决策理论与方法教学第七章模糊决策方法课件

决策理论与方法

（DecisionMakingTheoryandMethods）

《决策理论与方法》编写组教育部高等学校管理科学与工程类学科专业教学指导委员会推荐教材决策理论与方法

（DecisionMakingTheor第七章模糊决策方法第七章模糊决策方法学习目的了解模糊集、隶属函数、模糊矩阵的概念；掌握模糊意见集中决策、模糊优先关系排序决策、模糊相似优先比决策、模糊相对比决策、模糊综合评判决策及层次分析法等决策方法。学习目的了解模糊集、隶属函数、模糊矩阵的概念；本讲内容7.1模糊理论的基本概念

7.1.1模糊集与隶属函数

7.1.2截集与分解定理

7.1.3隶属函数的确定方法

7.1.4模糊矩阵本讲内容7.1模糊理论的基本概念5前言：什么是模糊数学秃子悖论:天下所有的人都是秃子设头发根数nn=1显然若n=k

为秃子n=k+1亦为秃子模糊概念模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨5前言：什么是模糊数学秃子悖论:天下所有的人都是秃子设头发天气冷热雨的大小风的强弱人的胖瘦年龄大小个子高低天气冷热雨的大小风的强弱人的胖瘦年龄大小个子高低7共同特点：模糊概念的外延不清楚。

术语来源Fuzzy:毛绒绒的，边界不清楚的模糊，不分明模糊概念导致模糊现象模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。7共同特点：模糊概念的外延不清楚。术语来源Fuzzy:毛8人工智能的要求

取得精确数据不可能或很困难没有必要获取精确数据模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学学科，而且也形成了一种崭新的思维方法，它告诉我们存在亦真亦假的命题，从而打破了以二值逻辑为基础的传统思维，使得模糊推理成为严格的数学方法。随着模糊数学的发展，模糊理论和模糊技术将对于人类社会的进步发挥更大的作用。8人工智能的要求取得精确数据不可能或很困难没有必要获取精确9模糊数学的概念处理现实对象的数学模型确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必然联系.随机性数学模型:对象具有或然性或随机性模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性.随机性与模糊性的区别随机性:指事件出现某种结果的机会.模糊性:指存在于现实中的不分明现象.模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.9模糊数学的概念7模糊决策方法

模糊数学把数学的应用范围从精确现象领域扩大到模糊现象领域，四十多年来，模糊数学理论发展迅速，应用广泛。模糊数学在实际上的应用几乎涉及到国民经济的各个领域，尤其在科学技术、经济管理、社会科学方面得到了广泛而又成功的应用。决策问题在很多情况下具有模糊性，因此应用模糊数学方法进行决策研究有其必然性。

7模糊决策方法模糊数学把数学7.1模糊理论的基本概念

模糊数学由美国控制论专家L.A.扎德（L.A.Zadeh,1921--）教授所创立。他于1965年发表了题为《模糊集合论》（《FuzzySets》）的论文，从而宣告模糊数学的诞生。

L.A.扎德教授多年来致力于“计算机”与“大系统”的矛盾研究，集中思考了计算机为什么不能像人脑那样进行灵活的思维与判断问题。

“当系统的复杂性日趋增长时，我们做出系统特性的精确然而有意义的描述的能力将相应降低，直至达到这样一个阈值，一旦超过它，精确性和有意义性将变成两个几乎互相排斥的特性。”

“常规数学方法的应用对于本质上是模糊系统的分析来说是不协调的，它将引起理论和实际之间的很大差距。”因此，必须寻找到一套研究和处理模糊性的数学方法。这就是模糊数学产生的历史必然性。

7.1模糊理论的基本概念模糊数学由美国控制论专家L7.1模糊理论的基本概念7.1.1模糊集与隶属函数经典集合A由其特征函数唯一确定，其中A由映射

因此，只能表达“非此即彼”的清晰概念（现象）不能表达“亦此亦彼”的模糊概念（现象）

7.1模糊理论的基本概念7.1.1模糊集与隶属函数例1从图的30条线段中，选出“长的线段”从左起，第1条是属于“长线段”，第2，3…条越靠右的线段作为“长线段”的资格就越降低，第30条线段根本不能作为“长线段”的成员。应属于“短线段”。

例1从图的30条线段中，选出“长的线段”从左起，第1条是属例2在标志年龄(0〜100)的数轴上,标出“年老”、“年轻”的区间。

这里需要考虑…40岁，…50岁，…60岁,…属于“年轻”还是“年老”。从“长”到“短”，从“年轻”到“年老”。经历了一个从量变到质变的连续过渡过程。“长”

“短”“年轻”“年老”这些模糊概念无法用特征函数来刻画。Zadeh把特征函数的值域由{0,1}扩张到[0，1]，引入了隶属函数，定义的模糊集合，使模糊概念的数学表达成为可能。例2在标志年龄(0〜100)的数轴上,标出“年老”、“年轻7.1模糊理论的基本概念7.1.1模糊集与隶属函数

定义7.1.1设是论域（全集），称映射确定了上的模糊子集。映射称为的隶属函数（或称为u对A的隶属度）。模糊集记为“F集”。对于某F集A，若仅取0和1两个数时，A就退化为普通集合。隶属度与隶属函数的思想是模糊数学的基本思想。7.1模糊理论的基本概念7.1.1模糊集与隶属函数普通集是模糊集的特例，模糊集是普通集的推广。例1中，因线段长度按线性递减，其中，P（U)是U的幂集。即由集合U的所有子集组成的集合普通集是模糊集的特例，模糊集是普通集的推广。例1中，因线段长同理，“短线段”的隶属函数为

所以，“长线段”的隶属函数为(1,1)(30,0)同理，“短线段”的隶属函数为所以，“长线段”的隶属函数为(例2中，例2中，7.1模糊理论的基本概念7.1.1模糊集与隶属函数模糊集的表示方法（以有限论域为例），设论域是有限集或可数集，U上的任一模糊集A，其隶属函数为（1）扎德表示法：（2）序偶表示法：（3）向量表示法：

7.1模糊理论的基本概念7.1.1模糊集与隶属函数模糊集合的表示法1－zadeh表示法论域U是有限集｛x1,x2,…,xn｝,U的任一模糊子集A，其隶属函数为μi=A(xi)模糊子集A记作A=∑i=1nA(xi)/xi“∑i=1nA(xi)/xi”不是分式求和，只是一符号而已。“分母”是论域U的元素“分子”是相应元素的隶属度当隶属度为0时，该项可以不写入注意模糊集合的表示法1－zadeh表示法论域U是有限集｛x1,模糊集合的表示法1模糊集合表示方法1——Example.论域={Bill,John,Einstein,Mike,Tom}smart程度：0.85，0.75，0.98，0.30，0.60则论域中元素对“smart”这模糊概念的符合程度可以用模糊子集A来表示

A=0.85/Bill+0.75/John+0.98/Einstein+0.30/Mike+0.60/Tom模糊集合的表示法1模糊集合表示方法1——Example.模糊集合的表示法2、3序偶表示法

A＝{(x1,μ1),(x2,μ2),…,(xn,μn)}A={(Bill,0.85),(John,0.75),(Einstein,0.98),(Mike,0.30),(Tom,0.60)}向量表示法

A＝{μ1,μ2,…,μn}A={0.85,0.75,0.98,0.30,0.60}模糊集合的表示法2、3序偶表示法例向量法：序偶法：Zadeh法：例向量法：序偶法：Zadeh法：例

设论域为实数域R，A:“靠近4的数集”例

设论域为实数域R，A:“比4大得多的数集”例设论域为实数域R，A:“靠近4的数集”例设论域为7.1模糊理论的基本概念7.1.1模糊集与隶属函数

模糊集合的运算

定义7.1.2设，定义

B包含A

A与B相等

7.1模糊理论的基本概念7.1.1模糊集与隶属函数①自反性②反对称性③传递性具有如下性质：①自反性②反对称性③传递性具有如下性质：7.1模糊理论的基本概念7.1.1模糊集与隶属函数

模糊集合的运算定义7.1.3设，定义并的隶属函数为交的隶属函数为余的隶属函数为上述运算中的扎德算子是对隶属度进行取大和取小运算。

7.1模糊理论的基本概念7.1.1模糊集与隶属函数例则按以上运算定义可得：例则按以上运算定义可得：决策理论与方法教学第七章模糊决策方法7.1模糊理论的基本概念7.1.2截集与分解定理

F集是由隶属函数确定的。而其中包含哪些元素无法确定。即F集的边界是模糊的。但在实际问题中对于模糊现象常常要做出不模糊的判决。因此，需要把F集和普通集联系起来。这个桥梁就是例1在一次“优胜者”的选拔考试中，10位应试者及其成绩如下表应试者成绩按“择优录取”原则挑选。7.1模糊理论的基本概念7.1.2截集与分解定理例1在设F集A表示“优胜者”，有择优录取实际上就是将F集转化为普通集。设F集A表示“优胜者”，有择优录取实际上就是将F集转化为普通7.1模糊理论的基本概念定义7.1.4设，，记称为的截集，其中称为阈值或置信水平。定义7.1.5设规定，其隶属函数为并称为数与模糊集的乘积。7.1模糊理论的基本概念定义7.1.4设7.1模糊理论的基本概念7.1.2截集与分解定理定理7-1-1（分解定理）分解定理表明，模糊集可由经典集合表示，这反映了模糊集和经典集合的密切关系，建立了模糊集与经典集合的转化关系。7.1模糊理论的基本概念7.1.2截集与分解定理决策理论与方法教学第七章模糊决策方法决策理论与方法教学第七章模糊决策方法应用分解定理Ⅰ构成原来的F集应用分解定理Ⅰ构成原来的F集分解定理的直观表示如图所示分解定理的直观表示如图所示决策理论与方法教学第七章模糊决策方法解 由于类似可得解 由于类似可得解解于是如图所示：于是如图所示：F集的模糊度定义1若映射满足条件②③①④定义1给出了关于模糊度的4条公理。F集的模糊度定义1若映射满足条件②③①④定义1给出了关于模糊它们反映的现实是：条件①表明普通集是不模糊；条件②和条件③表明，越靠近0.5就越模糊，这种模棱两可的情况是最难决策的；条件④表明因为它们反映的现实是：条件①表明普通集是不模糊；条件②和条件③表7.1模糊理论的基本概念7.1.3隶属函数确定方法（1）模糊统计方法模糊统计方法中，进行模糊统计试验，确定某个元素的隶属度。模糊统计与概率统计的区别是：若把概率统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈内”，则可把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的点”（2）指派方法指派隶属函数的方法普遍被认为是一种主观方法，它把人们的实践经验考虑进去。若模糊集定义在实数集上，则模糊集的隶属函数便被称为模糊分布。指派方法，就是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。7.1模糊理论的基本概念7.1.3隶属函数确定方法7.1模糊理论的基本概念7.1.3隶属函数确定方法（3）借用已有的“客观”尺度在经济管理、社会科学中，可以直接借用已有的尺度（经济指标）作为模糊集的隶属度。（4）二元对比排序法对于有些模糊集，很难直接给出隶属度，但通过两两比较，容易确定两个元素相应隶属度的大小。先排序，再用数学方法加工得到隶属函数。隶属程度的思想是模糊数学的基本思想，应用模糊数学方法的关键在于建立符合实际的隶属函数。7.1模糊理论的基本概念7.1.3隶属函数确定方法确定“青年人”的隶属函数.选择若干（n）合适人选，请他们写出各自认为“青年人”最适宜、最恰当的年限，即将模糊概念明确化。确定“青年人”的隶属函数.选择若干（n）合适人选，请他们写出实验次数n102030405060708090100110120130隶属次数m61423313947536268768595101隶属频率m/n0.60.70.770.780.780.760.760.780.760.760.750.790.78表2-127岁对（青年人）的隶属频率若n次实验中覆盖27岁的年龄区间的次数为m，则称m/n为27岁对于（青年人）的隶属频率。实验次数n10203040

分组频数隶属频率分组频数隶属频率13.5~14.5 2 0.016 25.5~26.5 103 0.79814.5~15.5 27 0.210 26.5~27.5 101 0.78315.5~16.5 51 0.395 27.5~28.5 99 0.76716.5~17.5 67 0.51928.5~29.5 80 0.62017.5~18.5 124 0.96129.5~30.5 77 0.59718.5~19.5 125 0.96930.5~31.5 27 0.20919.5~20.5 129 131.5~32.5 27 0.20920.5~21.5 129 132.5~33.5 26 0.20221.5~22.5 129 133.5~34.5 26 0.20222.5~23.5 129 134.5~35.4 26 0.20223.5~24.5 129 135.5~36.5 1 0.00824.5~25.5 128 0.992表2-2分组计算隶属频率（实验次数129）分组频数隶属频连续描出图形，可得到“青年人”隶属函数曲线。上述F统计试验说明了隶属程度的客观规律.连续描出图形，可得到“青年人”隶属函数曲线。上述F统计试验说F统计与概率统计区别：随机试验：F统计试验：F统计与概率统计区别：随机试验：F统计试验：二相F统计:每次F试验确定一个映射：多相F统计:它们满足二相F统计:每次F试验确定一个映射：多相F统计:它们满足决策理论与方法教学第七章模糊决策方法2.三分法用随机区间的思想处理模糊性（模糊性的清晰化）2.三分法用随机区间的思想处理模糊性（模糊性的清晰化）决策理论与方法教学第七章模糊决策方法所以有所以有类似地按概率方法计算，得类似地按概率方法计算，得从而这里用这种方法确定三相隶属函数的方法，叫做三分法.从而这里用这种方法确定三相隶属函数的方法，叫做三分法.(1)矩形分布或半矩形分布①偏小型3.指派方法（常见的模糊分布）(1)矩形分布或半矩形分布①偏小型3.指派方法（常见的模糊②偏大型③中间型②偏大型③中间型(2)半梯形分布与梯形分布①偏小型②偏大型(2)半梯形分布与梯形分布①偏小型②偏大型③中间型③中间型①偏小型②偏大型(3)抛物型分布①偏小型②偏大型(3)抛物型分布③中间型③中间型（4）正态分布①偏小型②偏大型（4）正态分布①偏小型②偏大型（5）柯西分布③中间型①偏小型（5）柯西分布③中间型①偏小型②偏大型③中间型②偏大型③中间型（6）岭形分布①偏小型②偏大型（6）岭形分布①偏小型②偏大型③中间型③中间型决策理论与方法教学第七章模糊决策方法例：建立（年轻人）的隶属函数，根据统计资料，作出其大致曲线，发现与柯西分布接近，那么，可选柯西分布作为（年轻人）的隶属函数。下面根据年龄特征确定参数。例：建立（年轻人）的隶属函数，根据统计资料，作出其大致曲线，25岁以下是绝对年轻，25岁开始（年轻人）的隶属度随年龄增大而减小衰变不是线性的。又因为30岁作为年轻人是最模糊的概念，可选参数25岁以下是绝对年轻，25岁开始（年轻人）的隶属度随年龄增大4.借用已有的“客观尺度”比如，在论域U（设备）上定义模糊集A=“设备完好”，以“设备完好率”作为隶属度来表示“设备完好”这个模糊集。在论域U（产品）上定义模糊集B=“质量稳定”，可用产品的“正品率”作为产品属于“质量稳定”的隶属度。在论域U（家庭）上定义模糊集C=“贫困家庭”，可用恩格尔系数作为隶属度来表示家庭贫困程度。5.二元对比排序法现对两个对象进行比较，然后再换两个进行比较，如此重复多次，每做一次比较就得到一个认识，而这种认识是模糊的，诸如甲比乙的条件要优越些等。将这种模糊认识数量化，最后用模糊数学方法给出总体排序，这就是模糊二元对比决策。4.借用已有的“客观尺度”比如，在论域U（设备）上定义模同学集合X={张三，李四，王五}外语选修课程集合Y={英，法，德，日}R={(张三,英),(张三,法),(李四,德),(王五,日),(王五,英)}什么是关系什么是关系普通关系定义1：集合A,B的直积A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}的一个子集R称为A到B的一个二元关系，简称关系。可见，关系也是个集合。普通关系定义1：集合A,B的直积A×B={(a,b)|a∈A关系－example1设X为横轴，Y为纵轴，直积X×Y是整个平面，其上的普通关系x>y：YXY=XR:X>Y0关系－example1设X为横轴，Y为纵轴，直积X×Y是整个模糊关系－example1

其上的模糊关系R=“x远远大于y”，怎么表示？

当x=1000,y=100时，R(x,y)=0.999

当x=20,y=10时，R(x,y)=0.5

当x=20,y=18时，R(x,y)=0.0358R(x,y)X10y模糊关系－example1其上的模糊关系R=“x远远

概念定义称为从X

到Y的模糊关系。(关联度)。特别，从X到X的模糊关系称为X上的模糊关系1.模糊关系的基本概念概念定义称为从X到Y的模糊关系。(关联度)。特别，从X模糊关系－example2例：设身高论域U=｛140，150，160，170，180｝，体重论域V=｛40，50，60，70，80｝，则身高与体重之间的模糊关系：UV1401501601701804010.80.20.10500.810.80.20.1600.20.810.80.2700.10.20.810.88000.10.20.81模糊关系－example2例：设身高论域U=｛140，150两点说明：两点说明：模糊关系－example3模糊关系－example3模糊关系的运算

模糊关系就是模糊子集，只不过其论域是直积A×B罢了模糊关系的运算法则完全服从模糊集合的运算法则模糊关系的运算模糊关系就是模糊子集，只不过其论域是直积

运算可推广包含：相等：并：交：余：运算可推广包含：相等：并：交：余：以下是几个特定的模糊关系:倒置倒置倒置以下是几个特定的模糊关系:倒置倒置倒置以下是几个特定的模糊关系:以下是几个特定的模糊关系:以下是几个特定的模糊关系:以下是几个特定的模糊关系:模糊关系的性质：模糊关系的性质：模糊关系的表示－模糊矩阵经典有限集合上的关系，可以使用矩阵来表示。若论域X×Y是有限集，模糊关系可以表示为模糊矩阵。模糊矩阵元素表示关系的隶属值。若论域X×Y是连续或无限的，则该论域上的(模糊)关系不能用(模糊)矩阵来表示。模糊关系的表示－模糊矩阵经典有限集合上的关系，可以使用矩阵来7.1模糊理论的基本概念7.1.4模糊矩阵有限论域上的模糊关系可以用模糊矩阵来表示。定义7.1.6如果对于任意，都有，则称矩阵为模糊矩阵。若则模糊矩阵变成Boole矩阵。模糊矩阵可以表示模糊关系，对于“A上的模糊关系”用模糊方阵来表示。

7.1模糊理论的基本概念7.1.4模糊矩阵模糊矩阵－Example设有四种物品，苹果、乒乓球、书、花组成的论域U，分别用x1,x2，…,xn表示，它们的相似程度可以用模糊关系R来表示：模糊矩阵－Example设有四种物品，苹果、乒乓球、书、花组例1.例2.身高与体重之间的关系为：模糊矩阵－Example例1.例2.身高与体重之间的关系为：模糊矩阵－Example模糊关系与模糊矩阵如果给定X上的模糊关系I满足则称I为X的“恒等关系”，表示恒等关系I的矩阵为单位矩阵。模糊关系与模糊矩阵如果给定X上的模糊关系I满足模糊关系与模糊矩阵若给定X×Y上的模糊关系O，满足则称O为X×Y的“零关系”，表示零关系O的矩阵为零矩阵。模糊关系与模糊矩阵若给定X×Y上的模糊关系O，满足模糊关系与模糊矩阵如果给定X×Y上的模糊关系E满足称E为X×Y的“全称关系”，表示全称关系E的矩阵为全称矩阵。模糊关系与模糊矩阵如果给定X×Y上的模糊关系E满足模糊关系与模糊矩阵如果给定X×Y上的模糊关系R，定义称RT为R的“倒置关系”,表示模糊关系RT的矩阵为R矩阵的转置矩阵。模糊关系与模糊矩阵如果给定X×Y上的模糊关系R，定义7.1模糊理论的基本概念7.1.4模糊矩阵有限论域上的模糊关系可以用模糊矩阵来表示。定义7.1.7设，记，定义相等包含因此，对任何总有：7.1模糊理论的基本概念7.1.4模糊矩阵7.1模糊理论的基本概念7.1.4模糊矩阵定义7.1.8设，定义并交余定义7.1.9设，称模糊矩阵为与的合成，其中7.1模糊理论的基本概念7.1.4模糊矩阵模糊关系的合成模糊关系的合成模糊关系合成的定义模糊关系合成的定义例1：设生物群落论域模糊关系的合成举例表示X与U两生物群落种群之间的密切关系表示U与Y两生物群落种群之间的密切关系例1：设生物群落论域模糊关系的合成举例表示X与U两生物群落种模糊关系的合成举例则表示生物群落X与Y之间的密切关系。模糊关系的合成举例则表示生物群落X与Y之间的密切关系。模糊矩阵的运算性质（1）幂等律：A∪A＝A,A∩A=A;（2）交换律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;（3）结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C);（4）吸收律：A∩(A∪B)=A,A∪(A∩B)=A;（5）分配律:(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);模糊矩阵的运算性质（1）幂等律：A∪A＝A,A∩A=A;模糊矩阵的运算性质（6）0-1律：A∪O＝A,A∩O＝O;E∪A=E,E∩A=A;（7）还原律：(Ac)c=A;（8）对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc,(A∩B)c=Ac∪Bc.

排中律不成立！！

Ac∪A≠E,A∩Ac≠O注意模糊矩阵的运算性质（6）0-1律：A∪O＝A,A∩O＝O;模糊矩阵的包含性质模糊矩阵的包含性质7.1模糊理论的基本概念7.1.4模糊矩阵

定义7.1.10设两个论域，称的一个模糊子集为到的模糊关系，记为。其隶属函数为映射并称隶属度为关于模糊关系的相关程度。由于模糊关系就是直积的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质。特别地，对于有限论域，模糊关系与模糊矩阵建立了1—1的对应关系。以后把相互对应的模糊关系和模糊矩阵视为等同的。7.1模糊理论的基本概念7.1.4模糊矩阵7.1模糊理论的基本概念7.1.4模糊矩阵定义7.1.11称映射

为从X到Y的模糊映射。定义7.1.12称映射为从到的模糊变换。

7.1模糊理论的基本概念7.1.4模糊矩阵7.1模糊理论的基本概念7.1.4模糊矩阵定义7.1.13设是到的模糊变换，且满足，则称是由模糊关系诱导出的。

7.1模糊理论的基本概念7.1.4模糊矩阵本讲内容7.2模糊决策基本方法

7.2.1模糊意见集中决策

7.2.2模糊二元对比决策

7.2.3模糊综合评判决策

7.2.4层次分析法本讲内容7.2模糊决策基本方法7.2模糊决策基本方法

在实际问题中，可供选择的方案往往有多个，记为集合。由于决策环境具有模糊性，方案集合中蕴藏的决策目标是很难确切描述的。因此，可供选择的方案集合也是一个模糊集。模糊决策的目的是要把论域中的对象按优劣进行排序，或者按照某种方法从论域中选择一个“令人满意”的方案。以下介绍四个模糊决策的方法：模糊意见集中决策、模糊二元对比决策、模糊综合评判决策、层次分析法。

7.2模糊决策基本方法7.2模糊决策基本方法7.2.1模糊意见集中决策

为了对供选择的方案集合中的元素进行排序，可由个专家成立专家小组分别对中元素排序，则得到种意见：其中vi是第i种意见序列,即U中的元素的某一个排序。这些意见往往是模糊的，可以是专家的总体印象，还包括心理因素等。将这种意见集中为一个比较合理的意见，称之为“模糊意见集中决策”。

7.2模糊决策基本方法7.2.1模糊意见集中决策7.2模糊决策基本方法7.2.1模糊意见集中决策

模糊意见集中决策步骤：设论域，专家组人给出意见，记为其中，是第种意见序列，即U中的元素的某一个排序。令，表示第种意见序列中排在之后的元素个数，称为的波达（Borda）数。论域的所有元素可按波达数的大小排序，此排序就是集中意见之后的一个比较合理的意见。

7.2模糊决策基本方法7.2.1模糊意见集中决策例1设U={a,b,c,d,e,f},|M|=m=4人,v1:a,c,d,b,e,f;v2:e,b,c,a,f,d;v3:a,b,c,e,d,f;v4:c,a,b,d,e,f;B(a)=5+2+5+4=16;B(b)=2+4+4+3=13;B(c)=4+3+3+5=15;B(d)=3+0+1+2=6;B(e)=1+5+2+1=9;B(f)=0+1+0+0=1;按Borda数集中后的排序为：a,c,b,d,e,f.7.2.1模糊意见集中决策例1设U={a,b,c,d,e,f},例2设有6名运动员U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}参加五项全能比赛,已知他们每项比赛的成绩如下：200m跑u1,u2,u4,u3,u6,u5；1500m跑u2,u3,u6,u5,u4,u1；跳远u1,u2,u4,u3,u5,u6；掷铁饼u1,u2,u3,u4,u6,u5；掷标枪u1,u2,u4,u5,u6,u3；B(u1)=5+0+5+5+5=20;B(u2)=4+5+4+4+4=21;B(u3)=2+4+2+3+0=11;B(u4)=3+1+3+2+3=12;B(u5)=0+2+1+0+2=5;B(u6)=1+3+0+1+1=6;按Borda数集中后的排序为：u2,u1,u4,u3,u6,u5.7.2.1模糊意见集中决策例2设有6名运动员U={u1,u2,u3,u4,7.2.1模糊意见集中决策

若uj在第i种意见vi中排第k位，设第k位的权重为ak，则令Bi(uj)=ak(n–k)，称为uj的加权Borda数。名次一二三四五六权重0.350.250.180.110.070.04B(u1)=7,B(u2)=5.75,B(u3)=1.98,B(u4)=1.91,B(u5)=0.51,B(u6)=0.75.按加权Borda数集中后的排序为：u1,u2,u3,u4,u6,u57.2.1模糊意见集中决策若uj在第i种意见例:旅游目的地投票决策某公司营销部决定在今年十一国庆节由公司报销，集体到外地旅游，营销部经理决定让营销部全体成员用Borda法则投票表决来选择最终的旅游目的地。不妨假设营销部所有员工为60人，有去黄山、张家界、泰山、凤凰4个方案供大家选择。这个时候在60人中4个方案的排序如下。根据Borda法则，去黄山这个方案排在倒数第四位（也就是第一位）的次数是23次，得23×3＝69票，排在倒数第三位的次数是2次，得2×2＝4票，排在倒数第二位的次数是19次，得19×1＝19票，因此去黄山整个方案最终的得票数位为19＋4＋69＝92票。同样的算法，可以得到去张家界的总票数为67票，去泰山的总票数为103票。因此该营销部全体员工最终选择的旅游目的地是泰山。例:旅游目的地投票决策某公司营销部决定在今年十一国庆节由公7.2模糊决策基本方法7.2.2模糊二元对比决策实践告诉我们，人们认识事物往往是从两个事物的对比开始的。一般先对两个对象进行比较，然后再换两个对象进行比较，如此反复多次。每作一次比较就得到一个认识，而这种认识是模糊的。将这种模糊认识数量化，最后用模糊数学方法给出总体排序，就是模糊二元对比决策。模糊二元对比决策有模糊优先关系排序决策、模糊相似优先比决策、模糊相对比决策等形式，以下分别介绍。

7.2模糊决策基本方法7.2.2模糊二元对比决策模糊优先关系排序决策的基本思想设论域U＝{x1,x2,…,xn}为n个选择对象，并假设U中的每一对元素之间都可以比较，即对U中的任意元素xi和xj，或是xi优于xj，或是xj优于xi,或是两者优于的程度基本一致。显然，这种优先关系不具有传递性，即xi优于xj，xj优于xk,不一定导致xi优于xk.例如让100个人来评判x1、x2、x3三种商品，结果如下：有80人认为商品x1优于商品x2，20人认为x2优于x1,于是可以得到，即认为x1优于x2.模糊优先关系排序决策的基本思想设论域U＝{x1,x2,…,x模糊优先关系排序决策的基本思想

有70人认为商品x2优于商品x3，30人认为x3优于x2,于是可以得到，即认为x2优于x3.

有60人认为商品x3优于商品x1，40人认为x1优于x3,于是可以得到，即认为x3优于x1.

于是得出结论，x1优于x2,x2优于x3，x3优于x1，但x1不优于x3。模糊优先关系排序决策的基本思想有70人认为商品x2优于商模糊优先关系排序决策的基本思想

有必要建立一个适当的方法，使得能够在U中选择出一个相对最优的元素。在建立这种方法时，必须注意以下三点：（1）在两者挑一中是有优先程度的，但程度大小可以不同；（2）所选中的对象只是相对优于其他一个而被选上；（3）对于两个备选对象必须选中其一，或者两个选择是等价的，而不能两个都拒绝。模糊优先关系排序决策的基本思想有必要建立一个适当的方7.2模糊决策基本方法7.2.2模糊二元对比决策（1）模糊优先关系排序决策：以表示对的优先选择比。满足

的组成的矩阵

称为模糊优先关系矩阵，由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系。

7.2模糊决策基本方法7.2.2模糊二元对比决策模糊优先关系的理解rij表示xi与xj相比较时xi对于A比xj对于A优越的程度，或称xi对xj的优先选择比。要求rij满足下面的式子：

rii＝0,0≤rij≤1(i≠j)rij+rji=1上述表明：xi与xi相比较，没有什么优越，记rii＝0，xi与xj相比较总是各有所长，把两者的优越成分合在一起就是1，即rij+rji=1。当发现xi比xj有长处而未发现xj比xi有任何长处时，记rij=1，rji=0；当xi与xj相比若不分优劣，则rij=rji=0.5.模糊优先关系的理解rij表示xi与xj相比较时xi对于A比x模糊优先关系排序决策方法由rij构成的矩阵R=(rij)nXn

为模糊优先矩阵，由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系.

模糊优先关系R既不满足自反性、对称性，也不满足传递性，它是一种具有一定性质的模糊关系。为了在某种程度上更清晰地看出对比关系，常取λ截矩阵Rλ，用Rλ确定优先关系。模糊优先关系排序决策方法由rij构成的矩阵R=(rij)nX7.2模糊决策基本方法7.2.2模糊二元对比决策（1）模糊优先关系排序决策：取定阈值，得矩阵矩阵当由1逐渐下降时，若首次出现的，它的某行元素除对角外全等于1，则认定它所对应的元素是第一优越对象？（不一定唯一）；再从中划去所在的行与列，得到一个全新的阶模糊矩阵，用同样方法获取最优对象作为第二优越对象；如此递推下去，可将全体对象排出一定的优劣次序。7.2模糊决策基本方法7.2.2模糊二元对比决策模糊优先关系排序决策－例例：已知“子女像父亲”模糊优先关系矩阵为：写出模糊优先关系排序。模糊优先关系排序决策－例例：已知“子女像父亲”模糊优先关系矩模糊优先关系排序决策－例令λ从大到小依次取λ截矩阵：λ=0.9,得λ=0.8,得模糊优先关系排序决策－例令λ从大到小依次取λ截矩阵：λ=0.模糊优先关系排序决策－例λ=0.6,得λ=0.4,得当λ降至0.4时，在R0.4中首次出现第三行除对角线元素外全等于1，因此第三个人最像父亲。模糊优先关系排序决策－例λ=0.6,得λ=0.4,得当λ降至模糊优先关系排序决策－例在R中划去x3所在的行与列，得模糊优先矩阵λ=0.9,得于是x1为第二像。x1、x2、x3的模糊优先关系排序为x3、x1、x2.模糊优先关系排序决策－例在R中划去x3所在的行与列，得模糊优模糊优先关系排序决策－例注意:若取rii=1,即模糊优先关系矩阵的对角线上的元素全为1.当用λ截矩阵去求各个优越对象时，可以去掉“除对角线元素外”这句话。只要第i行元素全等于1，则认定xi为第一优先对象，如此等等。模糊优先关系排序决策－例注意:若取rii=1,即模糊优先关7.2模糊决策基本方法7.2.2模糊二元对比决策（2）模糊相似优先比决策：模糊相似优先比决策先利用二元相对比较级定义一个模糊相似优先比，从而建立模糊优先比矩阵，然后通过确定截矩阵来对所有的备选方案进行排序。定义7.2.1二元相对比较级定义7.2.2二元相对比较矩阵

7.2模糊决策基本方法7.2.2模糊二元对比决策【定义】【定义】【定义】【定义】模糊相似优先比决策的方法与步骤：第一步：设论域U={x1,x2,…,xn}是备选方案集。第二步：确定模糊相似优先比rij，建立模糊优先比矩阵。模糊相似优先比决策的方法与步骤：第一步：设论域U={x1,第三步：用类似于模糊优先关系排序决策中确定-截矩阵的方法来对所有备选方案进行排序也可以用下述方法来实现：下确界法先求R每一行的下确界,以最大下确界所在行对应的xk是第一优先对象(不一定唯一).再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n－1阶模糊优先矩阵,再以此类推.第三步：用类似于模糊优先关系排序决策中确定-截矩阵的方法来例设U={x1,x2,x3}，元素一次表示“樱花”、“菊花”和“蒲公英”，U上A的模糊集表示模糊概念“美”（“美”指化的形，色、气等）。现在对中的三种花按美的程度进行排序。设花“美”的标准是花的造型好、颜色艳、香气正，并记为x。两两比较xi和xi与x接近的程度。得二元比较级为：例设U={x1,x2,x3}，元素一次表示“樱花”二元相对比较矩阵为：二元相对比较矩阵为：用-截矩阵法或下确界法排序得：樱花最美，菊花其次，蒲公英最差。

樱花菊花蒲公英0.5(max)0.470.33下确界用-截矩阵法或下确界法排序得：樱花模糊相似优先比决策－例多种菊花的排序（p214）模糊相似优先比决策－例多种菊花的排序（p214）7.2模糊决策基本方法7.2.2模糊二元对比决策（2）模糊相似优先比决策：

例7-2-1菊花的排序菊花是一种用途很广的植物，它不仅可供药用、食用，而且具有独特的观赏价值。某高校观赏植物专业每年要举办菊花展览，并请新生就菊花的“美”（指花的形、色、气等，都是模糊概念）进行排序。设论域，“美的菊花”是上的一个模糊集。7.2模糊决策基本方法7.2.2模糊二元对比决策7.2模糊决策基本方法7.2.2模糊二元对比决策（2）模糊相似优先比决策：

二元相对比矩阵模糊优先比矩阵

5种菊花的排序为7.2模糊决策基本方法7.2.2模糊二元对比决策7.2模糊决策基本方法7.2.2模糊二元对比决策（3）模糊相对比决策：先在二元对比中建立二元比较级，然后利用模糊相对比较函数，建立模糊相及矩阵来进行总体排序。定义7.2.3模糊相对比函数定义7.2.4模糊相及矩阵7.2模糊决策基本方法7.2.2模糊二元对比决策模糊相对比较决策设论域U={x1,x2,…,xn}为n个备选方案，现在二元对比中建立二元比较级，然后利用模糊相对比较函数，建立模糊相及矩阵来进行总体排序。【定义】模糊相对比较决策设论域U={x1,x2,决策理论与方法教学第七章模糊决策方法【定义】对模糊相及矩阵用下确界法可以将备选方案排序。【定义】对模糊相及矩阵用下确界法可以将备选方案排序。例设论域设U={x1(长子),x2(次子),x3(幼子)}，按照“子女像父亲”排序。已知通过合适的方法已得到二元相对比较级，利用模糊相对比较函数的计算公式例设论域设U={x1(长子),x2(次子),x3(计算得：模糊相及矩阵为：由下确界法排序得：长子最像，幼子次之，次子最不像父亲。计算得：模糊相及矩阵为：由下确界法排序得：模糊相对比较决策－例多种菊花的排序(p141)模糊相对比较决策－例多种菊花的排序(p141)①-

截矩阵法取定阈值∈[0,1]得-截矩阵R=(rij())n×n,

当由1逐渐下降时,若R中首次出现第k行的元素全等于1时,则认定xk是第一优先对象(不一定唯一).再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵,用同样的方法获取的对象作为第二优先对象；如此进行下去,可将全体对象排出一定的优劣次序.模糊二元对比决策方法总结①-截矩阵法模糊二元对比决策方法总结②隶属函数法直接对模糊优先矩阵进行适当的数学加工处理,得到X上模糊优先集A的隶属函数,再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一定的优劣次序.通常采用的方法是：

取小法：A(xi)=min{rij|1≤j≤n},i=1,2,…,n;

平均法：加权平均法：模糊二元对比决策方法总结②隶属函数法模糊二元对比决策方法总结③下确界法先求R每一行的下确界,以最大下确界所在行对应的xk是第一优先对象(不一定唯一).再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵,再以此类推.模糊二元对比决策方法总结③下确界法模糊二元对比决策方法总结7.2模糊决策基本方法7.2.3模糊综合评判决策模糊综合评判决策的数学模型由三个要素组成，其步骤分为4步：

1）因素集，

2）评判集，

3）单因素评判

7.2模糊决策基本方法7.2.3模糊综合评判决策7.2模糊决策基本方法7.2.3模糊综合评判决策

称为单因素评判矩阵。构成一个模糊综合评判决策，称为此模型的三要素。

7.2模糊决策基本方法7.2.3模糊综合评判决策7.2模糊决策基本方法7.2.3模糊综合评判决策

4）综合评判。对于权重，取max-min合成运算，即运用模型计算，可得综合评判

若输入一种权重，则输出一个综合评判7.2模糊决策基本方法7.2.3模糊综合评判决策7.2模糊决策基本方法7.2.3模糊综合评判决策改进数学模型的方法：（1）将原模型中的算子改用其它的算子。（2）建立多层次模型。模糊综合决策中，权重是至关重要的，它反映了各个因素在综合过程中所占有的地位或所起的作用，直接影响到综合决策的结果。权重确定的方法有统计方法、模糊协调决策法、模糊关系方程法、层次分析法等。7.2模糊决策基本方法7.2.3模糊综合评判决策7.2模糊决策基本方法7.2.3模糊综合评判决策例7-2-2耕作制度决策在农业生产过程中，通过对多种方案进行综合评价，有助于做出正确决策，对提高农业生产效率有重要意义。某产粮区拟对耕作制度进行改革，制订了等3种方案。所使用的评价指标有：粮食产量、产品质量、每亩用工量、每亩纯收入、对生态平衡的影响程度。评价标准见表7-2-1，经过实验研究获得3种方案的评价数据，列于表7-2-2.对5种评价指标给定权重，依次为0.2、0.1，0.15，0.3，0.25.7.2模糊决策基本方法7.2.3模糊综合评判决策7.2模糊决策基本方法7.2.3模糊综合评判决策

表7-2-1耕作制度改革的评价指标表表7-2-2耕作制度改革评价数据

分数亩产量（kg)质量（级）亩用工量（工日）

亩纯收入（元）环境影响（级）5550~6000120以下130以上14500~550220~30110~13023450~500330~4090~11032400~450440~5070~9041350~400550~6050~7050350以下660以上70以下6方案XYZ亩产量（kg）592.5529412产品质量（级）321亩用工量（工日）553832亩收入（元）7210585对环境影响（级）5327.2模糊决策基本方法7.2.3模糊综合评判决策分数亩产7.2模糊决策基本方法7.2.3模糊综合评判决策

1）建立因素集

2）给定权重向量

3）确定评判集

4）建立评判矩阵产量、产品质量、用工纯收入、对环境影响程度的隶属函数分别为7.2模糊决策基本方法7.2.3模糊综合评判决策7.2模糊决策基本方法7.2.3模糊综合评判决策7.2模糊决策基本方法7.2.3模糊综合评判决策7.2模糊决策基本方法7.2.3模糊综合评判决策得到

5）综合评判计算从计算结果可以看出，方案优于方案，方案优于方案。7.2模糊决策基本方法7.2.3模糊综合评判决策7.2模糊决策基本方法7.2.4层次分析法层次分析法（analytichierarchyprocess,AHP）是美国运筹学家Saaty于二十世纪七十年代初提出的。从本质上看，它是人类对复杂问题层次结构理解的形式化，并以其实用、简洁和系统等优点受到广泛重视，迅速地应用到各个领域的决策问题中。运用APH进行决策时，可分为以下4个步骤：1）分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构；2）对同一层次中的各元素关于上一层次中的某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较判断绝阵；3）由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重；4）计算各层次元素对系统总目标的组合权重，并进行排序。7.2模糊决策基本方法7.2.4层次分析法7.2模糊决策基本方法7.2.4层次分析法层次大体上分为3类：1）最高层顶层只有一个元素，一般它是所需要解决问题的总的目标要求，故也称总目标层。2）中间层包括为了实现总目标所涉及的中间环节，它可由若干层次组成，包括所需要的约束，多级准则等。3）最低层表示为实现准则可供选择的各种措施、备选方案，故称为方案层。

对于准则，下层个被比较的元素构成了一个两两比较判断矩阵7.2模糊决策基本方法7.2.4层次分析法7.2模糊决策基本方法7.2.4层次分析法在构造判断矩阵时，由于客观事物的复杂性，主体认识的局限性和多样性，判断矩阵常常伴随着误差，判断矩阵一般不可能具有完全一致性。进行次两两比较判断，就可以从不同的角度的反复比较中集结决策者提供的更多信息，最终导出一个比较合理的反映决策者判断的排序。这对带有误差的多个判断可以起到一定的相互抵偿修正作用，使总的排序结果较好。要根据判断矩阵，求出个元素相对于准则的相对权重向量，并进行一致性检验。这包括两部分，一个是权重的计算，一个是判断矩阵一致性检验。

7.2模糊决策基本方法7.2.4层次分析法7.2模糊决策基本方法7.2.3模糊综合评判决策权重的计算方法包括算术平均法、特征向量法、最小二乘法。算术平均法的步骤如下：步骤1用将判断矩阵按列归一化；

步骤2按行加总；步骤3再归一化后即得权重向量；

步骤4求最大特征值。7.2模糊决策基本方法7.2.3模糊综合评判决策7.2模糊决策基本方法7.2.4层次分析法例7-2-4利润分配某企业有一笔留存利润，可供选择的使用方案有：发奖金给职工，扩建集体福利设施，引进新技术新设备。为进一步促进企业发展，如何使用这笔利润？

合理使用利润合理使用利润提高企业技术水平改善职工生活条件发奖金给职工扩建集体福利设施引进新技术新设备7.2模糊决策基本方法7.2.4层次分析法合理使用利润合7.2模糊决策基本方法7.2.4层次分析法

1）建立层次结构如上图；

2）构造判断矩阵；

3）层次单排序及一致性检验；

4）层次总排序即发奖金给职工、扩建福利设施、引进新技术新设备关于合理使用企业利润的权重为7.2模糊决策基本方法7.2.4层次分析法本章小结

本章内容分为两大部分，一是作为模糊决策理论基础的模糊数学的一些基本概念，二是模糊决策的几种方法。在基础理论部分中，重点理解隶属程度的基本思想，掌握模糊集、隶属度、隶属函数、截集、模糊矩阵、模糊关系、模糊变换等基本概念，了解分解定理等基本定理，掌握确定隶属函数的方法。在模糊决策方法部分中，掌握模糊意见集中决策、模糊优先关系排序决策、模糊相似优先比决策、模糊相对比决策、模糊综合评判决策及层次分析法等决策方法，特别要注意三种模糊二元对比决策方法的共性与各自的特点，注意模糊综合评判中的各种模型、权重确定的方法，注意层次分析法中一致性的检验；根据问题的不同特点选用合适的方法进行模糊决策。本章小结本章内容分为两大部分，一是作为模糊决决策理论与方法

（DecisionMakingTheoryandMethods）

《决策理论与方法》编写组教育部高等学校管理科学与工程类学科专业教学指导委员会推荐教材决策理论与方法

（DecisionMakingTheor第七章模糊决策方法第七章模糊决策方法学习目的了解模糊集、隶属函数、模糊矩阵的概念；掌握模糊意见集中决策、模糊优先关系排序决策、模糊相似优先比决策、模糊相对比决策、模糊综合评判决策及层次分析法等决策方法。学习目的了解模糊集、隶属函数、模糊矩阵的概念；本讲内容7.1模糊理论的基本概念

7.1.1模糊集与隶属函数

7.1.2截集与分解定理

7.1.3隶属函数的确定方法

7.1.4模糊矩阵本讲内容7.1模糊理论的基本概念169前言：什么是模糊数学秃子悖论:天下所有的人都是秃子设头发根数nn=1显然若n=k

为秃子n=k+1亦为秃子模糊概念模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨5前言：什么是模糊数学秃子悖论:天下所有的人都是秃子设头发天气冷热雨的大小风的强弱人的胖瘦年龄大小个子高低天气冷热雨的大小风的强弱人的胖瘦年龄大小个子高低171共同特点：模糊概念的外延不清楚。

术语来源Fuzzy:毛绒绒的，边界不清楚的模糊，不分明模糊概念导致模糊现象模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。7共同特点：模糊概念的外延不清楚。术语来源Fuzzy:毛172人工智能的要求

取得精确数据不可能或很困难没有必要获取精确数据模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学学科，而且也形成了一种崭新的思维方法，它告诉我们存在亦真亦假的命题，从而打破了以二值逻辑为基础的传统思维，使得模糊推理成为严格的数学方法。随着模糊数学的发展，模糊理论和模糊技术将对于人类社会的进步发挥更大的作用。8人工智能的要求取得精确数据不可能或很困难没有必要获取精确173模糊数学的概念处理现实对象的数学模型确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必然联系.随机性数学模型:对象具有或然性或随机性模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性.随机性与模糊性的区别随机性:指事件出现某种结果的机会.模糊性:指存在于现实中的不分明现象.模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.9模糊数学的概念7模糊决策方法

模糊数学把数学的应用范围从精确现象领域扩大到模糊现象领域，四十多年来，模糊数学理论发展迅速，应用广泛。模糊数学在实际上的应用几乎涉及到国民经济的各个领域，尤其在科学技术、经济管理、社会科学方面得到了广泛而又成功的应用。决策问题在很多情况下具有模糊性，因此应用模糊数学方法进行决策研究有其必然性。

7模糊决策方法模糊数学把数学7.1模糊理论的基本概念

模糊数学由美国控制论专家L.A.扎德（L.A.Zadeh,1921--）教授所创立。他于1965年发表了题为《模糊集合论》（《FuzzySets》）的论文，从而宣告模糊数学的诞生。

L.A.扎德教授多年来致力于“计算机”与“大系统”的矛盾研究，集中思考了计算机为什么不能像人脑那样进行灵活的思维与判断问题。

“当系统的复杂性日趋增长时，我们做出系统特性的精确然而有意义