多目标决策课程

第六章多目标决策分析广西大学数学与信息科学学院运筹管理系第六章多目标决策分析在决策分析中，决策问题要达到的目的称为决策目标，用数值表示决策方案实现某个目标程度的标准和法则，称为决策准则。前面讨论的问题都只有一个决策目标和一个评价准则（如收益最大、效用最大），属单目标、单准则决策。

单目标决策的关键：合理选择决策准则。实际问题常常有多个决策目标，每个目标的评价准则往往也不是只有一个，而是多个—多目标、多准则决策问题。§6.1多目标决策的目标准则体系多目标决策问题的目标往往相互联系、相互制约，有的甚至相互矛盾。在多目标决策问题中，有的目标可以用一个或几个决策准则直接进行评价和比较，有的目标则难以进行直接评价和比较。

如何解决这一问题？通常将难以进行直接评价和比较的目标分解为若干子目标，直至这些子目标能用一个或几个决策准则进行评价和比较。例：某经济特区计划兴建一个大型海港 港址的选择需要综合考虑经济、技术、环境以及社会四个方面。决策目标有四个：经济、技术、环境、社会 这四个目标均不能直接用一个或几个准则进行评价，要根据决策主体和实际情况的要求，逐级分解为若干子目标。如：经济目标可以分解成直接经济效益和间接经济效益两个一级子目标。直接经济效益又可以继续分解为投资额、投资回收期和利税总额等三个二级子目标…海港港址经济技术环境社会直接效益间接效益投资额投资回收期利税总额海运收益国际贸易收益国内贸易收益航道海滩建筑运行城市关系交通关系资源环保政策军事……

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§6.1多目标决策的目标准则体系6.1.1目标准则体系的意义目标准则体系 指依据决策主体要求和实际情况需要，对目标经过逐层分解形成的多层次结构的子目标系统。目标准则体系的最低一层子目标可以用单一准则进行评价。多目标决策问题的关键就是合理地选择和构造目标准则体系。6.1.1目标准则体系的意义构造目标准则体系应注意的原则系统性原则 各子目标要反映所有因素的整体影响，具有层次性和相关性。可比性原则 不同系统的横向比较；同一系统的纵向动态比较。可操作性原则

各子目标含义明确，便于数据采集和计算。6.1.2目标准则体系的结构1、单层次目标准则体系 各个目标都属于同一层次，每个目标无须分解就可以用单准则给出定量评价。图6-2单层次目标准则体系总目标目标m目标m-1目标2目标1……6.1.2目标准则体系的结构2、序列型多层次目标准则体系目标准则体系的各个目标，均可以按序列分解为若干个低一层次的子目标；各子目标又可以继续分解；这样一层层按类别有序地进行分解，直到最低一层子目标可以按某个准则给出数量评价为止。特点：各子目标可按序列关系分属各类目标，不同类别的目标准则之间不发生直接联系；每个子目标均由相邻上一层的某个目标分解而成。6.1.2目标准则体系的结构3、非序列型多层次目标准则体系某一层次的各子目标，一般不单是由相邻上一层次某子目标分解而成，各子目标也不能按序列关系分属各类；相邻两层次子目标之间，仅按自身的属性建立联系，存在联系的子目标之间用实线连结，无实线连结的子目标之间，不存在直接联系。3、非序列列型多层次次目标准则则体系G............c1c2cn-1cn…g11g12g1n-1g1n…最高层中间层准则层…g21g22g1k-1g1k6.1.3评价准准则和效用用函数在多目标决决策中，制制定了目标标准则体系系后，不同同的目标通通常用不同同的评价准准则衡量。。问题：如何从总体体上给出方方案对于目目标准则体体系中的全全部目标的的满意度？？必须将不同同度量单位位的准则，，化为无量量纲统一的的数量标度度，并按特特定的法则则和逻辑过过程进行归归纳与综合合，才能建建立各可行行方案之间间具有可比比性的数量量关系。效用函数正正是一种统统一的数量量标度。6.1.3评价准准则和效用用函数多目标决策策中，任何何一个方案案的效果均均可以由目目标准则体体系的全部部结果值所所确定。可可行方案在在每一个目目标准则下下，确定——个结果值值，对目标标准则体系系，就得到到一组结果果值，并经经过各目标标准则的效效用函数，，得出一组组效用值。。这样，任何何一个可行行方案在总总体上对决决策主体的的满意度，，可以通过过这些效用用值按照某某种法则并并合而得，，满意度是是综合评价价可行方案案的依据。。6.1.4目标准准则体系风风险因素的的处理单目标风险险型决策中中，各备选选方案看成成是在整体体上处于同同一类状态态空间的。。多目标决策策中，风险险因素可能能只涉及某某些目标准准则，备选选方案不宜宜在整体上上视为处于于同一类状状态空间。。多目标决策策的风险因因素，应该在目标标准则体系系中对涉及及风险因素素的各子目目标分别加加以处理。。将风险型多多目标问题题转化为确确定型多目目标问题。。§6.2目标规划方方法6.2.1目标规规划模型多目标线性性规划问题题问题：能否化为单单目标线性性规划问题题求解？如何处理各各目标的主主次、轻重重？§6.2目标规划方方法例6.1某厂生产甲甲、乙两种种产品，每每件产品的的单位利润润、所消耗耗的原材料料及设备工工时、材料料和设备工工时的限额额如下表所所示。甲乙限额原材料（公斤）设备（工时）23322426利润（元/件）42产品消耗原料例6.1决策者根据据市场需求求等一系列列因素，提提出下列目目标（依重重要程度排排列）：首要目标是是保证乙产产品的产量量大于甲产产品产量；；尽可能充分分利用工时时，但又不不希望加班班；确保达到计计划利润30元。试对厂家生生产作出决决策分析。。设甲、乙产产品的产量量分别为x1、x2件。§6.2目标规划方方法目标规划是是求解多目目标线性规规划的方法法之一。目标规划的的基本方法法对每一个目目标函数引引进一个期期望值；引入正、负负偏差变量量，表示实实际值与期期望值的偏偏差，并将将目标函数数转化为约约束条件，，与原有约约束条件构构成新的约约束条件组组；引入目标的优优先等级和权权系数，构造造新的单一的的目标函数，，将多目标问问题转化为单单目标问题求求解。§6.2目标规划方法法1、目标函数数的期望值ek对于多目标线线性规划的每每一个目标函函数值Zk(k=1,2,…,K)，根据实际情情况和决策者者的希望，确确定一个期望望值ek。在例6.1中乙产品与甲产产品产量之差差的目标值可可定为0；生产工时的目目标值为26（工时）；；利润的目标值值为30（元元）。§6.2目标规划方法法2、正负偏差差变量对每一个目标标函数值，分分别引入正、、负偏差变量量正负偏差变量量分别表示实实际目标值超超过和低于期期望值的数值值。引入偏差变量量之后，目标标就变成了约约束条件，成成为约束条件件组的一部分分。§6.2目标规划方法法在例6.1中，令：d1+,d1-分别表示乙产产品与甲产品品产量之差超超过和达不到到目标值的偏偏差变量；d2+,d2-分别表示生产产工时超过和和达不到目标标值的偏差变变量；d3+,d3-分别利润超超过和达不不到目标值值的偏差变变量；则三个目标标可化为含有偏差差变量的约束条件件§6.2目标规划方方法3、优先因因子（优先先等级）和和权系数如何区别不不同目标的的主次轻重重？凡要求第一一位达到的的目标赋于于优先因子子P1，次位的目目标赋于优优先因子P2，…，并规规定Pk＞＞Pk+1（表示Pk比Pk+1有更大的优优先权，Pk+1级目标是在在保证Pk级目标实现现的基础上上才能考虑虑的）（k＝1,2，，…，K）为区别具有有相同优先先因子的两两个目标的的差别，可可分别赋于于它们不同同的权系数数ωj优先等级及及权数的赋赋值由决策策者确定。。§6.2目标规划方方法4、达成函函数(准则函数)—目标规划划模型的目目标函数准则函数由各目标约约束的正、、负偏差变变量及相应应的优先因因子和权系系数构造而而成。注：目标规划模模型的目标标函数是对对各目标的的偏差的综综合（将多多目标化为为单目标）），在目标标函数中不包含原决决策变量，且一定是是极小型的（偏差最最小）。4、达成函函数(准则函数)当每一目标标值确定后后，决策者者的要求是是偏差变量量尽可能小小，因此其其目标函数数只能是极极小形式，，具体有以以下三种基基本形式：：要求恰好达达到目标值值(正、负负偏差都要要尽可能小小)要求不超过过目标值(正偏差应尽尽可能小)要求不低于于目标值(负偏差应尽尽可能小)§6.2目标规划方方法在例6.1中，首要目标是是保证乙产产品的产量量大于甲产产品产量，，赋于优先先因子P1，目标为d1-尽可能小；；次级目标是是生产工时时恰好达到到目标值，，赋于优先先因子P2，目标为d2-和d2＋都要小；最后的目标标是利润不不低于30元，赋于于优先因子子P3，目标为d3-尽可能小；；因此，可构构造准则函函数如下：：§6.2目标规划方方法例6.1的目标规划划模型为：：§6.2目标规划方方法目标规划的的一般模型型§6.2目标规划方方法目标规划的建建模步骤（1）假设决决策变量；（2）建立约约束条件；（3）建立各各个目标函数数；（4）确定各各目标期望值值，引入偏差差变量，将目目标函数化为为约束方程；；（5）确定各各目标优先级级别和权系数数，构造准则则函数。§6.3化多为少方法法对单层次多目标标决策模型其中f1(x),f2(x),…,fm(x)表示m个目标函数，，X表示满足某些些约束条件的的n维点集。处理方法：（1）化为一一个单目标问问题（2）化为多多个单目标问问题。例6.5某厂在计划期期内生产甲、、乙两种产品品。产品资源甲乙资源限额原材料A（公斤）原材料B（公斤）设备C（工时）4594310200240300价格（元/件）400600利润（元/件）70120污染32例6.5设产品能全部部销售出去问：计划期应应如何安排生生产，才能使使利润和产值值都达到最大大，而造成的的污染最小？？解：设计划期分别别生产甲、乙乙产品x1、x2件，则问题的数学模型为：：§6.3化多为少少方法主主要目标标法主要目标标—所有有决策目目标中，，重要程程度最高高和最为为关键的的目标。。主要目目标要求求达到最最优。其余目标标作为非非主要目目标，满满足一定定条件即即可（满满意）。。设f1(x)为主要要目标，，则由：可以得到到（6.3）的的一个有有效解。。例6.5决策者确确定以利利润最大大为主要要目标并要求：：总产值值至少应应达到20000元，，污染量量则应控控制在90个单单位以下下。由主要目目标法可可得到单单目标规规划问题题：§6.3化多为少少方法线线性加权权和法给目标fi(x)赋以权权系数λi（i=1,2,……,m）然后作新新的目标标函数构成单目目标决策策问题：：难点：如何使多多个目标标用同一一尺度统统一起来来（多种种方法在在下一章章中介绍绍，可以以将各目目标统一一作效用用值度量量）；如如何选择择合理的的权系数数。线线性加权权和法1.α—法以两个目目标的多多目标决决策问题题为例记：（即x(1)、x(2)分别为以以f1(x)和f2(x)目标的的单目标标问题的的最优解解）线线性加权权和法1.α—法化作单目目标决策策问题要求：c1是任意的的非零常常数。即可确定定权系数数。若进一步步要求α1+α2=1，可可得：例6.7设有多目目标决策策问题其中：试用α—法化化为单单目标标决策策问题题。解：先分别别求解解得：x(1)=(0,0)T，x(2)=(1,2)T例6.7x(1)=(0,0)T，x(2)=(1,2)T则：对目标标进行行线性性加权权：化为单单目标标问题题：线线性加加权和和法2.λ—法对多目目标决决策问问题取：化为单单目标标决策策问题题：适用条条件：：fi*≠0§6.3化多为为少方方法平平方和和加权权法要求目目标fi(x)与规规定值值fi*相差尽尽量小小（i=1,2,……,m），可构造造目标标函数数：构成单单目标标决策策问题题：λi—权系数数，可可按要要求的的相差差程度度分别别给出出。§6.3化多为为少方方法理理想点点法记：称为理想想点。。若所有有x(i)都相同同，记记为x(0)，则x(0)就是所所求的的多目目标决决策问问题的的最优优解；；若不不然，，则考考虑求求解下下面的的单目目标决决策问问题：：例6.7x(1)=(0,0)T，x(2)=(1,2)T用理想想点法法化为为单目目标决决策问问题构造目目标函函数§6.3化多为为少方方法步步骤法法（STEM法）是逐步步迭代代的方方法，，也称称逐步步进行行法、、对话话式方方法。。在求解解过程程中，，每进进行一一步，，分析析者就就把计计算结结果告告诉决决策者者，决决策者者对计计算结结果作作出评评价。。若认认为已已满意意了，，则迭迭代停停止；；否则则分析析者再再根据据决策策者的的意见见进行行修改改和再再计算算，如如此直直到求求得决决策者者认为为满意意的解解为止止。步步骤法法（STEM法）设有多多目标标线性性规划划问题题：其中步步骤法法（STEM法）STEM法的求求解步步骤：：分别求求解k个单目目标线性性规划划问题题得到的的最优优解记记为x(i)，其相相应的的目标标函数数值记记为fi*（i=1,2,…,k），并x(i)代入其它目标标函数：结果可列表给给出（称为支支付表）。STEM法支付表x(i)f1f2…fj…fkx(1)z11z21…zj1…zk1…………………x(i)z1iz2i…zji…zki…………………x(k)z1kz2k…zjk…zkk步步骤法（STEM法）STEM法的求解步骤骤：求权系数：从从支付表中得到为找出目标值值的偏差以及及消除不同目目标值的量纲纲不同的问题题，进行如下下处理：归一化后得权权系数：步步骤法（STEM法）STEM法的求解步骤骤：求解（使目标与理理想值的最大大加权偏差λ最小）该线性规划问问题的最优解解记为x0。步步骤法（STEM法）STEM法的求解步骤骤：将x0和相应的目标标值交给决策者判判断。决策者把这些些目标值与理理想值进行比比较后，若认认为满意了，，则可停止计计算；若认为为相差太远，，则考虑适当当修正。如：考虑对第第r个目标让一点点步，降低一一点目标值△fr。步步骤法（STEM法）STEM法的求解步步骤：求解求得解解后，，再与与决策策者对对话，，如此此重复复，直直至决决策者者认为为满意意了为为止。。例6.9某公司司考虑虑生产产甲、、乙两两种太太阳能能电池池，生生产过过程会会在空空气中中引起起放射射性污污染，，因此此决策策者有有两个个目标标：极极大化化利润润与极极小化化总的的放射射性污污染。。已知知在一一个生生产周周期内内，每每单位位甲产产品的的收益益是1元，，每单单位乙乙产品品的收收益是是3元元；每每单位位甲产产品的的放射射性污污染是是1.5单单位，，每单单位乙乙产品品的放放射性性污染染是1单位位，由由于机机器能能力（（小时时）、、装配配能力力（人人时））和可可用的的原材材料（（单位位）的的限制制，约约束条条件是是（x1、x2分别为为甲、、乙产产品的的产量量）：：例6.9该问题题的目目标函函数为为：例6.9STEM法求解解先分别别求解解得：x(1)=(7.25,12.75)T，x(2)=(0,0)Tf1*=45.5，f2*=0例6.9STEM法支支付付表表f1f2x(1)=(7.25,12.75)T45.5－23.625x(2)=(0,0)T00例6.9STEM法求求解解求权权系系数数：：从从支付付表表中中得得到到归一一化化后后得得权权系系数数：：例6.9STEM法求求解解求解解最优优解解为为x0=(0,9.57)T,f1(x0)=28.71,f2(x0)=-9.57例6.9STEM法求求解解将x0=(0,9.57)T,f1(x0)=28.71,f2(x0)=-9.57交给给决决策策者者判判断断。。决策策者者将将其其与与理理想想值值（（45.5,0））进进行行比比较较后后，，认认为为f2是满意的的，但利润太太低。且认为为可以接受受污染值值为10个单位。。修改约束束集求解得x1=(0,10)T,f1(x1)=30,f2(x0)=-10决策者认认为满意意，停止止迭代。。§6.4多维效用用并合方方法多多维效用用并合模模型多目标决决策问题题其目标标属性的的特点：：目标间的的不可公公度性即：对各各目标的的评价没没有统一一的量纲纲，不能能用同一一标准评评价。目标间的的矛盾性性提高某一目标标值，可能会会损害另一目目标值。多维效用并合合方法是解决决目标间的不不可公度性和和矛盾性的一一种有效途径径。多多维效用并并合模型设多目标决策策方案有m个可行方案：：a1，a2，...，am有s个评价准则，，测定和计算算s个评价准则的的效用函数为为：u1，u2，...，us得到这m个可行方案在在s个评价准则下下的效用值分分别是：u1(ai)，u2(ai)，...，us(ai)(i=1，2，...，m)多多维效用并并合模型多维效用并合合方法为了从总体上上表示可行方方案ai的总效用，需需要通过某种特定定的方法和逻逻辑程序，将s个分效用合并并为总效用，，并依据各可可行方案的总总效用对其进进行排序。这这一多目标决决策方法称为为多维效用并并合方法。主要用于序列型多层次目标准准则体系Hv1w2w1v2w4w3vlwkwk-1u2u1ulul-1..............................usus-1...图6.6序列型多层次次目标准则体体系多多维效用并并合模型图6.6中：：H表示可行方案案的总效用值值，即满意度度；v1，v2，...，vl表示第二层子子目标的效用用值；如此类推，w1，w2，...，wk表示倒数第二二层各子目标标的效用值；；u1，u2，...，us表示最低一层层各准则的效效用值。多多维效用并并合模型效用并合过程程从下到上，逐逐层进行。最低一层各准准则的效用，，经过并合得得到：符号“●”表示按某种种规则和逻辑辑程序进行的的效用并合运运算。多多维效用并并合模型多维效用并合合的最满意方方案为a*，其满意度满满足：第三层子目标标的效用并合合得到第二层层各目标的并并合效用值：：最后，可得可可行方案ai的满意度为：：多多维效用并并合规则在多目标决策策中，根据决决策目标的不不同属性，效效用并合采取取不同方式进进行。多维效用合并并规则可由二二维效用合并并规则导出，，故先讨论二二维效用合并并规则。二维效用函数数与二维效用用曲面设效用u1，u2分别在区间［0，1］上取值，二元元连续函数W=W(u1，u2)称为二维效用函数数，其定义域是是坐标平面u1，u2上的一个正方方形，称为二二维效用平面面，其值域是是W轴上的区间［0，1］，，曲面W=W(u1，u2)称为二维效用曲面面。多多维效用并并合规则多维效用函数数与多维效用用曲面设效用u1，u2，...，un分别在区间［0，1］上取值，n元连续函数W=W(u1，u2，...，un)称为n维效用函数。其定义域是n维效用空间u1，u2，...，un上有2n个顶点的凸多多面体。其值域是［0，1］。。曲面W=W(u1，u2，...，un)称为n维效用曲面。多多维效效用并并合规规则1.距距离离规则则称满足足以下下条件件的并并合规规则为为距离离规则则：当二效效用同同时达达到最最大值值时，，并合合效用用达到到最大大值1，即即：W(1，1)=1；当二效效用同同时取取最小小值时时，并并合效效用取取零效效用值值(最最小值值)，，即：：W(0，0)=0；二效用之一达达到最大值，，均不能使并并合效用达到到最大值，即即：0<W(u1，1)<1，，0≤u1<10<W(1，，u2)<1，，0≤u2<11.距距离离规规则则二维维效效用用平平面面上上其其余余各各点点效效用用值值，，与与该点点与与并并合合效效用用最最大大值值点点的的距距离离d成正正比比例例。。即：：W=W(u1，u2)的取取值值与与d成正正比比。。有有：：1.距距离离规规则则距离离规规则则下下的的二二维维效效用用函函数数为为：：公式式(6.9)可以以推推广广到到多多维维情情形形：：如：：成成本本和和效效益益的的效效用用并并合合可可以以按按距距离离规规则则进进行行，，并并合合效效用用函函数数2.代代换换规规则则二维维效效用用并并合合的的代换换规规则则适合合如如下下情情况况：：二效效用用对对决决策策主主体体具具有有同同等等重重要要性性，，只只要要其其中中一一个个目目标标的的效效用用取取得得最最大大值值，，无无论论其其它它效效用用取取何何值值，，即即使使取取得得最最低低水水平平，，并并合合效效用用也也达达到到最最高高水水平平，，与与二二效效用用均均达达到到最最高高水水平平一一样样。。即即：：W(1，1)=1，W(0，0)=0W(u1，1)=1，0≤u1≤1W(1，u2)=1，0≤u2≤12.代代换规则则代换规则则下的二二维效用用函数为为：推广到多多维情形形，n维效用并并合的代代换规则则公式为：：3.加加法规则则二维效用用并合的的加法规则则适用于如如下情况况：二效用的的变化具具有相关关性，对对并合效效用的贡贡献没有有本质差差异，并并且可以以互相线线性地补补偿，即即一目标标效用的的减少可可以由另另一目标标效用值值的增加加得到补补偿。即即：W(1，1)=1，W(0，0)=0若：W(1，0)=ρ1，W(0，1)=ρ2则有：ρ1+ρ2=13.加法法规则推广到多维维情形，n维效用并合合的加法规规则公式为为：加法规则下下的二维效效用函数为为：4.乘法法规则乘法规则适适用于如下下情况：二目标效用用对于并合合效用具有有同等重要要性，相互互之间完全全不能替代代，只要其其中任意一一个目标效效用值为0，无论另另一个目标标效用取值值多大，并并合效用值值均为0。。即：W(1，1)=1，W(0，0)=0W(1，0)=W(0，1)=04.乘乘法规则则推广到多多维情形形，n维效用并并合的乘乘法规则则公式为为：乘法规则则下的二二维效用用函数为为：更一般地地：4.乘乘法规则则更一般地地，乘法规则则下的n维效用函函数为：：或表示成成对数形形式：5.混混合规则则混合规则则适用于于各目标标效用之之间较为为复杂的的关系，，是比代代换、加加法和乘乘法三规规则更为为一般的的情况。。混合规则则的二维维效用并并合公式式：其中，γ≥－1称称为形式式因子。。γ的不同取取值分别别表示代代换、加加法和乘乘法三规规则之一一。推广到多多维情形形，n维效用并并合的混混合规则则公式为为：5.混混合规则则当γ≠0时，，(6.20)可以化为为较为规规范的形形式：当γ=-1时，化为为代换规规则形式式；当γ=0，且且c1+c2=1时，化为为加法规规则形式式；当γ>>0时，近近似于乘乘法规则则形式：：多多维效用用并合方方法应用用实例多维效用用并合方方法是多多目标决决策的一一种实用用方法，，在经济济管理、、项目评评价、能能源规划划、人口口控制等等方面有有着广泛泛的应用用。例：“我我国总人人口目标标”实例例经过统计计分析测测算，我我国人口口发展周周期应是是人均寿寿命70年，制制定控制制人口目目标，宜宜以100年为为时间范范围。需需要确定定100年内，，我国人人口控制制最合理理的总目目标是多多少。例：“我我国总人人口目标标”方案：对我国总总人口目目标的14个方方案进行行决策分分析，即即我国总总人口分分别控制制为2亿亿、3亿亿、4亿亿、5亿亿、6亿亿、7亿亿、8亿亿、9亿亿、10亿、11亿、、12亿亿、13亿、14亿、、15亿亿14个个人口方方案，分分别记为为ai(i=1,2,……,14),其满意意度分分别为为Hi(i=1,2,……,14)。例：““我国国总人人口目目标””各国对比u9我国人口总目标HV1V2吃用v1实力v2用w2吃w1粮食u1鱼肉u2空气u4水u5能源u6土地u3最低总和生育率u8GNPu7目标准准则体体系例：““我国国总人人口目目标””效用并并合1、u1（粮食）、u2（鱼肉）并合为为w1宜用乘乘法规规则：：w1＝u1·u22、u3（土地地）、、u4（空气气）、、u5（水））并合为为w2宜用乘法法规则则w2＝u3·u4·u53、u6（能源源）、、u7（GNP）并合为为v2宜用乘乘法规规则v2＝u7·u84、u8（βmin）、u9（各国国对比比）并合为为V2宜用乘乘法规规则V2＝u8·u9例：““我国国总人人口目目标””效用并并合5、w1（吃）、w2（用）并合为为v1宜用加加法规规则：：v1＝ρ·w1+(1-ρ)·w26、v1（吃用用）、、v2（实力力）并合为为V1宜用加法法规则则：V1＝α·v1+(1-α)·v27、V1、V2并合为H宜用乘法法规则：：H＝V1·V2得：§6.5层次分析析方法AHP方法是美国运运筹学家家于20世世纪70年代提提出的，，AHP决策分析析法是AnalyticHierarchyProcess的简称。。是一种定定性与定定量相结结合的多多目标决决策分析析方法。。AHP决策分析析法，能能有效地地分析非序列型型多层次目目标准则则体系，，是解决决复杂的的非结构构化的经经济决策策问题的的重要方方法，是是计量经经济学的的主要方方法之一一。例6.10科科研课题的的综合评价综合评价科研研课题成果贡献人才培养可行性发展前景实用价值科技水平优势发挥难易程度研究周期财政支持经济效益社会效益AHP方法的的基本本原理理首先要将将问题条条理化、、层次化化，构造造出能够够反映系系统本质质属性和和内在联联系的递递阶层次次模型。。1.递递阶层次次模型根据系统统分析的的结果，，弄清系系统与环环境的关关系，系系统所包包含的因因素，因因素之间间的相互互联系和和隶属关关系等。。将具有共共同属性性的元素素归并为为一组，，作为结结构模型型的一个个层次，，同一层层次的元元素既对对下一层层次元素素起着制制约作用用，同时时又受到到上一层层次元素素的制约约。1.递递阶层次次模型AHP的层次结结构既可可以是序序列型的的，也可可以是非序列列型的。一般般将层次次分为三三种类型型：最高层：：只包含一一个元素素，表示示决策分分析的总总目标，，也称为为总目标标层。中间层：：包含若干干层元素素，表示示实现总总目标所所涉及到到的各子子目标，，也称为为目标层层。最低层：：表示实现现各决策策目标的的可行方方案、措措施等，，也称为为方案层层。1.递递阶层次次模型H............A1A2An-1An…G11G12G1n-1G1n…最高层中间层最低层…G21G22G1k-1G1k层次结构构图1.递递阶层次次模型相邻两层层元素之之间的关关系用直直线标明明，称之之为作用用线，元元素之间间不存在在关系就就没有作作用线。。若某元素素与相邻邻下一层层次的所所有元素素均有关关系，则则称此元元素与下下一层次次存在完全层次次关系；如果某某元素仅仅与相邻邻下一层层次的部部分元素素有关系系，则称称为不完全层层次关系系。实际中，，模型的的层次不不宜过多多，每层层元素一一般不宜宜超过9个。目目的：避避免模型型中存在在过多元元素而使使主观判判断比较较有困难难。2.层层次元素素排序的的特征向向量法构建了层层次结构构模型，，决策就就转化为为待评方方案（最最低层））关于具具有层次次结构的的目标准准则体系系的排序序问题。AHP方法采用用优先权权重作为为区分方方案的优优劣程度度的指标标，优先先权重是是一种相相对度量量数，表表示方案案相对优优劣程度度，数值值介于0－1之之间，数数值越大大，方案案越优，，反之越越劣。方案层各各方案关关于目标标准则体体系整体体的优先先权重，，是通过过递阶层层次从下下到上逐逐层计算算的。这这一过程程称为递阶层次权权重解析过过程。递阶层次权权重解析过过程(1)测算每一层层次关于上上一层次某某元素的优优先权重（（相邻两层层次间的权权重解析））方法：构造判断矩矩阵；计算判断矩矩阵的最大大特征值和和特征向量量；以特征向量各各分量表示示该层次元元素的优先先权重（？？），得到层次次单排序。。(2)进行组合加加权，得到到该层次元素对对于相邻上上一层次整整体的组合合优先权重重—层次总总排序(3)最后计算得得到方案层各方案案关于目标标准则体系系整体的优优先权重。。物体测重问题题设有m个物体，其重重量分别为W1,W2,…,Wm（未知），为为测出各物体体的重量，现现将每一物体体的重量与其其它物体的重重量作两两比比较，其重量量比值构成了了一个m阶方阵A物体测重问题题记各物体重量量组成的向量量（未知）为为W＝(W1,W2,…,Wm)T有：由线性代数知知：m是A的最大特征值值，W是矩阵A属于特征值m的特征向量。。物体测重问题题的启示若一组物体无无法直接测出出其重量，但但可以通过两两两比较判断断，得到每对对物体相对重量的判断值值，则可构造造判断矩阵(A),求解判断矩矩阵的最大特特征值和向量量对应的特征征向量，就可可以得到这组组物体的相对对重量。类似地，对于于社会、经济济和管理领域域的决策问题题，可以通过过建立层次结结构模型，在在相邻两层次次之间构造两两两元素比较较的判断矩阵阵，用特征向向量法求出层层次单排序，，最终完成递递阶层次解析析过程。物体测重问题题的启示从对物体测重重问题的分析析中可以看出出，判断矩阵阵A的元素aij＞0(i,j=1,2,…,m)，且满足以下下条件：aii=1,i=1,2,…,maij=1/aji,i,j=1,2,…,maij=aik/ajk,i,j,k=1,2,…,m满足条件①~③的矩阵A称为互反的的一致性正正矩阵。3.互反反正矩阵与与一致性矩矩阵定义1：设有矩阵A＝(aij)m×m（1））若aij≥0(i,j=1,2,……,m)，则称称A为非负负矩阵阵，记记作A≥0；；（2））若aij＞0(i,j=1,2,……,m)，则称称A为正矩矩阵，，记作作A＞0。。定义2：设有m维列向向量X＝(x1,x2,……,xm)T（1））若xj≥0(j=1,2,……,m)，则称称X为非负负向量量，记记作X≥0；；（2））若xj＞0(j=1,2,……,m)，则称称X为正向向量，，记作作X＞0。。3.互互反反正矩矩阵与与一致致性矩矩阵定理1：设有矩矩阵A＝(aij)m×m＞0，，则：：（1））A有最大大特征征值λmax，且λmax是单根根，其其余特特征值值的模模均小小于λmax；（2））A的属于于λmax的特征征向量量X＞0；；（3））λmax由下面面的等等式给给出：：其中：：3.互互反反正矩矩阵与与一致致性矩矩阵定义3：：设有矩阵阵A＝(aij)m×m＞0，，若若A满足足：：（1）aii=1,i=1,2,…,m（2）aij=1/aji,i,j=1,2,…,m则称A为互反正矩矩阵。定义4：设有矩阵A＝(aij)m×m＞0，若A满足：aij=aik/ajk,i,j,k=1,2,…,m则称A为一致性矩矩阵。一致性矩阵阵的性质一致性正矩矩阵是互反反正矩阵；；若A是一致性矩矩阵，则A的转置矩阵阵AT也是一致性性矩阵；A的每一行均均为任意指指定一行的的正整数倍倍；A的最最大大特特征征值值λmax＝m，其其余余特特征征值值为为0；；若A的属属于于特特征征值值λmax的特特征征向向量量为为：：X＝(x1,x2,……,xm)T则：：aij=xi/xj,i,j=1,2,……,m互反反正正矩矩阵阵的的性性质质一致致性性正正矩矩阵阵是是互互反反正正矩矩阵阵，，反反之之，，互互反反正正正正矩矩阵阵不不一一定定是是一一致致性性矩矩阵阵。。定理理2：：设A＝(aij)m×m是互互反反正正矩矩阵阵，，λmax是A的最最大大特特征征值值，，则则λmax≥m。定理理3：：设A＝(aij)m×m是互互反反正正矩矩阵阵，，λ1，λ2，……，，λm是A的特特征征值值，，则则：：定理理4：：互反正矩阵A是一致性矩阵阵的充要条件件是：λmax＝m判判断矩阵阵1.判断矩矩阵的构造设m个元素(方案案或目标)对对某一准则存存在相对重要要性，根据特特定的标度法法则，第i个元素(i＝1，2，……，n)与其它元素两两两比较判断断，其相对重重要程度为aij(i,j＝1,2,……,n),这样构造的的m阶矩阵用以求求解各元素关关于某准则的的优先权重，，称为权重解解析判断矩阵阵，简称判断断矩阵，记作作A=(aij)m×m构造判断矩阵阵的关键，在在于设计一种种特定的比较较判断两元素素相对重要程程度的标度法则，使得任意两两元素相对重重要程度有一一定的数量标标准。1—9标度方方法标度定义含义1同样重要两元素对某属性，一元素比另一元素同样重要3稍微重要两元素对某属性，一元素比另一元素稍微重要5明显重要两元素对某属性，一元素比另一元素明显重要7强烈重要两元素对某属性，一元素比另一元素强烈重要9极端重要两元素对某属性，一元素比另一元素极端重要2、4、6、8相邻标度中值表示相邻两标度之间折中时的标度上列标度倒数反比较元素i对元素j的标度为aij，元素j对元素i的标度为1/aij2.判断矩矩阵的一致性性检验1—9标度方方法构造的判判断矩阵A一定是互反正正矩阵；但A不一定是一致致性矩阵，实实际中，很难难构造出具有有完全一致性性的矩阵；只有判断矩阵阵A具有完全的一一致性时，才才有唯一非零零的最大特征征值，其余特特征值为0，，层次单排序序才能归结为为判断矩阵A的最大特征值值及其特征向向量，才能用用特征向量的的各分量表示示优先权重。。实际中，我们们希望判断矩矩阵具有满意意的一致性，，这样计算出出的层次单排排序结果才合合理。2.判断矩矩阵的一致性性检验判断矩阵A是互反正矩阵阵，故λmax≥m；当A是一致性矩阵阵时：λmax＝m，且其余的特特征值为0；；A具有满意的一一致性：λmax略大于m，其余的特征征值接近于0；设λ1，λ2，…，λm是A的全部特征值值，则：λ1＋λ2＋…＋λm＝tr(A)=m设λ1=λmax，则：2.判断矩矩阵的一致性性检验一般来来说，，C.I越大，，偏离离一致致性越越大，，反之之，偏偏离一一致性性越小小。此外，，判断断矩阵阵的阶阶数m越大，，判断断的主主观因因素造造成的的偏差差越大大，偏偏离一一致性性也就就越大大。反反之，，偏离离一致致性越越小。。当阶数m≤2时，C.I=0，判断断矩阵具有完完全的一致性性。（1）判断矩阵的的一致性指标标2.判断矩矩阵的一致性性检验（2）平均随随机一致性指指标R.I：是足够多个根根据随机发生生的判断矩阵阵计算的一致致性指标的平平均值（表6.15）。。（3）一致性性比率C.R=C.I/R.I用一致性比率率C.R检验判断矩阵阵的一致性，，当C.R越小时时，判判断矩矩阵的的一致致性越越好。。一般认认为，，当C.R≤0.1时时，判判断矩矩阵符符合满满意的的一致致性标标准，，层次次单排排序的的结果果是可可以接接受的的，否否则，，需要要修正正判断断矩阵阵，直直到检检验通通过。。判断矩矩阵一一致性性检验验的步步骤（2））查表表6.15得到到平均均随机机一致致性指指标R.I（3））计算算一致致性比比率C.R=C.I/R.I若C.R≤0.1，，接受受判断断矩阵阵；否则，，修改改判断断矩阵阵。（1）求出出判断断矩阵阵的一一致性性指标标C.I3.判判断断矩阵阵的求求解构造了了判断断矩阵阵，就就要求求解出出判断断矩阵阵的最最大特特征值值及其其对应应的特特征向向量，，才能能进行行一致致性检检验。。由于判判断矩矩阵是是决策策者主主观判判断的的定量量描述述（不不精确确），，因此此在求求解时时可采采用简简化计计算的的方法法，求求出近近似解解即可可。简化计计算的的思路路——一一致阵阵的任任一列列向量量都是是特征征向量量，一一致性性尚好好的正正互反反阵的的列向向量都都应近近似特特征向向量，，可取取其某某种意意义下下的平平均。。3.判判断断矩阵阵的求求解1、和法———取取列向向量的的算术平平均将判断断矩阵阵A的元素素按列作归一一化处处理，，得矩矩阵Q=(qij)m×m将Q的元素素按行相加，，得到到向量量α＝(α1,α2,…,αm)T（三））判断断矩阵阵的求求解1、和法———取取列向向量的的算术平平均对向量量α作归一化化处理理得特特征向向量W＝(w1,w2,…,wm)T求最大大特征征值②③即即对矩矩阵Q各行求求算术术平均均得特特征向向量W。列向量归一化行算术平均精确结结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010一致性性检验验：C.I＝0.005，R.I＝0.52，，C.R＝0.01＜＜0.13.判断矩矩阵的求解2、根法——取列列向量的几何平均计算判断矩阵阵A的每一行元素素之积计算Mi的m次方根得到向向量α＝(α1,α2,…,αm)T（三）判断矩矩阵的求解2、根法——取列列向量的几何平均对向量α作归一化处理得得特征向量W＝(w1,w2,…,wm)T求最大特征值值每行元素之积归一化一致性检验：：C.I＝0.0055，R.I＝0.52，，C.R＝0.011＜0.1三次方根3.判断矩矩阵的求解3、幂法———逐步迭代的的方法经过若干次迭迭代计算，按按照规定的精精度，求出判判断矩阵A的的最大特征值值及其对应的的特征向量。。幂法是依据据下面的定理理提出的。定理：设矩阵A＝(aij)m×m>0，则：其中：W是A的最大特征值值对应的特征征向量，C为常数，向量量e＝(1,1,…,1)T3、幂法———步骤1）任取初始正向向量W(0),k=0，设置精度2）计算3）归一化5）计算4）若3.判断矩矩阵的求解停止；否则，，k=k+1,转2）3.判断矩矩阵的求解为了克服随着着判断矩阵阶阶数的增加而而产生精确求求解最大特征征值的困难，，还可其他近近似方法确定定方案的权重重。问题：对一致阵A＝(aij)m×m>0,其其权向量为为W=(w1,…,wm)T，则应有：aij=wi/wj实际中A不一定是一一致阵,对于正正互反矩阵阵，在求解解权向量时时，应选权权向量W使wi/wj与aij相差差尽尽量量小小（（对对所所有有i，j）。。3.判判断断矩矩阵阵的的求求解解最小小二二乘乘法法（（LSM）：对对正互互反矩矩阵，，通过过下列列最优优化问问题导导出排排序向向量的的方法法称为为最小小二乘乘法。。这是一一个非非线性性规划划问题题。3.判判断断矩阵阵的求求解对数最最小二二乘法法（LLSM）：对对正互互反矩矩阵，，通过过下列列最优优化问问题导导出的的排序序向量量的方方法称称为对对数最最小二二乘法法。目标函函数关关于lnwi是线性性的，，该方方法结结果与与根法法相同同。3.判判断断矩阵阵的求求解梯度特特征向向量法法（GEM）：设设正互互反判判断矩矩阵为为A，其伪伪（拟拟）互互反矩矩阵为为由下面面的递递推公公式导导出排排序向向量的的方法法称为为梯度度特征征向量量法。。其中：：3.判判断断矩阵阵的求求解最小偏偏差法法（LDM）：对对正互互反矩矩阵，，由由下列列最优优化问问题导导出的的排序序向量量的方方法称称为最最小偏偏差法法。F(w)有唯一一的极极小点点w*，且w*是下列列方程程组的的唯一一解：：3.判判断断矩阵阵的求求解目标规规划法法(LGP)：目目标规规划法法是由由Brynon提出的的，Brynon考虑了了人们们认识识的差差异性性，通通过引引进正正、负负偏差差变量量，，建立判判断矩矩阵的的元素素与权权重的的关系系：3.判判断断矩阵阵的求求解目标规规划法法(LGP)通过求求解下下面优优化模模型，，确定定方案案的权权重。。递递阶层层次结结构权权重解解析过过程讨论用用AHP方法对对一般般非序序列型型目标标准则则体系系问题题进行行决策策。G总目标标n层子目目标准则层层方案层6.5.3递阶层层次结构权权重解析过过程递阶权重解解析：AHP方法的目的的，在于求求出各方案案对总目标标G的优先权重重，求解过过程从上到到下，在相相邻层次之之间逐层进进行，故称称为递阶权权重解析。。注意：不完全层次次关系如：方案ai与准则cj不存在关系系，构造方方案层对准准则cj的判断矩阵阵时，应将将方案ai除外，得到到m－1阶矩阵阵，解得m－1维特征征向量，再再将方案ai关于准则cj的权重0补补进去，得得到m维特征向量量。完全层次结结构：上层层每一元素素与下层所所有元素相相关联不完全层次次结构第3层对第2层权向量：：w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T贡献O教学C1科研C2P2

P1P3P4例:评价价教师贡献献的层次结结构P1,P2只作教学,P4只作科研,P3兼作教学、、科研。C1,C2支配元素的的数目不等等6.5.3递阶层层次结构权权重解析过过程1.递阶阶权重解析析公式首先，讨论论相邻两层层次间的权权重解析。。设已计算第第k-1层子目目标关于总总目标G的组合优先先权重向量量为：W(k-1)=(w1(k-1),w2(k-1),…,wnk-1(k-1))T第k层子目标标的个元元素对以以第k-1层的的第j个元素为为准则的的优先权权重向量量为：Pj(k)=(p1j(k),p2j(k),…,pnkj(k))T令：P(k)=(p1(k),p2(k),…,pnk-1(k))TP(k)是第k层子目标nk个元素关于第第k-1层nk-1个元素的优先先权重向量构构成的nk×nk-1矩阵。递递阶层次结结构权重解析析过程1.递阶权权重解析公式式首先，讨论相相邻两层次间间的权重解析析。则第k层子目标关于于总目标G的组合优先权权重向量为：：W(k)=(w1(k),w2(k),…,wnk(k))T其中：递递阶层次结结构权重解析析过程1.递阶权权重解析公式式其次，用公式式将递阶权重重解析过程表表示出来，给给出方案层关关于总目标G的优先权重向向量。W(1)：表示第一层层子目标关于于总目标G的优先权重向向量；P(k)=(p1(k),p2(k),…,pnk-1(k))T：表示第k层子目标关于第k-1层各元素素的优先权重重向量，k=2,…,n；递递阶层次结结构权重解析析过程P(c)=(p1(c),p2(c),…,ps(c))T：表示准则层层s个准则关于第n层nn个子目标的优优先权重向量量；P(a)=(p1(a),p2(a),…,ps(a))T：表示方案层层m个方案关于准则层层s个准则的的优先权重向向量；最后，计算方方案层各方案案关于总目标标G的优先权重

。这这个优先权重重记为：W(a)=(w1(a),w2(a),…,wm(a))T计算公式为：：递递阶阶层层次次结结构构权权重重解解析析过过程程2.AHP方法的的基本本步骤骤（总结结）建立层层次结结构模模型将目标标准则则体系系所包包含的的因素素划分分为不不同层层次，，如目目标层层、准准则层层、方方案层层等，，构建建递阶阶层次次结构构模型型。构造判判断矩矩阵按照层层次结结构模模型，，从上上到下下逐层层构造造判断断矩阵阵。层次单单排序序及其其一致致性检检验根据实实际情情况，，用不不同方方法求求解判判断矩矩阵最最大特特征值值相对对应的的特征征向量量，经经过归归一化化处理理，即即得层层次单单排序序权重重向量量。2.AHP方法的的基本本步骤骤（总结结）层次总总排序序及其其一致致性检检验层次总总排序序是从从上到到下逐逐层进进行的的。在在实际际计算算中，，一般般按表表格形形式计计算较较为简简便。。

层次A层次BA1

A2…Am层次B总排序权值w1

w2…wmB1b11

b12…b1mB2b21

b22…b2m┇┇┇┇┇┇Bnbn1

bn2…bnm权重2.AHP方法的的基本本步骤骤（总结结）4.层层次总总排序序及其其一致致性检检验层次总总排序序检验验的一一致性性指标标，平平均随随机一一致性性指标标和一一致性性比率率指标标分别别是：：3.AH