定义域内求解（或证明）不等式f'（x）20或F ②若已知函数f（x）的单调性，则可转化为不等式F'（x）》0或F'（x）WO在单调区间上恒成立;③函数的零点问题一般利用导数研究函数的单调性、极值等