2022年数学八年级上《单项式除以单项式》课件(新华师大版)

学习目标1.理解和掌握单项式除以单项式的运算法那么，运用运算法那么熟练、准确地进行计算.〔重点〕2.通过总结法那么，培养概括能力；训练综合解题能力和计算能力.〔难点〕学习目标1.理解和掌握单项式除以单项式的运算法那么，运用运算11.用字母表示幂的运算性质：2.计算：(1)

a20÷a10；(2)

a2n÷an；(3)(−c)4÷(−c)2；(4)

(a2)3·(-a3)÷a3；

(5)

(x4)6÷(x6)2·(-x4)2.=a10=an=c2=−a9÷a3=−a6=x24÷x12·x8=x24—12+8=x20复习引入导入新课1.用字母表示幂的运算性质：2.计算：(1)a20÷a102单项式除以单项式探究发现〔1〕计算：4a2x3·3ab2=;〔2〕计算：12a3b2x3÷3ab2=.12a3b2x3

4a2x3

解法2：原式=4a2x3·3ab2÷3ab2=4a2x3.理解：上面的商式4a2x3的系数4=12÷3；a的指数2=3-1，b的指数0=2-2，x的指数3=3-0.解法1：12a3b2x3÷3ab2相当于求〔〕·3ab2=12a3b2x3.由〔1〕可知括号里应填4a2x3.单项式除以单项式探究发现〔1〕计算：4a2x3·3ab2=3单项式相除,把系数、同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式中出现的字母，那么连同它的指数一起作为商的一个因式.知识要点单项式除以单项式的法那么理解商式＝系数•同底的幂

•被除式里单独有的幂底数不变，指数相减.保存在商里作为因式.被除式的系数除式的系数单项式相除,把系数、同底数幂分别相除作为商的因式；4典例精析例

计算：〔1〕28x4y2÷7x3y；〔2〕-5a5b3c÷15a4b.商式＝系数•同底的幂

•被除式里单独有的幂底数不变指数相减保留在商里作为因式被除式的系数除式的系数解：〔1〕28x4y2÷7x3y=〔28÷7〕x4-3y2-1=4xy；（2）-5a5b3c÷15a4b=(-5÷15)a5-4b3-1c=ab2c.典例精析例计算：〔1〕28x4y2÷7x3y；〔2〕-5当堂练习1.以下计算错在哪里？应怎样改正？××××〔1〕4a8÷2a2=2a4()〔2〕10a3÷5a2=5a()〔3〕(-9x5)÷(-3x)=-3x4()〔4〕12a3b÷4a2=3a()系数相除同底数幂的除法，底数不变，指数相减只在一个被除式里含有的字母，要连同它的指数写在商里，防止遗漏.求系数的商，应注意符号2a62a3x43ab当堂练习1.以下计算错在哪里？应怎样改正？××××〔1〕4a62.计算：〔1〕6a3÷2a2；〔2〕24a2b3÷3ab；〔3〕-21a2b3c÷3ab.解：〔1〕6a3÷2a2＝〔6÷2〕〔a3÷a2〕=3a；〔2〕24a2b3÷3ab=(24÷3)a2-1b3-1=8ab2；〔3〕-21a2b3c÷3ab=(-21÷3)a2-1b3-1c=-7ab2c.2.计算：〔1〕6a3÷2a2；解：〔1〕6a3÷73.计算：〔6x2y3)2÷(3xy2)2.=36x4y6÷9

x2y4=4x2y2.注意：运算顺序：先乘方，再乘除.3.计算：〔6x2y3)2÷(3xy2)2.=36x4y684.计算12a5b4c4÷(-3a2b2c)÷2a3b2c3，其结果正确的选项是()(A)－2(B)0(C)1(D)2【解析】选A.12a5b4c4÷(-3a2b2c)÷2a3b2c3=［12÷(-3)÷2］·(a5÷a2÷a3)·(b4÷b2÷b2)·(c4÷c÷c3)=-2.4.计算12a5b4c4÷(-3a2b2c)÷2a3b2c395.你能用〔a-b〕的幂表示12(a-b)5÷3(a-b)2的结果吗？将〔a-b〕看作一个整体,可用同底数幂相除的法那么解：原式=〔12÷3〕(a-b)5-2=4(a-b)35.你能用〔a-b〕的幂表示12(a-b)5÷3(a-b)210情境引入学习目标1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题.(重点)2.理解并体会反证法的思想内涵.〔难点〕3.通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念.情境引入学习目标1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题11导入新课如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,〔a≤b≤c〕有关系a2+b2=c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？cabACB

解析：由a2+b2＝c2

，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形.复习引入导入新课如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC12讲授新课反证法假设将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a,AC=b〔a≤b≤c〕,a2+b2≠c2〞，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由.cabACB探究：〔1〕假设它是一个直角三角形;〔2〕由勾股定理，一定有a2+b2＝c2，与条件a2+b2≠c2矛盾；〔3〕因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.问题探究讲授新课反证法假设将上面的条件改为“在△ABC中，13这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)先假设结论的反面是正确的;(2)然后通过逻辑推理，得出与根本领实、已证的定理、定义或条件相矛盾；(3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。探究发现像这样的证明方法叫“反证法〞.这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)先假14例1写出以下各结论的反面：〔1〕a∥b；

〔2〕a≥0；〔3〕b是正数；〔4〕a⊥b.a<0b是0或负数a不垂直于ba不平行于b典例精析例1写出以下各结论的反面：a<0b是0或负数a不垂直于ba15例2

在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B≠∠C.ABC证明：假设，那么〔〕这与矛盾．假设不成立．∴．∠B＝∠CAB＝AC等角对等边AB≠AC∠B≠∠C小结：

反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确例2在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B≠∠C.AB16证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A',因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一条，这与两条直线矛盾,假设不成立.所以两条直线相交只有一个交点.小结：根据假设推出结论除了可以与条件矛盾以外，还可以与我们学过的根本领实、定理矛盾.例3求证：两条直线相交只有一个交点.：如图，两条相交直线a，b.求证：a与b只有一个交点.abA●A'●分析：想从条件“两条相交直线a，b〞出发，经过推理，得出结论“a，b只有一个交点〞是很困难的，因此可以考虑用反证法.证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和17

例4

求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.：△ABC.求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设

，即

，∴

，这与

矛盾．假设不成立．∴

．△ABC中没有一个内角小于或等于60°∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°三角形的内角和为180°△ABC中至少有一个内角小于或等于60°点拨：至少的反面是没有！∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°例4求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°181.试说出以下命题的反面：〔1〕a是实数; 〔2)a大于2;〔3〕a小于2; 〔4〕至少有2个;〔5〕最多有一个;〔6〕两条直线平行;2.用反证法证明“假设a2≠b2,那么a≠b〞的第一步是.3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形〞的第一步.

a不是实数

a小于或等于２

a大于或等于２没有两个一个也没有两直线相交假设a=b假设这个三角形是等腰三角形当堂练习1.试说出以下命题的反面：a不是实数a小于或等于２a大194.命题“三角形中最多只有一个内角是直角〞的结论的否认是〔〕A.有两个内角是直角C.至少有两个内角是直角5.否认“自然数a，b，c中恰有一个偶数〞时，正确的反设为〔〕A.a，b，c都是奇数B.a，b，c都是偶数C.a，b，c中至少有两个偶数D.a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数CD4.命题“三角形中最多只有一个内角是直角〞的结论的否认是〔206.：a是整数，2能整除a2.求证：2能整除a.证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a〞,因为a是整数，故a是奇数.不妨设a=2n+1(n是整数),∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1,∴a2是奇数，那么2不能整除a2，这与矛盾.∴假设不成立，故2能整除a.6.：a是整数，2能整除a2.证明：假设命题的结论不成217.准确地作出反设(即否认结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否认形式.

不是不都是不大于

不小于一个也没有至少有两个至多有〔n-1)个至少有〔n+1)个存在某个x不成立存在某个x成立不等于某个7.准确地作出反设(即否认结论)是非常重要的，下面是一22导入新课复习引入

1.什么叫多项式的因式分解?把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.2.以下式子从左到右哪个是因式分解?哪个整式乘法？它们有什么关系？1.a(x+y)=ax+ay

2.ax+ay=a(x+y)整式乘法因式分解它们是互为方向相反的变形导入新课复习引入1.什么叫多23正确找出多项式各项公因式的关键是：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.

2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.

3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.

提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

(a+b+c)pa+pb+pcp=正确找出多项式各项公因式的关键是：1.定系数：公因式的系数是24还记得前面学过的乘法公式吗？平方差公式：两数和〔差〕的平方公式：还记得前面学过的乘法公式吗？平方差公式：两数和〔差〕的平方公25讲授新课运用平方差公式因式分解一想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是a,b两数的平方差的形式.))((baba-+=22ba-))((22bababa-+=-整式乘法因式分解两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：讲授新课运用平方差公式因式分解一想一想：是a,b两数的平方差26√√××辨一辨：以下多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？√√★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:()2-()2的形式.

两数是平方，减号在中央．〔1〕x2+y2〔2〕x2-y2〔3〕-x2-y2-(x2+y2)y2-x2〔4〕-x2+y2〔5〕x2-25y2(x+5y)(x-5y)〔6〕m2-1(m+1)(m-1)√√××辨一辨：以下多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么27例1

分解因式：aabb(

+)(-)a2

-b2=解:(1)原式=2x32x2x33(2)原式整体思想ab典例精析例1分解因式：aabb(+)(-)a2-b228例2

分解因式：…………一提〔公因式〕……二套〔公式〕三查〔多项式的因式分解要分解到不能再分解为止〕分解因式的一般步骤例2分解因式：…………一提〔公因式〕……二套〔公式〕三查29运用完全平方公式因式分解二完全平方公式:完全平方式的特点：1.必须是三项式〔或可以看成三项的〕；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.=〔a±b〕2凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.a22abb2±.+.=(a±b)²运用完全平方公式因式分解二完全平方公式:完全平方式的特点：简303、a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()²2、m²-6m+9=(

)²-2·()·(

)+()²=()²1、x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²x2x+2aa2ba+2b2b对照公式a²±2ab+b²=(a±b)²进行因式分解，你会吗？mm-3a22abb2±.+.

（a±b

)²=3x2m3利用公式把某些具有特殊形式〔如平方差式，完全平方式等〕的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.3、a²+4ab+4b²=()²+2·()31以下各式是不是完全平方式？〔1〕a2－4a+4;〔2〕1+4a²;〔3〕4b2+4b-1;〔4〕a2+ab+b2;〔5〕x2+x+0.25.是〔2〕因为它只有两项；不是〔3〕4b²与-1的符号不统一；不是分析：不是是〔4〕因为ab不是a与b的积的2倍.a22abb2±.+.以下各式是不是完全平方式？是〔2〕因为它只有两项；不是〔3〕32例3分解因式：〔1〕16x2+24x+9；分析：在〔1〕中，16x2=(4x)2,24x=2·4x·3,9=3²,所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2解：

(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2=(4x+3)2；(首)²+2·首·尾+(尾)²〔2〕-x2+4xy-4y2.(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.例3分解因式：分析：在〔1〕中，16x2=(433例4把以下各式分解因式：〔1〕3ax2+6axy+3ay2；解:(1)原式=3a〔x2+2xy+y2〕=3a〔x+y〕2；分析：〔1〕中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；〔2〕〔a+b)2-12(a+b)+36.(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,那么原式化为m2-12m+36.(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62

=(a+b-6)2.例4把以下各式分解因式：解:(1)原式=3a〔x2+2x34例5把以下完全平方公式分解因式：1002－2×100×99+99²解：原式=〔100－99)²=1.此题利用完全平方公式分解因式的方法，大大减少计算量，结果准确.例5把以下完全平方公式分解因式：解：原式=〔100－35当堂练习1.把以下各式分解因式：(1)16a2-9b2(2)(a+b)2-(a-b)2(3)9xy3-36x3y(4)-a4+16(4a+3b)(4a-3b)4ab9xy(y+2x)(y-2x)(4+a2)(2+a)(2-a)2.把以下多项式因式分解.〔1〕x2－12x+36;〔2〕4a2-4a+1.解：(1)原式=x2－2·x·6+〔6〕2=〔x－6〕2;(2)原式=〔2a〕²－2·2a·1+〔1〕²=〔2a－1〕2.当堂练习1.把以下各式分解因式：(4a+3b)(4a-3b)363.多项式4a²+ma+9是完全平方式，那么m的值是〔〕A.6B.12C.－12D.±12D解：原式4.计算：5.分解因式：解：原式3.多项式4a²+ma+9是完全平方式，那么m的值是〔37情境引入学习目标1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题.(重点)2.理解并体会反证法的思想内涵.〔难点〕3.通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念.情境引入学习目标1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题38导入新课如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,〔a≤b≤c〕有关系a2+b2=c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？cabACB

解析：由a2+b2＝c2

，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形.复习引入导入新课如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC39讲授新课反证法假设将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a,AC=b〔a≤b≤c〕,a2+b2≠c2〞，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由.cabACB探究：〔1〕假设它是一个直角三角形;〔2〕由勾股定理，一定有a2+b2＝c2，与条件a2+b2≠c2矛盾；〔3〕因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.问题探究讲授新课反证法假设将上面的条件改为“在△ABC中，40这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)先假设结论的反面是正确的;(2)然后通过逻辑推理，得出与根本领实、已证的定理、定义或条件相矛盾；(3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。探究发现像这样的证明方法叫“反证法〞.这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)先假41例1写出以下各结论的反面：〔1〕a∥b；

〔2〕a≥0；〔3〕b是正数；〔4〕a⊥b.a<0b是0或负数a不垂直于ba不平行于b典例精析例1写出以下各结论的反面：a<0b是0或负数a不垂直于ba42例2

在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B≠∠C.ABC证明：假设，那么〔〕这与矛盾．假设不成立．∴．∠B＝∠CAB＝AC等角对等边AB≠AC∠B≠∠C小结：

反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确例2在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B≠∠C.AB43证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A',因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一条，这与两条直线矛盾,假设不成立.所以两条直线相交只有一个交点.小结：根据假设推出结论除了可以与条件矛盾以外，还可以与我们学过的根本领实、定理矛盾.例3求证：两条直线相交只有一个交点.：如图，两条相交直线a，b.求证：a与b只有一个交点.abA●A'●分析：想从条件“两条相交直线a，b〞出发，经过推理，得出结论“a，b只有一个交点〞是很困难的，因此可以考虑用反证法.证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和44

例4

求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.：△ABC.求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设

，即

，∴

，这与

矛盾．假设不成立．∴

．△ABC中没有一个内角小于或等于60°∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°三角形的内角和为180°△ABC中至少有一个内角小于或等于60°点拨：至少的反面是没有！∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°例4求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°451.试说出以下命题的反面：〔1〕a是实数; 〔2)a大于2;〔3〕a小于2; 〔4〕至少有2个;〔5〕最多有一个;〔6〕两条直线平行;2.用反证法证明“假设a2≠b2,那么a≠b〞的第一步是.3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形〞的第一步.

a不是实数

a小于或等于２

a大于或等于２没有两个一个也没有两直线相交假设a=b假设这个三角形是等腰三角形当堂练习1.试说出以下命题的反面：a不是实数a小于或等于２a大464.命题“三角形中最多只有一个内角是直角〞的结论的否认是〔〕A.有两个内角是直角C.至少有两个内角是直角5.否认“自然数a，b，c中恰有一个偶数〞时，正确的反设为〔〕A.a，b，c都是奇数B.a，b，c都是偶数C.a，b，c中至少有两个偶数D.a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数CD4.命题“三角形中最多只有一个内角是直角〞的结论的否认是〔476.：a是整数，2能整除a2.求证：2能整除a.证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a〞,因为a是整数，故a是奇数.不妨设a=2n+1(n是整数),∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1,∴a2是奇数，那么2不能整除a2，这与矛盾.∴假设不成立，故2能整除a.6.：a是整数，2能整除a2.证明：假设命题的结论不成487.准确地作出反设(即否认结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否认形式.

不是不都是不大于

不小于一个也没有至少有两个至多有〔n-1)个至少有〔n+1)个存在某个x不成立存在某个x成立不等于某个7.准确地作出反设(即否认结论)是非常重要的，下面是一49学习目标1.理解和掌握单项式除以单项式的运算法那么，运用运算法那么熟练、准确地进行计算.〔重点〕2.通过总结法那么，培养概括能力；训练综合解题能力和计算能力.〔难点〕学习目标1.理解和掌握单项式除以单项式的运算法那么，运用运算501.用字母表示幂的运算性质：2.计算：(1)

a20÷a10；(2)

a2n÷an；(3)(−c)4÷(−c)2；(4)

(a2)3·(-a3)÷a3；

(5)

(x4)6÷(x6)2·(-x4)2.=a10=an=c2=−a9÷a3=−a6=x24÷x12·x8=x24—12+8=x20复习引入导入新课1.用字母表示幂的运算性质：2.计算：(1)a20÷a1051单项式除以单项式探究发现〔1〕计算：4a2x3·3ab2=;〔2〕计算：12a3b2x3÷3ab2=.12a3b2x3

4a2x3

解法2：原式=4a2x3·3ab2÷3ab2=4a2x3.理解：上面的商式4a2x3的系数4=12÷3；a的指数2=3-1，b的指数0=2-2，x的指数3=3-0.解法1：12a3b2x3÷3ab2相当于求〔〕·3ab2=12a3b2x3.由〔1〕可知括号里应填4a2x3.单项式除以单项式探究发现〔1〕计算：4a2x3·3ab2=52单项式相除,把系数、同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式中出现的字母，那么连同它的指数一起作为商的一个因式.知识要点单项式除以单项式的法那么理解商式＝系数•同底的幂

•被除式里单独有的幂底数不变，指数相减.保存在商里作为因式.被除式的系数除式的系数单项式相除,把系数、同底数幂分别相除作为商的因式；53典例精析例

计算：〔1〕28x4y2÷7x3y；〔2〕-5a5b3c÷15a4b.商式＝系数•同底的幂

•被除式里单独有的幂底数不变指数相减保留在商里作为因式被除式的系数除式的系数解：〔1〕28x4y2÷7x3y=〔28÷7〕x4-3y2-1=4xy；（2）-5a5b3c÷15a4b=(-5÷15)a5-4b3-1c=ab2c.典例精析例计算：〔1〕28x4y2÷7x3y；〔2〕-54当堂练习1.以下计算错在哪里？应怎样改正？××××〔1〕4a8÷2a2=2a4()〔2〕10a3÷5a2=5a()〔3〕(-9x5)÷(-3x)=-3x4()〔4〕12a3b÷4a2=3a()系数相除同底数幂的除法，底数不变，指数相减只在一个被除式里含有的字母，要连同它的指数写在商里，防止遗漏.求系数的商，应注意符号2a62a3x43ab当堂练习1.以下计算错在哪里？应怎样改正？××××〔1〕4a552.计算：〔1〕6a3÷2a2；〔2〕24a2b3÷3ab；〔3〕-21a2b3c÷3ab.解：〔1〕6a3÷2a2＝〔6÷2〕〔a3÷a2〕=3a；〔2〕24a2b3÷3ab=(24÷3)a2-1b3-1=8ab2；〔3〕-21a2b3c÷3ab=(-21÷3)a2-1b3-1c=-7ab2c.2.计算：〔1〕6a3÷2a2；解：〔1〕6a3÷563.计算：〔6x2y3)2÷(3xy2)2.=36x4y6÷9

x2y4=4x2y2.注意：运算顺序：先乘方，再乘除.3.计算：〔6x2y3)2÷(3xy2)2.=36x4y6574.计算12a5b4c4÷(-3a2b2c)÷2a3b2c3，其结果正确的选项是()(A)－2(B)0(C)1(D)2【解析】选A.12a5b4c4÷(-3a2b2c)÷2a3b2c3=［12÷(-3)÷2］·(a5÷a2÷a3)·(b4÷b2÷b2)·(c4÷c÷c3)=-2.4.计算12a5b4c4÷(-3a2b2c)÷2a3b2c3585.你能用〔a-b〕的幂表示12(a-b)5÷3(a-b)2的结果吗？将〔a-b〕看作一个整体,可用同底数幂相除的法那么解：原式=〔12÷3〕(a-b)5-2=4(a-b)35.你能用〔a-b〕的幂表示12(a-b)5÷3(a-b)259情境引入学习目标1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题.(重点)2.理解并体会反证法的思想内涵.〔难点〕3.通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念.情境引入学习目标1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题60导入新课如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,〔a≤b≤c〕有关系a2+b2=c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？cabACB

解析：由a2+b2＝c2

，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形.复习引入导入新课如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC61讲授新课反证法假设将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a,AC=b〔a≤b≤c〕,a2+b2≠c2〞，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由.cabACB探究：〔1〕假设它是一个直角三角形;〔2〕由勾股定理，一定有a2+b2＝c2，与条件a2+b2≠c2矛盾；〔3〕因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.问题探究讲授新课反证法假设将上面的条件改为“在△ABC中，62这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)先假设结论的反面是正确的;(2)然后通过逻辑推理，得出与根本领实、已证的定理、定义或条件相矛盾；(3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。探究发现像这样的证明方法叫“反证法〞.这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)先假63例1写出以下各结论的反面：〔1〕a∥b；

〔2〕a≥0；〔3〕b是正数；〔4〕a⊥b.a<0b是0或负数a不垂直于ba不平行于b典例精析例1写出以下各结论的反面：a<0b是0或负数a不垂直于ba64例2

在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B≠∠C.ABC证明：假设，那么〔〕这与矛盾．假设不成立．∴．∠B＝∠CAB＝AC等角对等边AB≠AC∠B≠∠C小结：

反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确例2在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B≠∠C.AB65证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A',因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一条，这与两条直线矛盾,假设不成立.所以两条直线相交只有一个交点.小结：根据假设推出结论除了可以与条件矛盾以外，还可以与我们学过的根本领实、定理矛盾.例3求证：两条直线相交只有一个交点.：如图，两条相交直线a，b.求证：a与b只有一个交点.abA●A'●分析：想从条件“两条相交直线a，b〞出发，经过推理，得出结论“a，b只有一个交点〞是很困难的，因此可以考虑用反证法.证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和66

例4

求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.：△ABC.求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设

，即

，∴

，这与

矛盾．假设不成立．∴

．△ABC中没有一个内角小于或等于60°∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°三角形的内角和为180°△ABC中至少有一个内角小于或等于60°点拨：至少的反面是没有！∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°例4求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°671.试说出以下命题的反面：〔1〕a是实数; 〔2)a大于2;〔3〕a小于2; 〔4〕至少有2个;〔5〕最多有一个;〔6〕两条直线平行;2.用反证法证明“假设a2≠b2,那么a≠b〞的第一步是.3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形〞的第一步.

a不是实数

a小于或等于２

a大于或等于２没有两个一个也没有两直线相交假设a=b假设这个三角形是等腰三角形当堂练习1.试说出以下命题的反面：a不是实数a小于或等于２a大684.命题“三角形中最多只有一个内角是直角〞的结论的否认是〔〕A.有两个内角是直角C.至少有两个内角是直角5.否认“自然数a，b，c中恰有一个偶数〞时，正确的反设为〔〕A.a，b，c都是奇数B.a，b，c都是偶数C.a，b，c中至少有两个偶数D.a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数CD4.命题“三角形中最多只有一个内角是直角〞的结论的否认是〔696.：a是整数，2能整除a2.求证：2能整除a.证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a〞,因为a是整数，故a是奇数.不妨设a=2n+1(n是整数),∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1,∴a2是奇数，那么2不能整除a2，这与矛盾.∴假设不成立，故2能整除a.6.：a是整数，2能整除a2.证明：假设命题的结论不成707.准确地作出反设(即否认结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否认形式.

不是不都是不大于

不小于一个也没有至少有两个至多有〔n-1)个至少有〔n+1)个存在某个x不成立存在某个x成立不等于某个7.准确地作出反设(即否认结论)是非常重要的，下面是一71导入新课复习引入

1.什么叫多项式的因式分解?把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.2.以下式子从左到右哪个是因式分解?哪个整式乘法？它们有什么关系？1.a(x+y)=ax+ay

2.ax+ay=a(x+y)整式乘法因式分解它们是互为方向相反的变形导入新课复习引入1.什么叫多72正确找出多项式各项公因式的关键是：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.

2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.

3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.

提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

(a+b+c)pa+pb+pcp=正确找出多项式各项公因式的关键是：1.定系数：公因式的系数是73还记得前面学过的乘法公式吗？平方差公式：两数和〔差〕的平方公式：还记得前面学过的乘法公式吗？平方差公式：两数和〔差〕的平方公74讲授新课运用平方差公式因式分解一想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是a,b两数的平方差的形式.))((baba-+=22ba-))((22bababa-+=-整式乘法因式分解两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：讲授新课运用平方差公式因式分解一想一想：是a,b两数的平方差75√√××辨一辨：以下多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？√√★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:()2-()2的形式.

两数是平方，减号在中央．〔1〕x2+y2〔2〕x2-y2〔3〕-x2-y2-(x2+y2)y2-x2〔4〕-x2+y2〔5〕x2-25y2(x+5y)(x-5y)〔6〕m2-1(m+1)(m-1)√√××辨一辨：以下多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么76例1

分解因式：aabb(

+)(-)a2

-b2=解:(1)原式=2x32x2x33(2)原式整体思想ab典例精析例1分解因式：aabb(+)(-)a2-b277例2

分解因式：…………一提〔公因式〕……二套〔公式〕三查〔多项式的因式分解要分解到不能再分解为止〕分解因式的一般步骤例2分解因式：…………一提〔公因式〕……二套〔公式〕三查78运用完全平方公式因式分解二完全平方公式:完全平方式的特点：1.必须是三项式〔或可以看成三项的〕；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.=〔a±b〕2凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.a22abb2±.+.=(a±b)²运用完全平方公式因式分解二完全平方公式:完全平方式的特点：简793、a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()²2、m²-6m+9=(

)²-2·()·(

)+()²=()²1、x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²x2x+2aa2ba+2b2b对照公式a²±2ab+b²=(a±b)²进行因式分解，你会吗？mm-3a22abb2±.+.

（a±b

)²=3x2m3利用公式把某些具有特殊形式〔如平方差式，完全平方式等〕的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.3、a²+4ab+4b²=()²+2·()80以下各式是不是完全平方式？〔1〕a2－4a+4;〔2〕1+4a²;〔3〕4b2+4b-1;〔4〕a2+ab+b2;〔5〕x2+x+0.25.是〔2〕因为它只有两项；不是〔3〕4b²与-1的符号不统一；不是分析：不是是〔4〕因为ab不是a与b的积的2倍.a22abb2±.+.以下各式是不是完全平方式？是〔2〕因为它只有两项；不是〔3〕81例3分解因式：〔1〕16x2+24x+9；分析：在〔1〕中，16x2=(4x)2,24x=2·4x·3,9=3²,所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2解：

(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2=(4x+3)2；(首)²+2·首·尾+(尾)²〔2〕-x2+4xy-4y2.(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.例3分解因式：分析：在〔1〕中，16x2=(482例4把以下各式分解因式：〔1〕3ax2+6axy+3ay2；解:(1)原式=3a〔x2+2xy+y2〕=3a〔x+y〕2；分析：〔1〕中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；〔2〕〔a+b)2-12(a+b)+36.(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,那么原式化为m2-12m+36.(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62

=(a+b-6)2.例4把以下各式分解因式：解:(1)原式=3a〔x2+2x83例5把以下完全平方公式分解因式：1002－2×100×99+99²解：原式=〔100－99)²=1.此题利用完全平方公式分解因式的方法，大大减少计算量，结果准确.例5把以下完全平方公式分解因式：解：原式=〔100－84当堂练习1.把以下各式分解因式：(1)16a2-9b2(2)(a+b)2-(a-b)2(3)9xy3-36x3y(4)-a4+16(4a+3b)(4a-3b)4ab9xy(y+2x)(y-2x)(4+a2)(2+a)(2-a)2.把以下多项式因式分解.〔1〕x2－12x+36;〔2〕4a2-4a+1.解：(1)原式=x2－2·x·6+〔6〕2=〔x－6〕2;(2)原式=〔2a〕²－2·2a·1+〔1〕²=〔2a－1〕2.当堂练习1.把以下各式分解因式：(4a+3b)(4a-3b)853.多项式4a²+ma+9是完全平方式，那么m的值是〔〕A.6B.12C.－12D.±12D解：原式4.计算：5.分解因式：解：原式3.多项式4a²+ma+9是完全平方式，那么m的值是〔86情境引入学习目标1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题.(重点)2.理解并体会反证法的思想内涵.〔难点〕3.通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念.情境引入学习目标1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题87导入新课如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,〔a≤b≤c〕有关系a2+b2=c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？cabACB

解析：由a2+b2＝c2

，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形.复习引入导入新课如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC88讲授新课反证法假设将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a,AC=b〔a≤b≤c〕,a2+b2