立体几何专题检测-江苏省2023届高三数学一轮总复习

江苏省2023届高三数学一轮总复习专题检测立体几何一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1,下列命题正确的是A、正方形的直观图是正方形B、用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台C、各个面都是三角形的几何体是三棱锥D、圆锥有无数条母线2,设a,夕是两个不同的平面，见〃是两条不同的直线，则下列结论中正确的是A、若 则n//a b、若。，尸，根，0,“_14，则/71_1〃C、若〃〃a,机_L〃，则〃z-La D、若a〃夕，maa,”u尸，则m〃〃3、已知圆锥的高为班，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A.2y[2 B.2y[3 C.2# D.4y[24、正多面体共有5种，统称为柏拉图体，它们分别是正四面体、正六面体（即正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体.连接正方体中相邻面的中心，可以得到另一个柏拉图体.已32知该柏拉图体的体积为不，则生成它的正方体的棱长为（ ）A.2 B.2^2 C.2^4 D.45、南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为NO.Okn?；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km'将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（J7=2.65）（A.1.0xl09A.1.0xl09m3B.1.2xl09m31.6xl09m36、在平行六面体AB8-A4CQ中，M=3,乙4,AO=NAA8=60°,则AC|=(A242 B.而7,如图，正方体ABC£>-A4GA的棱长为C.1.4xl09m3 D.底面ABC。是边长为1的正方形，侧棱C.26 D.历1.E,F,G,H分别是所在棱上的动点，且满足DH+BG=AE+CF=l'则以下四个结论正确的是（A.f,G,尸，〃四点一定不共面

B.若四边形EGFH为矩形，则C.若四边形EG/77为菱形，则瓦尸一定为所在棱的中点D.若四边形成才H为菱形，则四边形瓦6〃周长的取值范围为[4,26]8.足球运动成为当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一，2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛.比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行.已知某足球的表面上有四个点A,B,C,D满足AB=BC=AD=BD=CD=gdm，二面角A-的大小为丁，则该足球的体积为(A.巫揄27141A.巫揄27141.3C. dm27D.326兀 3 dm27二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9、已知直线/与平面a相交于点P,贝1( )a内不存在直线与/平行a内有无数条直线与/垂直a内所有直线与/是异面直线D.至少存在一个过/且与。垂直的平面10、已知正方体A8CC-ABGR,则( )B.直线8G与CA所成的角为90。B.直线8G与CA所成的角为90。D.直线BG与平面A8CD所成的角为C.直线BG与平面所成的角为45°45°11、在一个圆锥中，。为圆锥的顶点，。为圆锥底面圆的圆心，P为线段D。的中点，AE为底面圆的直径，△ABC是底面圆的内接正三角形，A8=AD=g则下列说法正确的是A.BE〃平面PACB.PAJ•平面PBCC.在圆锥侧面上，点A到D8中点的最短距离为］D.记直线。。与过点P的平面a所成的角为。当cosi?G（0,坐）时，平面a与圆锥侧面的交线为椭圆12、已知圆台OQ上、下底面的半径分别为2和4,母线长为4.正四棱台上底面AB1£A的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面4BCD的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（）A.A4与底面所成的角为60°B.二面角A-AB-C小于60。C.正四棱台的外接球的表面积为647rV.D.设圆台OQ的体积为匕，正四棱台A8C。一AgGA的体积为匕，则于=乃三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13、已知正四棱锥P-ABC。的高为百，底面边长为2,则正四棱锥P-ABC。的侧面积为—14、已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为2百cm,母线与轴的夹角为30。，则这个圆台的轴截面的面积等于cnr.o/o15、已知ARC,。在球。的球面上，aABC为等边三角形且其面积为任，ACJ•平面4ABC,4）=2,则球。的表面积为.jr16、在等腰梯形A8CD中，AB=2CD=2,ZDAB=ZCBA=-,。为A5的中点.将ABOC3沿OC折起，使点8到达点8的位置，则三棱锥汗-血外接球的表面积为—；当夕。=土时，三棱锥汗-ADC外接球的球心到平面方8的距离为2四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在四棱锥尸-ABCD中，AB//CD,CD=2AB,AC与3。相交于点M，点N在线段AP上，AN=AAP（A>0）,且M/V//平面尸CD（I）求实数/I的值；（H）若A6=AO=£）P=1,PA=PB=6,NBA。=60°,求点N到平面PCD的距离.

.(本小题满分12分)如图，在以P,A,B,C,D为顶点的五面体中，四边形A8CD为等腰梯形，AB//CD,AD=CD=-AB,平面平面Q4B，PA1PB.2(1)求证：平面~4£>_L平面尸8C；(2)若二面角P-A6-£)的余弦值为走，求直线PD与平面PBC所成角的大小..(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC-A与G的体积为4,aABC的面积为2垃.(1)求A到平面48c的距离；(2)设D为AC的中点，AA]=AB,平面A^C_L平面ABgA,求二面角A—8O—C的正弦值.

.(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDP中，aABC是边长为2的等边三角形，PA=AB,BD=CD=2五,PC=PB=2无，点、E是BC中尽,平面ABC1,平面8co.(1)求证：£出〃平面%C；(2)尸是直线8C上的一点，若二面角尸-D4-B为直二面角，求的长..(本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABC。中，/%_!_底面ABC。，AD〃8C点2M在棱PB上，PM=2MB1N在棱PC上,PA=AB=AD=-BC=2.3(1)若CN=2NP,。为PZ)的中点，求证：A,M,N,。四点共面；(2)求直线R4与平面AMN所成角的正弦的最大值.

22.(本小题满分12分)如图1,在平行四边形A8CD中，AB=2,AD=3&NA8c=30。,AE1BC,垂足为E.以AE为折痕把△A8E折起，使点8到达点P的位置，且平面PAE与平面AECD所成的角为90。(如图2).(1)求证：PELCDt(2)若点F在线段PC上，且二面角F-AD-C的大小为30。，求三棱锥F-ACD的体积.01A 保2*补充练习：1、如图，在直四棱柱ABC£>-A8|CQ|中，AD//BC,ADA.AB,AA,=AD=2BC=2,AB=y/2.点E在棱A"上，平面BGE与棱A4,交于点F.(1)求证：BD1C.F；(2)若属与平面所成角的正弦值为S，试确定点尸的位置.5

【解答】（1）证明：在直四棱柱中中，/见，平面ABCD,•.♦Mu平面ABCD,AA.LBD,连接AC,D1ABx/2 , CB丘,,,tan^-A.DB==—,tanNCL43==—,AD2 AB2・・ZADB=NCAB,.\AC±BD,•.•A4,,ACu平面ACGA，AA,QAC=A,r.B£)JL平面ACQA，♦.•C|Fu平面ACGA，.-.BDLQF.(2)以A为坐标原点，A£>为x轴，AB为y轴，A4,为z轴，建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),8(0,&,0),C(1,72,0),G(l,忘，2),平面ABCD的法向量为万=(0,0,1),BE=(x,-42,2),x>0.TOC\o"1-5"\h\z4 ? , 1则一=1cos<BE,万>1=] ,解得X=—,5 V?+6 2则E(‘，0,2),BE=(-,-41,2),CE=(--,-四，0),2 2 2设尸(0,0,z),CF=(-1, z-2),则(一1,-72,z-2)= ,-42,2)+〃(一；, ,0),11,-m—n=-l —-i32 2 ,解得〃?=—,〃=二，z=19-\[lm-\[2n=一&.•.尸(0,0,1),r.F为棱9的中点.参考答案1、D2、B3,A4、D5、C6、D7、D8、A8、【详解】根据题意，三棱锥A-8C。如图所示，图中点。为线段8。的中点，MM分别是线段AO,CO上靠近点。的三等分点，因为A5=5C=AO=8O=CO=0dm，所以△AB。和KBD均为等边三角形，因为点0为线段B。的中点，所以AO_L8D,CO_LBO,所以NAOC为二面角A-BO—C的平面角，所以N4OC=2三，3因为△A3。和aCBD均为等边三角形，点O为线段8。的中点，所以AO,CO分别为△ABD和aCBD的中线，因为N,M分别是线段AO,CO上靠近点。的三等分点，所以N,M分别为z\ABD和aCBD的外心，过N,M分别作平面9和平面C8D的垂线EN,EM,交于点E，则点E为三棱锥A-BCD外接球的球心，即为足球的球心，所以线段EB为球的半径，因为AO_LBD,CO_L8O,AB=BC=AD=BD=CD=V2dm.TOC\o"1-5"\h\z[7 [7所以AO=CO=Jdm，则NO=MO=Jdm，2 6因为AO=CO,EO=EOZENO=NEMO=90°,1 冗所以△ENO四△EMO,所以NEON=NEMO=—ZAOC=—,2 3万在直角△EMO中，EM=OMtan-=—»3 2因为EM，平面BCD,3"u平面BCD,所以AMJ.EW，因为M因为M是aCBO的外心，所以8M所以£5=^EM'+BM24f34(7)7742所以V=一兀、EB=—7uJ—= 3 3[\6) 27所以足球的体积为友2乃dm，故选：A279、ABD10、ABD11,BD12、AC12、【详解】12、【详解】如图，过A作A/_LAO,作出截面ACGA的平面图，易知ACGA为等腰梯形，且为AC,4G中点,易得AG=4,AC=8，M=4,AP=AC~^'C'=2,故Oq=AP=，42—22=26，即圆台的高h=2>/3，AQ厂ACr~4耳=<k=2j2,AB=n=4j2,即四棱台的上下底边长分别为2拒和40，选项A：易得N4AO即为A4与底面所成角，KijcosZA1/4O=—-= 故/44。=7,z 3正确；选项B：过p作PQ_LAB于。，连接40,由APLAB,APcPQ=P,故⑷5_L面

sin/AAP=丝,AA\PQ,AQu面APsin/AAP=丝,AANAQP即为二面角A-AB-C的平面角,AQ<AA,故sinNAQP>sinNAAP,即NAQP>60°,B错误；选项c：设外接球半径为R,球心到下底距离为X,在ACGA的平面图中，。2为球心，则QO=x,Q。]=2G-x，°\c\=2,OC=4,O2Ct=O2C=R,故[R2-x2=16卜y2GH=4=2，故表面积S=44/?2=64万»正确；选项D：V；=y（22+42+8）x2V3=56^.匕=；（8+32+16卜2百=当叵，显然于K7,错误.故选：AC.15、8^r13、8 14、15、8^r“ 3岳16、44; ・1316、解：•.•等腰梯形ABC。中，AB=2CD=2,ZDAB=ZCBA=-,O为AB的中点,3.-.AfiOC,AAW.ADOC为等边三角形，OA=OB=OC=OD=\,.•.三棱锥夕-ADC处接球的球心为O,半径为1,「.S=4;rxl=4〃，连接与OC交于则OC_LM£),OC1MB,OC工MB,是二面角的平面角，ABM=DM=B'D=—,;.NBMD=三,2 3，斤到平面C8的距离为〃=且sin巳=』，2 34炳X = ,2 16在△»<?£>中，9C=l,B，D=当炳X = ,2 16设球心O到平面BCD的距离为〃,由^O-ffCD~^B,-COD9得3sAm),〃=§Sa(TOD,h，

三棱锥夕-小心外接球的球心到平面夕-4X7处接球的球心到平面98的距离为3x/13134万；迹13故答案为:17、【详解】分析：解法一：（1）由平行线的性质可得空=?，结合线面平行的性质定理故答案为:AC3有MN//PC.据此可得2=-.3（2）由题意可知A4B£）为等边三角形，则8£>=4）=1,结合勾股定理可知且PD±DA,由线面垂直的判断定理有P£>_L平面ABC。，进一步有平面PC。_L平面ABCZ）.作ME_LCD于E,则ME_L平面PC。.ME即为N到平面PCZ）的距离.结a合比例关系计算可得N到平面PCQ的距离为.3解法二：（1）同解法一.（2）由题意可得AA3£>为等边三角形，所以3£>=4）=1,结合勾股定理可得P0_L3£>且尸DD,则P£>_L平面A3C。.设点N到平面PCD的距离为d,利用体积关系：2 2 2 1Vn-PCD=§^A-PCD=g^P-ACD'即§PD-S“CD=§"，LPCD•求解二角形的面积然后解方程可得N到平面PCD的距离为且.ai\4AB详解：解法一：（ai\4AB详解：解法一：（1）因为48//CD,所以—MCCD―,即2AMAC因为脑V//平面PC。,MNu平面尸AC,平面B4Cc平面PCZ)=PC,所以MN〃PC.(2)因为A5=AO,NBA。=60°,所以△/$£)为等边三角形，所以B£>=A£>=1,又因为PO=1,PA=PB=C,所以尸82=尸£>2+5。2且抬2=叨2+4)2,所以叨_L8£>且PD_LA4，又因为04c£)5=。，所以PDJ•平面A8C£>因PDu平面PCD，所以平面PCD，平面ABCD.作腔，8于七，因为平面PCZ)C平面ABCZ)=C。，所以ME_L平面PCQ.又因为MN〃平面PC0，所以ME即为N到平面PCD的距离.在AA8O中，设A3边上的高为人，则力=立，2因为丝=如=2,所以ME=&h=®，即N到平面PCD的距离为正.BDAC3 3 3 3解法二、(1)同解法一.(2)因为A8=A£>,NA4O=60°,所以A48D为等边三角形，所以8E)=AD=1,又因为P£>=1,PA=PB=亚,所以依2=P£)2+b£)2且pa2=P£)2+A£)2,所以叨_L8。且PD_LD4，又因为A4cZ)8=。，所以P£>_L平面ABC。.TOC\o"1-5"\h\z1 2设点N到平面PCD的距离为"，由AN=：；A尸得NPu7A尸，3 3\o"CurrentDocument"2 2所以Vn-pcd=§Va-PCD=§^P-ACD»\o"CurrentDocument"2 1即一PD-SACD=-d-SPCD.9 aHL"3 A*VZ>/q J因为S“n=-A0-0Csi〃NA0C=J,S„cd=-PDCD=\,PD=\,△Ac"2 2 2所以2xY3=』a,解得d=且，即n到平面pco的距离为立.92 3 3 3

18、【1】因为平面B4£)_L平面R1B，平面24。0平面出8=9，PA上PB，PBu平面248,所以P3_L平面PAO,又因为PBu平面尸8C,所以平面P4D_L平面P8C.【2】过。作O”J,Q4，DO1AB,垂足分别为4，0,连接“0,因为平面平面Q4B，平面PAOPI平面R4B=B4,DH±PA，O”u平面A4。，所以O“_L平面245，又ABi平面Q43，所以DHLAB,又DO上AB,且£)onO"=。，DO,DHu平面DHO,所以ABJ_平面，因为HOu平面DHO,所以AB，〃。，即NQOH即为二面角P-AB-。的平面角，不妨设AB=4，则可知4)=CD=8£)=2,且AO=1,OD=>/3>因为cos/OO”=走，所以O”=l,所以NB4P=2，3 4过。作OA/_L平面Q43,以｛弧而，加｝为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则£>(0,1,夜)，P(-l,2,0),5(-3,0,0),C(-2,l,>/2),所以苏=(1,一1,夜)，丽=(2,2,0),CP=(1,1-V2),一 [in-BP=2x+2y=0设平面PBC的法向量为机=(x,y,z)，则｛_, 1- ，、 '[m-CP=x+y-yl2Z=0令x=l,则y=-l,z=0,所以小=(1,-1,0),|w-Pd|2J2设直线pd与平面pbc所成角为0,则sin6=乙।-=-/——--1———=—，|/n|-|PD|Vl+l-Vl+1+2 27T即6=2.419、【1】在直三棱柱ABC-A8cl中，设点A到平面A/C的距离为h,则匕ABC=~A-3aA则匕ABC=~A-3aABC。h=~"h=%-abc=§5必8。,AA=3%hc-a与G=§解得h=6,所以点A到平面ABC的距离为夜；【2】取48的中点已连接AE,如图，因为AA=A8,所以AE_LAB,又平面平面,平面A^cn平面ABgA=A3,

且AEu平面ABB|A，所以他_L平面ABC,在直三棱柱ABC-44G中，8与，平面ABC,由BCu平面ABC,8。（=平面48。可得隹_18。，BBJBC,又AE, u平面ABBM且相交，所以BCJ■平面AB耳A,所以BC,6A84两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图,由(1)得AE=0，所以偿=48=2,%B=2亚,所以BC=2,则4(0,2,0),A(0,2,2),3(0,0,0),C(2,0,0),所以A。的中点0(1,1,1),则丽=(1,1,1),丽=(0,2,0),町=(2,0,0),— m-BD=x+y+z=0设平面ABO的一个法向量〃z=(x,y,z),贝卜 m-BA=2y=0可取6=(1,0,-1),设平面3OC设平面3OC的一个法向量〃=（4〃,c）,则＜m•BD=q+〃+c=0m-BC=2。=0可取7=(0」,—1),mn1_mn1_1夜xa2所以二面角A—M—C的正弦值为』1一20、（1）“IBC是边长为2的等边三角形，则P4=AB=AC=2,又PC=PB=2叵,由勾股定理知24_LAB,R4_LAC,故尸41.平面ABC,BD=CD,点E是BC中点，则£>E_LBC,由于平面ABC_L平面BCD知。E_L平面ABC,则£应//上4,£＞£7/平面R4C⑵以点E为原点，EC方向为x轴，E4方向为y轴，比＞方向为z轴建系则£)(0,0,1),A(0,百,0),8(-1,0,0),设F(a,0,0)平面内，ZZ4=(0,0,一1),。尸=(a,0,T),法向量正二(G,a,Ga)平面8D4内，DX=(0,x/3,-l),DB=(-l,0,-l),法向量正=(—G,l,G)TOC\o"1-5"\h\z,_ 3 7设直二面角F-DA-B的平面角0,则cose=0,m・”=4a-3=0,a=—,3/=—\o"CurrentDocument"4 421、【1详】解：以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，如图所示,则A(0,0,0),C(0,l,l),Ml N则加=件0⑤，42=2(0,1,1),AN=设丽=xW+y而，则，24设丽=xW+y而，则，1=y,解得x=_,y=1,42—=—x+V[33 '则丽=；而+恋，即a,M,N,。四点共面.[2]解：由⑴中的空间直角坐标系，可得尸（0,0,2）,C（2,3,o）,丽=（0,0,2）,设PN=4PC，（其中0W2W1）,且N（x,y,z）,则（x,y,z—2）=4（2,3,-2）9解得N（24,34,2—2丸）,可得而7=（±0,2）前=（2尢342—22）_ 4 2设平面AAW的法向量为〃=（a,b,c）,由＜n-AM设平面AAW的法向量为〃=（a,b,c）,由＜3 3n-AN=24a+3Ab4-(2—2A)c=02石2石r设直线AP与平面AMN所成角为。，则取。=1,可得6=：■-2,c设直线AP与平面AMN所成角为。，则7当且仅当4=3时等号成立.直线PA与平面AAW所成角的正弦的最大值为乎.22、解：（1）方法1在平行四边形A8CD中，AE±BC,所以AEJ_P£.TOC\o"1-5"\h\z因为平面PAE与平面4ECD所成的角为90。，即平面PAEJ_平面AECD. 2分又因为平面PAEn平面AECD^AE,PEu平面PAE,所以PEJ_平面AECD.因为CDu平面AECD,所以P