北师大版八年级下册数学课件第1章三角形的证明全章热门考点整合应用

BS版八年级下全章热门考点整合应用第一章三角形的证明BS版八年级下全章热门考点整合应用第一章三角形的证明4提示：点击进入习题答案显示671235D见习题见习题见习题见习题8见习题BC4提示：点击进入习题答案显示671235D见习提示：点击进入习题答案显示101112913见习题见习题见习题见习题见习题1415见习题1617见习题见习题见习题18见习题提示：点击进入习题答案显示101112913见提示：点击进入习题答案显示2019见习题见习题提示：点击进入习题答案显示2019见习题见习题1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设(

)A．有一个锐角小于45°

B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°D1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于4(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；若∠D＝25°，∠AED＝105°，∠DAC＝10°，求∠DFB的度数．∴∠CBE＝∠EPD－∠ADB＝125°－90°＝35°.①与④、②与⑥分别是互逆命题．又∵∠AFB＝∠DGC＝90°，∠BAF＝∠CDG，证明：∵△ABC，△BDE均为等边三角形，解：∵AC＝5，BC＝12，∴AB＝13.(1)求证：△ABD≌△ACE；又∵∠AFB＝∠DGC＝90°，∠BAF＝∠CDG，∵PQ是线段AB的垂直平分线，解：△PQC是直角三角形．∵OM⊥AB于点M，OF⊥AC于点F，∴∠DFB＝∠BAD＝60°.∴△PBQ是等边三角形．∴PQ＝4a.15．【中考·株洲】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．连接AO.∵BD平分∠ABC，∴OM＝OE＝OF.又因为点C′在直线l上，所以C′A＝C′A′.10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N.∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC.即∠ABP＝∠CBQ.证明：假设两个不相等的角所对的边相等，则根据等腰三角形的性质定理“等边对等角”，知它们所对的角也相等，这与题设两个角不相等相矛盾，因此假设不成立，故原命题成立．2．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；证明：假设两个不相等的3．有下列这些命题：①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；③如果a＋b>0，那么a>0，b>0；④相等的角都是直角；⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；⑥两直线平行，内错角相等．(1)③和⑤是互逆命题吗？解：由于③的题设是a＋b>0，而⑤的结论是ab>0，故⑤不是由③交换命题的题设和结论得到的，所以③和⑤不是互逆命题．3．有下列这些命题：①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；(2)你能说明③和⑤的逆命题各是什么吗？(3)请指出哪几个命题是互逆命题．解：③的逆命题是如果a>0，b>0，那么a＋b>0.⑤的逆命题是如果ab>0，那么a>0，b>0.①与④、②与⑥分别是互逆命题．(2)你能说明③和⑤的逆命题各是什么吗？解：③的逆命题是如果4．下列三个定理中，存在逆定理的有(

)个．①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同位角相等，两直线平行．A．0

B．1

C．2

D．3C4．下列三个定理中，存在逆定理的有()个．C5．写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互逆定理．(1)全等三角形的对应边相等；(2)等角的补角相等．解：逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等．原命题与其逆命题都是真命题，所以它们是互逆定理．逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角是等角，原命题是真命题，其逆命题也是真命题，所以它们是互逆定理．5．写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互逆定理．解：逆命题6．如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD，DE于点M，F.若∠D＝25°，∠AED＝105°，∠DAC＝10°，求∠DFB的度数．6．如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD，DE于解：∵∠D＝25°，∠AED＝105°，∴∠DAE＝50°.又∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE＝50°.∵∠DAC＝10°，∴∠BAD＝60°.∵∠D＝∠B，∠FMD＝∠AMB，∴∠DFB＝∠BAD＝60°.解：∵∠D＝25°，∠AED＝105°，∴∠DAE＝50°.BB【点拨】利用等边三角形的性质证明线段间的和差关系问题时，往往要结合具体问题选择三角形全等的判定方法，再运用全等三角形的性质进行线段之间关系的论证．8．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，且点E在线段AD上．求证：BD＋CD＝AD.【点拨】利用等边三角形的性质证明线8．如图，已知△ABC和△证明：∵△ABC，△BDE均为等边三角形，∴BE＝BD＝DE，AB＝CB，∠ABC＝∠EBD＝60°.∴∠ABC－∠EBC＝∠EBD－∠EBC.即∠ABE＝∠CBD.证明：∵△ABC，△BDE均为等边三角形，9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，AD，BE相交于点P，已知∠EPD＝125°，求∠BAD的度数．9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平解：∵AD是BC边上的高线，∠EPD＝125°，∴∠CBE＝∠EPD－∠ADB＝125°－90°＝35°.∵BE平分∠ABC，∴∠ABD＝2∠CBE＝2×35°＝70°.在Rt△ABD中，∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－70°＝20°.解：∵AD是BC边上的高线，∠EPD＝125°，10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N.求证：CM＝2BM.10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的证明：如图，连接AM.∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM.∴∠MAB＝∠B.又∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∴∠MAB＝30°.∴∠MAC＝90°.∵∠C＝30°，∴CM＝2AM.∴CM＝2BM.证明：如图，连接AM.19．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC的中点，AE平分∠BAD.(2)等角的补角相等．∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴12－x＋5－x＝13.③同位角相等，两直线平行．∵四边形OECF是正方形，∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F.又∵∠AFB＝∠DGC＝90°，∠BAF＝∠CDG，在△A′BC′中，C′A′－C′B<A′B，所以C′A′－⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；即∠ABP＝∠CBQ.∴∠ABC－∠EBC＝∠EBD－∠EBC.∵∠BEF＝∠CEG，∠BFE＝∠CGE＝90°，BE＝CE，∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC.∴△BEA≌△CEF(AAS)．∴AB＝FC.∵BD平分∠ABC，∴OM＝OE＝OF.∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE＝50°.2．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．又∵EF⊥AD，EC⊥DC，∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE.∵BM＋AM＝AB＝13，11．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线．求证：BC＝2AB.19．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC的中点，AE平分证明：∵DE是BC的垂直平分线，∴BE＝EC，DE⊥BC.∵∠A＝90°，∴DA⊥AB.又BD是∠ABC的平分线，∴DA＝DE.又BD＝BD，∴Rt△ABD≌Rt△EBD.∴AB＝BE.∴BC＝2AB.证明：∵DE是BC的垂直平分线，12．【中考·武汉】如图，已知点B，C，E，F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF.求证：(1)△ABC≌△DEF；证明：∵AC⊥BC，DF⊥EF，∴∠ACB＝∠DFE＝90°.∵BC＝EF，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF(SAS)．12．【中考·武汉】如图，已知点B，C，E，F在同一直线上，(2)AB∥DE.解：∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF.∴AB∥DE.(2)AB∥DE.解：∵△ABC≌△DEF，13．【2020·台州】如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O.(1)求证：△ABD≌△ACE；证明：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．13．【2020·台州】如图，已知AB＝AC，AD＝AE，B(2)判断△BOC的形状，并说明理由．解：△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACE.∴∠OBC＝∠OCB.∴BO＝CO.∴△BOC是等腰三角形．(2)判断△BOC的形状，并说明理由．解：△BOC是等腰三角14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ，PQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的数量关系，并证明你的结论；14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，P解：AP＝CQ.证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∠ABC＝60°.∵∠PBQ＝60°，∴∠ABC＝∠PBQ.∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC.即∠ABP＝∠CBQ.又BP＝BQ，∴△ABP≌△CBQ.∴AP＝CQ.解：AP＝CQ.(2)若PA:PB:PC＝3:4:5，试判断△PQC的形状，并说明理由．解：△PQC是直角三角形．理由如下：由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，可设PA＝3a(a>0)，则PB＝4a，PC＝5a.在△PBQ中，∵PB＝BQ＝4a，∠PBQ＝60°，∴△PBQ是等边三角形．∴PQ＝4a.又由(1)知CQ＝PA.∴PQ2＋CQ2＝PQ2＋PA2＝16a2＋9a2＝25a2＝PC2.∴△PQC是直角三角形．(2)若PA:PB:PC＝3:4:5，试判断△PQC的形状，15．【中考·株洲】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．连接AO.(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；15．【中考·株洲】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，B证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M.∵四边形OECF是正方形，∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F.∵BD平分∠ABC，∴OM＝OE＝OF.∵OM⊥AB于点M，OF⊥AC于点F，∴点O在∠BAC的平分线上．证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M.(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．解：∵AC＝5，BC＝12，∴AB＝13.设OE＝x.易得AF＝AM＝5－x，BE＝BM＝12－x.∵BM＋AM＝AB＝13，∴12－x＋5－x＝13.解得x＝2.∴OE＝2.(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．解：∵AC＝5，B16．如图，E是BC的中点，点A在DE上，且

∠BAE＝∠CDE.求证：AB＝CD.证法一：如图①，延长DE至点F，使EF＝DE，连接BF.∵BE＝CE，∠BEF＝∠CED，EF＝DE，∴△BEF≌△CED(SAS)．∴BF＝CD，∠F＝∠CDE.又∵∠BAE＝∠CDE，∴∠F＝∠BAE.∴BF＝AB.∴AB＝CD.16．如图，E是BC的中点，点A在DE上，且证法一：如图①，证法二：如图②，分别过点B，C作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，CG⊥AE，交AE于点G.∵∠BEF＝∠CEG，∠BFE＝∠CGE＝90°，BE＝CE，∴△BEF≌△CEG(AAS)．∴BF＝CG.又∵∠AFB＝∠DGC＝90°，∠BAF＝∠CDG，∴△ABF≌△DCG(AAS)．∴AB＝CD.证法二：如图②，分别过点B，C作BF⊥AE，交AE的延长线于证法三：如图③，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，则∠BAE＝∠F.∵∠BEA＝∠CEF，BE＝CE，∴△BEA≌△CEF(AAS)．∴AB＝FC.又∵∠D＝∠BAE，∴∠F＝∠D.∴FC＝CD.∴AB＝CD.证法三：如图③，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，则17．如图，已知AD＝AE，BD＝CE，试探究AB和AC的数量关系，并说明理由．17．如图，已知AD＝AE，BD＝CE，试探究AB和AC的数解：AB＝AC.理由：因为AD＝AE，所以△ADE是等腰三角形．取线段DE的中点F，连接AF，则AF既是△ADE的中线，又是底边上的高，即AF⊥DE，DF＝EF.又因为BD＝CE，所以BD＋DF＝CE＋EF，即BF＝CF.所以AF是线段BC的垂直平分线．所以AB＝AC.解：AB＝AC.18．如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交AB于点Q，交BC于点P，PE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD，PE交于点F，求证：DF＝DC.18．如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线证明：如图，连接AP.∵PQ是线段AB的垂直平分线，∴PA＝PB.∴∠B＝∠PAB＝22.5°.∴∠APC＝45°.∴△ADP为等腰直角三角形．∴DP＝AD.又∠FPD＋∠PFD＝90°，∠AFE＋∠DAC＝90°，∠PFD＝∠AFE，∴∠FPD＝∠CAD.又∵∠PDF＝∠ADC＝90°，∴△PDF≌△ADC.∴DF＝DC.证明：如图，连接AP.19．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC的中点，AE平分∠BAD.求证：DE平分∠ADC.【点拨】作辅助线的方法：当根据题意可直接或间接地说明有角平分线时，常过角平分线上的某点向角的一边(两边)引垂线段，利用角平分线的性质和判定进行证明．19．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC的中点，AE平分2．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．若∠D＝25°，∠AED＝105°，∠DAC＝10°，求∠DFB的度数．证明：∵DE是BC的垂直平分线，1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设()∴∠DFB＝∠BAD＝60°.14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ，PQ.∴∠DFB＝∠BAD＝60°.16．如图，E是BC的中点，点A在DE上，且又BP＝BQ，∴△ABP≌△CBQ.证法一：如图①，延长DE至点F，使EF＝DE，连接BF.A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°又因为BD＝CE，所以BD＋DF＝CE＋EF，即BF＝CF.∵BD平分∠ABC，∴OM＝OE＝OF.∴BE＝EC，DE⊥BC.14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ，PQ.∴△BEA≌△CEF(AAS)．∴AB＝FC.(3)请指出哪几个命题是互逆命题．16．如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴点O在∠BAC的平分线上．证明：如图，过点E作EF⊥AD于点F.∵AE平分∠BAD，AB⊥BC，EF⊥AD，∴BE＝FE.∵E为BC的中点，∴BE＝CE.∴FE＝CE.又∵EF⊥AD，EC⊥DC，∴DE平分∠ADC.2．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边20．如图，A，B两点在直线l的两侧，在直线l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大．20．如图，A，B两点在直线l的两侧，在直线l上找一点C，使解：如图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B并延长，交直线l于点C，则点C即为所求．理由如下：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以直线l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′.所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在直线l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A′－C′B<A′B，所以C′A′－C′B<CA－CB.所以C′A－C′B<CA－CB.所以点C到点A，B的距离之差最大．解：如图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，连BS版八年级下全章热门考点整合应用第一章三角形的证明BS版八年级下全章热门考点整合应用第一章三角形的证明4提示：点击进入习题答案显示671235D见习题见习题见习题见习题8见习题BC4提示：点击进入习题答案显示671235D见习提示：点击进入习题答案显示101112913见习题见习题见习题见习题见习题1415见习题1617见习题见习题见习题18见习题提示：点击进入习题答案显示101112913见提示：点击进入习题答案显示2019见习题见习题提示：点击进入习题答案显示2019见习题见习题1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设(

)A．有一个锐角小于45°

B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°D1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于4(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；若∠D＝25°，∠AED＝105°，∠DAC＝10°，求∠DFB的度数．∴∠CBE＝∠EPD－∠ADB＝125°－90°＝35°.①与④、②与⑥分别是互逆命题．又∵∠AFB＝∠DGC＝90°，∠BAF＝∠CDG，证明：∵△ABC，△BDE均为等边三角形，解：∵AC＝5，BC＝12，∴AB＝13.(1)求证：△ABD≌△ACE；又∵∠AFB＝∠DGC＝90°，∠BAF＝∠CDG，∵PQ是线段AB的垂直平分线，解：△PQC是直角三角形．∵OM⊥AB于点M，OF⊥AC于点F，∴∠DFB＝∠BAD＝60°.∴△PBQ是等边三角形．∴PQ＝4a.15．【中考·株洲】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．连接AO.∵BD平分∠ABC，∴OM＝OE＝OF.又因为点C′在直线l上，所以C′A＝C′A′.10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N.∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC.即∠ABP＝∠CBQ.证明：假设两个不相等的角所对的边相等，则根据等腰三角形的性质定理“等边对等角”，知它们所对的角也相等，这与题设两个角不相等相矛盾，因此假设不成立，故原命题成立．2．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；证明：假设两个不相等的3．有下列这些命题：①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；③如果a＋b>0，那么a>0，b>0；④相等的角都是直角；⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；⑥两直线平行，内错角相等．(1)③和⑤是互逆命题吗？解：由于③的题设是a＋b>0，而⑤的结论是ab>0，故⑤不是由③交换命题的题设和结论得到的，所以③和⑤不是互逆命题．3．有下列这些命题：①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；(2)你能说明③和⑤的逆命题各是什么吗？(3)请指出哪几个命题是互逆命题．解：③的逆命题是如果a>0，b>0，那么a＋b>0.⑤的逆命题是如果ab>0，那么a>0，b>0.①与④、②与⑥分别是互逆命题．(2)你能说明③和⑤的逆命题各是什么吗？解：③的逆命题是如果4．下列三个定理中，存在逆定理的有(

)个．①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同位角相等，两直线平行．A．0

B．1

C．2

D．3C4．下列三个定理中，存在逆定理的有()个．C5．写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互逆定理．(1)全等三角形的对应边相等；(2)等角的补角相等．解：逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等．原命题与其逆命题都是真命题，所以它们是互逆定理．逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角是等角，原命题是真命题，其逆命题也是真命题，所以它们是互逆定理．5．写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互逆定理．解：逆命题6．如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD，DE于点M，F.若∠D＝25°，∠AED＝105°，∠DAC＝10°，求∠DFB的度数．6．如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD，DE于解：∵∠D＝25°，∠AED＝105°，∴∠DAE＝50°.又∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE＝50°.∵∠DAC＝10°，∴∠BAD＝60°.∵∠D＝∠B，∠FMD＝∠AMB，∴∠DFB＝∠BAD＝60°.解：∵∠D＝25°，∠AED＝105°，∴∠DAE＝50°.BB【点拨】利用等边三角形的性质证明线段间的和差关系问题时，往往要结合具体问题选择三角形全等的判定方法，再运用全等三角形的性质进行线段之间关系的论证．8．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，且点E在线段AD上．求证：BD＋CD＝AD.【点拨】利用等边三角形的性质证明线8．如图，已知△ABC和△证明：∵△ABC，△BDE均为等边三角形，∴BE＝BD＝DE，AB＝CB，∠ABC＝∠EBD＝60°.∴∠ABC－∠EBC＝∠EBD－∠EBC.即∠ABE＝∠CBD.证明：∵△ABC，△BDE均为等边三角形，9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，AD，BE相交于点P，已知∠EPD＝125°，求∠BAD的度数．9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平解：∵AD是BC边上的高线，∠EPD＝125°，∴∠CBE＝∠EPD－∠ADB＝125°－90°＝35°.∵BE平分∠ABC，∴∠ABD＝2∠CBE＝2×35°＝70°.在Rt△ABD中，∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－70°＝20°.解：∵AD是BC边上的高线，∠EPD＝125°，10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N.求证：CM＝2BM.10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的证明：如图，连接AM.∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM.∴∠MAB＝∠B.又∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∴∠MAB＝30°.∴∠MAC＝90°.∵∠C＝30°，∴CM＝2AM.∴CM＝2BM.证明：如图，连接AM.19．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC的中点，AE平分∠BAD.(2)等角的补角相等．∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴12－x＋5－x＝13.③同位角相等，两直线平行．∵四边形OECF是正方形，∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F.又∵∠AFB＝∠DGC＝90°，∠BAF＝∠CDG，在△A′BC′中，C′A′－C′B<A′B，所以C′A′－⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；即∠ABP＝∠CBQ.∴∠ABC－∠EBC＝∠EBD－∠EBC.∵∠BEF＝∠CEG，∠BFE＝∠CGE＝90°，BE＝CE，∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC.∴△BEA≌△CEF(AAS)．∴AB＝FC.∵BD平分∠ABC，∴OM＝OE＝OF.∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE＝50°.2．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．又∵EF⊥AD，EC⊥DC，∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE.∵BM＋AM＝AB＝13，11．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线．求证：BC＝2AB.19．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC的中点，AE平分证明：∵DE是BC的垂直平分线，∴BE＝EC，DE⊥BC.∵∠A＝90°，∴DA⊥AB.又BD是∠ABC的平分线，∴DA＝DE.又BD＝BD，∴Rt△ABD≌Rt△EBD.∴AB＝BE.∴BC＝2AB.证明：∵DE是BC的垂直平分线，12．【中考·武汉】如图，已知点B，C，E，F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF.求证：(1)△ABC≌△DEF；证明：∵AC⊥BC，DF⊥EF，∴∠ACB＝∠DFE＝90°.∵BC＝EF，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF(SAS)．12．【中考·武汉】如图，已知点B，C，E，F在同一直线上，(2)AB∥DE.解：∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF.∴AB∥DE.(2)AB∥DE.解：∵△ABC≌△DEF，13．【2020·台州】如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O.(1)求证：△ABD≌△ACE；证明：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．13．【2020·台州】如图，已知AB＝AC，AD＝AE，B(2)判断△BOC的形状，并说明理由．解：△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACE.∴∠OBC＝∠OCB.∴BO＝CO.∴△BOC是等腰三角形．(2)判断△BOC的形状，并说明理由．解：△BOC是等腰三角14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ，PQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的数量关系，并证明你的结论；14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，P解：AP＝CQ.证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∠ABC＝60°.∵∠PBQ＝60°，∴∠ABC＝∠PBQ.∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC.即∠ABP＝∠CBQ.又BP＝BQ，∴△ABP≌△CBQ.∴AP＝CQ.解：AP＝CQ.(2)若PA:PB:PC＝3:4:5，试判断△PQC的形状，并说明理由．解：△PQC是直角三角形．理由如下：由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，可设PA＝3a(a>0)，则PB＝4a，PC＝5a.在△PBQ中，∵PB＝BQ＝4a，∠PBQ＝60°，∴△PBQ是等边三角形．∴PQ＝4a.又由(1)知CQ＝PA.∴PQ2＋CQ2＝PQ2＋PA2＝16a2＋9a2＝25a2＝PC2.∴△PQC是直角三角形．(2)若PA:PB:PC＝3:4:5，试判断△PQC的形状，15．【中考·株洲】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．连接AO.(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；15．【中考·株洲】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，B证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M.∵四边形OECF是正方形，∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F.∵BD平分∠ABC，∴OM＝OE＝OF.∵OM⊥AB于点M，OF⊥AC于点F，∴点O在∠BAC的平分线上．证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M.(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．解：∵AC＝5，BC＝12，∴AB＝13.设OE＝x.易得AF＝AM＝5－x，BE＝BM＝12－x.∵BM＋AM＝AB＝13，∴12－x＋5－x＝13.解得x＝2.∴OE＝2.(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．解：∵AC＝5，B16．如图，E是BC的中点，点A在DE上，且

∠BAE＝∠CDE.求证：AB＝CD.证法一：如图①，延长DE至点F，使EF＝DE，连接BF.∵BE＝CE，∠BEF＝∠CED，EF＝DE，∴△BEF≌△CED(SAS)．∴BF＝CD，∠F＝∠CDE.又∵∠BAE＝∠CDE，∴∠F＝∠BAE.∴BF＝AB.∴AB＝CD.16．如图，E是BC的中点，点A在DE上，且证法一：如图①，证法二：如图②，分别过点B，C作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，CG⊥AE，交AE于点G.∵∠BEF＝∠CEG，∠BFE＝∠CGE＝90°，BE＝CE，∴△BEF≌△CEG(AAS)．∴BF＝CG.又∵∠AFB＝∠DGC＝90°，∠BAF＝∠CDG，∴△ABF≌△DCG(AAS)．∴AB＝CD.证法二：如图②，分别过点B，C作BF⊥AE，交AE的延长线于证法三：如图③，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，则∠BAE＝∠F.∵∠BEA＝∠CEF，BE＝CE，∴△BEA≌△CEF(AAS)．∴AB＝FC.又∵∠D＝∠BAE，∴∠F＝∠D.∴FC＝CD.∴AB＝CD.证法三：如图③，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，则17．如图，已知AD＝AE，BD＝CE，试探究AB和AC的数量关系，并说明理由．17．如图，已知AD＝AE，BD＝CE，试探究AB和AC的数解：AB＝AC.理由：因为AD＝AE，所以△ADE是等腰三角形．取线段DE的中点F，连接AF，则AF既是△ADE的中线，又是底边上的高，即AF⊥DE，DF＝EF.又因为BD＝CE，所以BD＋DF＝CE＋EF，即BF＝CF.所以AF是线段BC的垂直平分线．所以AB＝AC.解：AB＝AC.18．如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交AB于点Q，交BC于点P，PE⊥AC于点E，AD⊥