山东省曲阜师范大学附属中学2022年高三下学期第一次联考数学试卷含解析

2022年高考数学模拟试卷注意事项：2B2B一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。ABCD-ABC

1B

FEF=

2，则下列结论中错误的1 1 1 1 1 1 2是（ ）A．AC⊥BEC．三棱锥A-BEF的体积为定值

B．EF//ABCDD．异面直线AE,BF所成的角为定值f(x

2tanx cos2x，下列说法正确的是（ ）1tan2xf(xRf(x8 8函数f(x)的图像关于直线x 对称8将函数y 2sin2x图像向左平移8

yf(x的图像AB是全集U“AB”是“A

B的（ ）UC．充要条件

必要不充分条件D甲乙丙三人参加某公司的面试最终只有一人能够被该公司录用得到面试结果以后甲说丙被录用了乙说甲被录用了；丙说：我没被录若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）丙被录用了 B．乙被录用了 C．甲被录用了 D．无法确定谁被录用了在区间上随机取一个实数kykx3x2y2

1相交的概率为（ ）1 1A． B．2 4

2

4xN*A．4

12 x B．6 C．8 D．12某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）2 1A． B．3 3

4 5C． D．3 6已知向量AB，AC5,1，则向量AB与BC的夹角为（ ）A．45 B．C．90 D．1209fx2sinxcosx（02

）的图象过点，则（ ）yfx的值域是0,2

点 ,0是yfx的一个对称中心 4 4 yfx的最小正周期是

x4

yfx的一条对称轴f(xcosx|sinx，则下列结论中正确的是f(x的最小正周期为；②函数f(x)的图象是轴对称图形；f(x的极大值为2；f(x)的最小值为1．①③C．②③

②④阿基米德（公元前287年公元前212年，伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的

2 2，且球的表面积也是圆柱表面积的”3 3这一完美的结论已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积( )A．43

B．16 C．163

D．323若复数z(2i)(i)（i是虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。已知随机变量N

2，若P64，则P0 .6棱长为a的正四面体ABCD 与正三棱锥EBCD的底面重合若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球球面上，则正三棱锥EBCD的内切球半径.6ABC的对边分别为abca4b

，A

则cos2B ．3F为双曲线Cx2a2

y20,b0)的左焦点，直线lFA(a,0)B(0,b关于直线l对称，b2则双曲线C的离心率为 ．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过90km/h30人，不超过90km/h1020名女性驾驶员中，平均车速超过90km/h5人，不超过90km/h15人.22列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过90km/h与驾驶员的性别有关；平均车速超过平均车速超过90km/h平均车速不超过合计的人数90km/h的人数男性驾驶员女性驾驶员合计3390km/h的人数为，假定抽取的结果相互独立，求的分布列和数学期望.n(adbc)2K2临界值表：

nabcd(ad)(ad)P K2 k0

0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828018（12分）20080人会闯红灯，处罚时，得到如表数据：x（单位：元y

5 1050 40

15 2020 10若用表中数据所得频率代替概率.10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？200A10B.现对A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类市民的概率是多少？19（12分）已知抛物线＝2p（＞，焦点F到准线的距离为，抛物线E上的两个动点（x）和（x2，12，其中x1x2且xx＝1．线段AB的垂直平分线与x轴交于点．1E的方程；求△ABC面积的最大值．20（12分）如图，在三棱柱ABCAB

中，AB平面ABC，ABAC，且ABACAB2.1 1 1 1 1AA1B

与BC所成的角的大小；上确定一点P，使二面角PABA的平面角的余弦值为2 5.1 1 1 521（12分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1

的极坐标方程为：22cos4sin40，曲线C2

xta,的参数方程为 其中tR，t为参数，a为常数．yat,写出C与C1 2

的直角坐标方程；aC与C1 2

有交点．

x1cos 22（10分）在平面直角坐标系

中，曲线C的参数方程为

ysin （

为参数）.在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin3. 6 6求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；求曲线C上的点到直线l.参考答案125601．D【解析】A．通过线面的垂直关系可证真假；B.【详解】ACBDACDDDD

BDD，所以ACBDD1 1 1 1BEBDDBACBE，故正确；1 1D

//DB，所以EF//DB，且EF平面ABCD，DB平面ABCD，11所以EF//平面ABCD ，故正确；2S2

1EFBB

为定值，A到平面BDDB的距离为h1AC ，2BEF 2 1 42

1 1 2 2所以V

ABEF

13

BEF

h

1为定值，故正确；12AC

BDEACBDGF

，如下图所示：1 1 1 1 1因为BF//EG，所以异面直线AE,BF所成角为AEG，tanAEG

2AG 2 2，GE 1 2当AC BDF，ACBDG，取E为

，如下图所示：1 1 1 1 1DF//GBDFGBDGBFBF//DG，1 1

tanAEGAG

122 3AEBF所成角为，且

GE 22 3，1 AEBF故选：D.【点睛】

2本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.2．B【解析】化简到

f(x) 2sin2xACD，计算单调性知4 4

正确，得到答案.【详解】f(x) 2tan

cos2xsin2xcos2x 2sin2x，1tan2x

4 故函数的定义域为xx

kkZA错误； 2 4 当x4

882x

, ，函数单调递增，故正确； 2 2π当x ，关于x的对称的直线为xπ

不在定义域内，故C错误.4 8 2Ryf(xD错误B.【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.3．C【解析】作出韦恩图，数形结合，即可得出结论.【详解】ABA

B，UA故选:C.

BAB.U【点睛】本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题.4．C【解析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.【详解】若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.5．D【解析】ykx3x2y2概率.

1相交求出实数k的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的【详解】y

x

x2y2

3k1相交，则

1

2 2k .P

2 24 2.2 4

k21 4 4D.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，同时也考查了利用直线与圆相交求参数，考查计算能力，属于基础题.6．B【解析】xN*|12Z解：因为

集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选Bx 7．A【解析】利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积．【详解】几何体的三视图的直观图如图所示，则该几何体的体积为：11122．3 3故选：A．【点睛】ABABBC3【解析】BCACAB3，进而可求

2230,.ABABBC3BCACAB3.则ABBCABBC的夹角为90故选:C.

2230【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表求向量夹角时，通常代入公式cosa,b 9．A

aa

进行计算.【解析】fx的图像过点，求出fxcos2x1.【详解】fx2sinxcosx（02

）的图象过点0,2，2sin2，即sin1，22

，，4故fx2sinx2cosx2cos2xcos2x1，A1cos2x1，则0fx2A正确； 对于B，当x 时，f 1，故B错误；4 4 CTC错误；2 Dx

4f41D错误； 故选：A【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质，需熟记性质与公式，属于基础题.10．D【解析】f(xπcos(xπ|sin(xπcosx|sinxf(x)，所以①不正确；因为f(x)|cosx|sinx，所以f(

f( x)cos( x)|sin( x)sinx|cosx，x)|cos(x)|sin(x)|sinx|cosx，所以f(x)f(22222x)，所以函数f(x)的图象是轴对称图形，②正确；

易知函数f(x)的最小正周期为2

f(x)x

对称，所以只需研究函数f(x)在[2

, 上2 2的极大值与最小值即可．当

x3

时，f(x)cosxsinx 2sin(x )，且

5

，得2 2

4 4 4 4 4 22x ，可知函数f(x)在x 处取得极大值为224 42

，③正确；x 5 x 5因为 ，所以1 2sin(x )4 4 4 4故选D．11．D

，所以函数f(x)的最小值为1，④正确．【解析】设圆柱的底面半径为r则其母线长为l2r,由圆柱的表面积求出r.【详解】设圆柱的底面半径为r,则其母线长为l2r,因为圆柱的表面积公式为S圆柱表

=2r22rl，2,r2r2r2,因为圆柱的体积公式为V圆柱

r22r,所以V圆柱

223,2由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的3，所以所求圆柱内切球的体积为2V V =216=.23 圆柱3 3故选:D【点睛】属于中档题.12．A【解析】将z 整理成abi的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象.【详解】解：z(2i)(1i)2i23i13i，所以z所对应的点为1,3在第一象限.故选:A.【点睛】易错点是误把i2当成1进行计算.452013．0.4【解析】ζN2.【详解】ζN2x3所P0)P6)4.【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性在求概率中的应用，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.3 23 2 612【解析】由棱长为a的正四面体ABCD 求出外接球的半径，进而求出正三棱锥EBCD的高及侧棱长，可得正三棱锥EBCD的三条侧棱两两相互垂直，进而求出体积与表面积，设内切圆的半径，由等体积V13

R，求出内表面积切圆的半径．【详解】由题意可知：多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD 的外接作AE⊥面BCD交于F，连接CF，如图则CF2 3a 3a，且AE为外接球的直径，可得3 2 3AF AC2CF2 a2

3a)2 6a，3 3BC2r

a a设三角形BCD 的外接圆的半径为r，则

sin60 3，解得r ，3RR2

2r2AFR)2可得2AFRr2AF2，6a a2 6a2 6即2 R 3 3 9

，解得R a，4设正三棱锥EBCD的高为h，因为AE2R 6a，所以hEF2RAF( 6 6)a 6a，2 2 3 6所以BECEDE EF2CF2而BDBCCDa，

1a1a 2a，6 3 2所以正三棱锥EBCD的三条侧棱两两相互垂直，3 1 2 3 3所以(S

E

)

SBCD

BDE

3 ( )2]a2 a2，4 2 2 4R，VEBDC

13

BCD

EF1(S3

E

)

R，1334a2661334a266a13 334a2RR3 2 6123 2 63 2 612【点睛】本题考查多面体与球的内切和外接问题，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意借助几何体的直观图进行分析.715．16【解析】B.【详解】343由正弦定理得2

6sinB，6sinB

，cos2B12187．3 283 27故答案为： .16【点睛】

64 16本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.316． 13【解析】Aa,0B0,b关于直线l对称，得到直线l的斜率，再根据直线lF，可求出直线lAB中点在直线l上，代入直线l.【详解】x2 y2因为F为双曲线C：a2 b2

0,b0)FAa,0B0,b关于直线l对称，b0k

b，所以可得直线l的方程为y

axcAB中点在直线lb

aac，整理得AB 0a a b

2 b2 b2a22ac，又b2c2a2，所以c22ac2a20，3故e22e20，解得e13

，因为e1，所以e1 .33故答案为e133【点睛】.7017（）填表见解析；有99.9%的把握认为，平均车速超过9km/h与性别有关（）【解析】22K299.9%90km/h与性别有关..【详解】平均车速超过90km/平均车速超过90km/h平均车速不超过合计的人数90km/h的人数男性驾驶员301040女性驾驶员51520合计352560K

60(3015510)261613.71，40203525 713.7110.828，所以有99.9%的把握认为，平均车速超过90km/h与性别有关.（2）

B3,15B3,1， 460 46033127P(0)C0 344 64P 3P ( 1) 1

27344 64312 9P(2)C2 34

4 64P P ( 3) 3

1.344 64所以的分布列如下0123P27642764964164的期望E()0271272931 3【点睛】

64 64 64 64 4本小题主要考查22列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望，属于中档题.1 118（）【解析】

（2）5 610元时行人闯红灯的概率，和不进行处罚时行人闯红灯的概率，求解即可；80AB404人依次排序，计算所求的概率值.【详解】40 1解（）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率为 ；80 2不进行处罚，行人闯红灯的概率为 ；

200 5200 5所以当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低211；5 5 5（2）80AB40AB类市民各抽出两人，4人依次排序A类市民中抽取的两人对应的编号为1,2B类市民中抽取的两人编号为3,44人依次排序分别为(1,2,3,4),(1,2,4,3)(1,3,2,4),(1,3,4,2)(1,4,3,2),(1,4,2,3)(2,1,3,4),(2,1,4,3)，(2,3,1,4),(2,3,4,1)(2,4,1,3),(2,4,3,1)(3,1,2,4),(3,1,4,2)(3,2,1,4),(3,2,4,1)(3,4,1,2),(3,4,2,1)，(4,1,2,3),(4,1,3,2)(4,2,1,3),(4,2,3,1)(4,3,1,2),(4,3,2,1)，共有24种B类市民排序为(3,4,1,2),(3,4,2,1)(4,3,1,2),(4,3,2,1)，有4B类市民的概率是P41.24 6【点睛】本题主要考查了计算古典概型的概率，属于中档题.14 719（）＝6（） ．14 73【解析】根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；|AB|.【详解】抛物线＝2p（＞，焦点6x；

p，0）x2

p的距离为3，可得p＝3，即有抛物线方程为y2＝2AB

，y，则

xx 1 22，x0 0 0 2y y y y 6 3yy

2 1 2 1 y 1 2，k xx y2 y2 yy y ，0 2 AB 2 1

2 1

1 2 06 6ABy﹣y0

y0﹣，①3可得x＝5，y＝0是①的一个解，所以AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，3 y且点（，，由①可得直线AB的方程为﹣y （x﹣，即x 0﹣y）+2 ②0 y 3 000代入y2＝6x可得y2＝2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y2＝0 由题意y，2是方程③的两个实根，且1，030 0 0 所以△＝1y2﹣1（2y2﹣12）＝﹣1y2+18＞0，解得﹣2 y＜2 ，30 0 0 (xx(xx)2(yy)21 2 1 21 0 (yy)2y2912 y2

1y21y290 (yy)24yy121223y2y200 1

0 4y9

242y0

212 ，(52)2(0y)209y20又(52)2(0y)209y20S

1|AB|h1

2y2

9y2△ABC 2

3 0 0 01 1

1 1 9

2242

29y2

14 7 9y2

242y2

9y2 ( 0

0 0)3 ，3 2 0 0 0 3 2 3 3

2＝21﹣2y

2

＝± 5

6 35 6 35，5 7，（ ，5 7，0 0 0 3 3S

6 35 6 35， 5 7，（ ， 5 7）时等号成立，3 3的最大值为14 7．△ABC 3【点睛】求最值.20（）（）P,3,23【解析】（）因为A⊥A，A1⊥平面AB，所以以A为坐标原点，分别以A、AB所在直线分别为x轴和y轴，以过A，且平行于z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2AA1BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA1BC所成的角的大小；（2）设棱B1C1上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量，把二面角P-AB-A的平面角的余弦值为2 5，转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．1 5试题解析：解（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则CBA1

0,2,2,B1

0,4,2，AABCBC2,0.，1，cosAA,BC

1 1AABC1

4 11 AA1

BC

8 8 2AA1

与棱BC所成的角是.3（2）PBC中点，1 1BPBC22,0P2,2.1 1 1PAB的法向量为n1

x,y,z，AP2,42,2，nAP0 x3y2z0 zx1

，nAB0 1

2y0

y0n1ABA的法向量是

则cosn,n

nn 12 51 2 ，2 51 2 1

nn1

12 5解得

1PB

中点，