高中数学必修四北师大版-角的概念的推广课件

§2角的概念的推广

§2问题引航

1.角的定义是什么？它有几种分类方式？2.什么是象限角？终边相同的角如何表示？问题1.角的定义是什么？它有几种分类方式？1.角(1)定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.(2)图示：终边始边顶点1.角终边始边顶点2.角的分类(1)按旋转方向分:逆时针顺时针不作任何2.角的分类逆时针顺时针不作任何(2)按终边的位置分:①前提条件：(ⅰ)角的顶点与_____重合.(ⅱ)角的始边与____的非负半轴重合.②分类：(ⅰ)象限角：角的终边(除端点外)在第几象限，就是____________.(ⅱ)终边落在坐标轴上的角.原点x轴第几象限角(2)按终边的位置分:原点x轴第几象限角3.终边相同的角的表示一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=_________________}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的_______的和.α+k×360°,k∈Z整数倍3.终边相同的角的表示α+k×360°,k∈Z整数倍1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点.()(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角.()(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的.()1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)【解析】(1)错误.研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点,且角的始边与x轴的非负半轴重合.(2)正确.如390°的角是第一象限的角，但不是锐角.(3)错误.不唯一，如终边落在y轴的非正半轴上的角的集合可以表示为{α|α=k×360°+270°,k∈Z}，也可以表示为{α|α=k×360°-90°,k∈Z}.答案：(1)×(2)√

(3)×【解析】(1)错误.研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知α=30°，将其终边按顺时针方向旋转三周后的角度数是________.(2)把-1485°转化为α+k×360°(0°≤α＜360°,k∈Z)的形式是________.(3)若角α=45°+k×180°,k∈Z，则角α的终边落在________象限.2.做一做(请把正确的答案写在横线上)【解析】(1)3×(-360°)+30°=-1050°.答案：-1050°(2)因为0°≤α＜360°，所以-1485°=315°-5×360°.答案：315°-5×360°(3)当k=0时，α=45°，此时α为第一象限角；当k=1时，α=225°，此时α为第三象限角.答案：第一或第三

【解析】(1)3×(-360°)+30°=-1050°.【要点探究】知识点1角的概念对角的概念的四点说明(1)认识角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边.(2)这里定义的角是从运动的观点下定义的，应抓住“旋转”两个字，它有正负之分，与初中学习的静止观点下的角是有区别的.【要点探究】(3)角的大小不仅与旋转的大小有关，还与旋转的方向有关，正角大于负角.(4)角的范围推广到任意角后，角的加减法运算类似于实数的加减法运算.(3)角的大小不仅与旋转的大小有关，还与旋转的方向有关，正角【微思考】(1)角的概念推广后，角的范围是什么？提示：根据角的定义可知，角的范围推广到了任意角，即(-∞,+∞).(2)角的概念推广后，锐角、直角、钝角的概念发生变化了吗？提示：钝角、直角、锐角是三角形中的特定角，它们不随角的概念的推广发生变化.【微思考】【即时练】下列说法正确的是()A.一条射线绕顶点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大B.在坐标系中，将y轴的非负方向绕坐标原点顺时针旋转到x轴的非负方向形成的角为90°C.将钟表调快一个小时，则分针转了360°D.顺时针方向旋转形成的角一定小于逆时针方向旋转形成的角【即时练】【解析】选D.如果一条射线绕顶点顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小，故A不正确.在坐标系中，将y轴的非负方向绕坐标原点旋转到x轴的非负方向时，是按顺时针方向旋转，故它形成的角为-90°，故B不正确.将钟表调快一个小时，也是按顺时针转动，故分针转了-360°，C不正确.顺时针方向旋转形成的角为负角，它一定小于逆时针方向旋转形成的正角，故D正确.【解析】选D.如果一条射线绕顶点顺时针方向旋转，则它形成负角知识点2终边相同的角与象限角1.对终边相同的角的三点说明所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k×360°+α,k∈Z表示，在运用时需注意以下三点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉.(2)α是任意角.(3)k×360°与α之间用“+”连接，如k×360°-30°应看成k×360°+(-30°),k∈Z.知识点2终边相同的角与象限角2.象限角的表示(1)终边在第一象限内的角为{α|α=k×360°+β,0°＜β＜90°,k∈Z}，即将不等式0°＜β＜90°的两边同时加上k×360°，可得终边在第一象限的角的表示为{α|k×360°＜α＜k×360°+90°,k∈Z}.(2)终边在第二象限的角的表示为{α|k×360°+90°＜α＜k×360°+180°,k∈Z}.2.象限角的表示(3)终边在第三象限的角的表示为{α|k×360°+180°＜α＜k×360°+270°,k∈Z}.(4)终边在第四象限的角的表示为{α|k×360°-90°＜α＜k×360°,k∈Z}.(3)终边在第三象限的角的表示为3.终边在坐标轴上的角的表示(1)终边落在x轴非负半轴上的角的集合为{x|x=k×360°,k∈Z}.(2)终边落在x轴非正半轴上的角的集合为{x|x=k×360°+180°,k∈Z}.(3)终边落在x轴上的角的集合为{x|x=k×180°,k∈Z}.3.终边在坐标轴上的角的表示(4)终边落在y轴非负半轴上的角的集合为{x|x=k×360°+90°,k∈Z}.(5)终边落在y轴非正半轴上的角的集合为{x|x=k×360°+270°,k∈Z}.(6)终边落在y轴上的角的集合为{x|x=k×180°+90°,k∈Z}.(4)终边落在y轴非负半轴上的角的集合为【微思考】(1)在坐标系中终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同吗？提示：一定.在平面直角坐标系中来讨论角时必须满足以下条件：角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，因此，相等的角终边一定相同.(2)0°角的终边与始边重合，终边与始边重合的角都是0°吗？提示：不是，如±360°，±720°等.【微思考】【即时练】有下列说法:①第一象限角都为锐角；②第一象限角一定不是负角；③第四象限角大于第一象限角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中错误说法的序号为_________.【即时练】【解析】对于①,390°角是第一象限角，但它不是锐角，故①错误.对于②,-330°角是第一象限角，但它是负角，故②错误.对于③,300°角是第四象限角，390°角是第一象限角，显然390°＞300°，故③错误.对于④,0°小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④错误.答案：①②③④【解析】对于①,390°角是第一象限角，但它不是锐角，故①错【题型示范】类型一角的概念及简单应用【典例1】(1)钟表的时针从8点转到10点，所形成的角是()A.30°B.-30°

C.60°

D.-60°(2)射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则∠AOD=__________.【题型示范】【解题探究】1.题(1)中钟表的表盘中共12个大格，每一格的角度是多少？2.题(2)中逆时针旋转250°是+250°,还是-250°？顺时针旋转270°是+270°,还是-270°？【探究提示】1.钟表的表盘中每一格的角度是30°.2.逆时针旋转250°是+250°，顺时针旋转270°是-270°.【解题探究】1.题(1)中钟表的表盘中共12个大格，每一格的【自主解答】(1)选D.因为钟表的表盘中每一格的角度是30°，从8点转到10点，共转过2个格，故大小为60°，又时针为顺时针方向旋转，故形成的角为-60°.【自主解答】(1)选D.因为钟表的表盘中每一格的角度是30°(2)如图∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=(-80°)+250°+(-270°)=-100°.答案：-100°(2)如图【方法技巧】1.角的表示(1)通常用希腊字母α，β等表示，如“角α”或“∠α”，也可以简化为“α”.(2)也可以用三个大写字母表示(前面要加“∠”)，如“∠AOB”.【方法技巧】(3)用图示表示角时，箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负.(3)用图示表示角时，箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方2.理解角的概念的三个“明确”2.理解角的概念的三个“明确”【变式训练】写出图(1)(2)中的角α，β，γ的度数.【变式训练】写出图(1)(2)中的角α，β，γ的度数.【解析】图(1)中，α=360°-30°=330°.图(2)中，β=-360°+60°+150°=-150°;γ=360°+60°+(-β)=360°+60°+150°=570°.【解析】图(1)中，α=360°-30°=330°.【误区警示】解答此题时，一定要注意角的旋转方向是逆时针还是顺时针，以免出现错误.【误区警示】解答此题时，一定要注意角的旋转方向是逆时针还是顺【补偿训练】25°角的始边是x轴的非负半轴，把终边按顺时针方向旋转4.5周，所得的角是________.【解析】所求角为25°+(-360°×4.5)=-1595°.答案：-1595°【补偿训练】25°角的始边是x轴的非负半轴，把终边按顺时针方类型二象限角【典例2】(1)已知角α是锐角，则2α是()A.第一象限角B.第二象限角C.小于180°的正角D.第一或第二象限角(2)(2014·宿迁高一检测)-1250°是第______象限角.类型二象限角(3)已知角的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角.①-50°；②780°；③-680°.(3)已知角的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴上，作出下列各【解题探究】1.题(1)中角α是锐角，则α的范围是什么？2.题(2)中-1250°与360°有何关系？3.题(3)中如何作负角？【探究提示】1.0°＜α＜90°.2.-1250°=190°-4×360°.3.顺时针旋转即可得到负角.【解题探究】1.题(1)中角α是锐角，则α的范围是什么？【自主解答】(1)选C.因为α是锐角，所以0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°，故选C.(2)因为-1250°=190°-4×360°，其终边在第三象限，所以它是第三象限角.答案：三【自主解答】(1)选C.因为α是锐角，所以0°＜α＜90°，(3)作出各角，其对应的终边如图所示.①-50°是第四象限角；②780°是第一象限角;③-680°是第一象限角.(3)作出各角，其对应的终边如图所示.【延伸探究】若把题(2)中的角改为1250°，试判断它是第几象限角？【解析】因为1250°=170°+3×360°，其终边在第二象限，所以它是第二象限角.【延伸探究】若把题(2)中的角改为1250°，试判断它是第【方法技巧】1.象限角的判定方法(1)根据图像判定.利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.(2)将角转化到0°～360°范围内.在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的.【方法技巧】2.α,2α,等角的终边位置的确定方法(1)不等式法①利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围.②利用不等式的性质，求出2α，等角的范围.2.α,2α,等角的终边位置的确定方法③利用“旋转”的观点，确定角终边的位置.例如，如果得到k×120°＜＜k×120°+30°，k∈Z，可画出0°＜＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示).③利用“旋转”的观点，确定角终边的位置.(2)几何法(或等分象限法)若已知α所在的象限，确定所在的象限，可先将各个象限n等分，从第一象限离x轴最近的区域开始逆时针方向依次循环标注号1,2,3,4,直到将所有区域标完为止.如果α在第几象限，则在图中标号为几的区域内.(2)几何法(或等分象限法)例如,已知α为第四象限角，则终边所在的位置为如图标4的区域内.例如,已知α为第四象限角，则终边所在的位置为如图标4【变式训练】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角.(1)-75°.(2)855°.(3)-510°.【变式训练】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半【解析】作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图可知：-75°是第四象限的角.(2)由图可知：855°是第二象限的角.(3)由图可知：-510°是第三象限的角.【解析】作出各角，其对应的终边如图所示：【补偿训练】1.若角α的终边经过点(-1,-3)，则角α是第________象限角.【解析】因为点(-1,-3)在第三象限，所以角α的终边落在第三象限，即它是第三象限角.【补偿训练】1.若角α的终边经过点(-1,-3)，则角α是第2.已知角α是第一象限角，则是第几象限角？【解析】因为角α是第一象限角，所以角α的集合是{α|k×360°＜α＜90°+k×360°,k∈Z}，所以×360°＜＜45°+×360°,k∈Z，当k是偶数时，设k=2n(n∈Z)，则n×360°＜＜45°+n×360°,n∈Z，所以是第一象限角.当k是奇数时，设k=2n+1(n∈Z)，则180°+n×360°＜＜225°+n×360°,n∈Z，所以是第三象限角.综上可知，是第一或第三象限角.2.已知角α是第一象限角，则是第几象限角？类型三终边相同角的表示【典例3】(1)(2014·石家庄高一检测)下列角中终边与-240°相同的角是()A.240°B.120°

C.-120°

D.-60°(2)写出终边在直线上的角的集合.类型三终边相同角的表示【解题探究】1.题(1)中-240°的终边在第几象限？2.题(2)中直线的倾斜角是多少？【探究提示】1.-240°的终边在第二象限.2.直线的斜率k==tan60°，所以直线的倾斜角为60°.【解题探究】1.题(1)中-240°的终边在第几象限？【自主解答】(1)选B.因为-240°=120°-360°，所以-240°与120°的终边相同.(2)在0°～360°范围内，终边在直线上的角有两个：60°和240°.因此终边在上的角的集合为S={β|β=60°+k×360°,k∈Z}∪{β|β=240°+k×360°,k∈Z}={β|β=60°+2k×180°,k∈Z}∪{β|β=60°+(2k+1)×180°,k∈Z}={β|β=60°+n×180°,n∈Z}.【自主解答】(1)选B.因为-240°=120°-360°，【方法技巧】1.终边相同角常用的两个结论(1)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.(2)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.【方法技巧】2.表示区间角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-180°～180°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α≤x≤β}；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合.2.表示区间角的三个步骤【变式训练】如图所示：则终边在图中所示直线上的角的集合为________.【变式训练】如图所示：【解题指南】在0°～360°范围内找出终边落在图中直线上的角，利用终边相同的角表示出集合即可.【解析】由题干图易知，在0°～360°范围内，终边在直线y=-x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=135°+k×360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k×360°,k∈Z}={β|β=135°+k×180°,k∈Z}.答案:{β|β=135°+k×180°,k∈Z}【解题指南】在0°～360°范围内找出终边落在图中直线上的角【补偿训练】如图所示，如按逆时针旋转，终边落在OA位置时的角的集合是______________；终边落在OB位置时角的集合是_________________．【补偿训练】如图所示，如按逆时针旋转，终边落在OA位置时的角【解析】根据终边相同的角的表示，故终边落在OA位置时的角的集合是{α|α=60°+k×360°,k∈Z};终边落在OB位置时的角的集合是{β|β=225°+k×360°,k∈Z}.答案:{α|α=60°+k×360°,k∈Z}{β|β=225°+k×360°,k∈Z}

【解析】根据终边相同的角的表示，故终边落在OA位置时的角的集【易错误区】角的相关概念理解不正确致误

【典例】下列说法正确的是()A.第一象限角小于第二象限角B.若90°≤α≤180°，则α是第二象限角C.小于90°的角都是锐角D.有些角不是任何象限角【易错误区】角的相关概念理解不正确致误【解析】选D.30°角是第一象限角，-240°①角是第二象限角，显然30°不小于-240°，故A不正确；当α=90°或180°②时，其终边落在坐标轴上，不是任何象限的角，可知B不正确，D正确；小于90°的角也可能是零角或负角①，它不一定是锐角，故C不正确.【解析】选D.30°角是第一象限角，-240°①角是第二象限【常见误区】错解

错因剖析

选A或选C

对角的概念的推广理解不透彻，如①处忽略负角，导致误判

选B

忽略②处终边落在坐标轴的角的情况，导致错误【常见误区】错解错因剖析选A或选C对角的概念的推【防范措施】1.对角的概念的推广的认识对角的认识不能仅仅局限于正角的范围，还有负角和零角，如本例中①处的理解.2.明确角的分类按照角的旋转方向分为正角、负角和零角；按照角的终边位置分为象限角和终边在坐标轴上的角，如在本例②处易忽略终边落在坐标轴上的角的情况.

【防范措施】【类题试解】下列说法中，正确的是()A.三角形的内角必是第一、二象限角B.0°～90°的角都是锐角C.不相等的角终边一定不同D.若β=α+k×360°(k∈Z),则α和β终边相同【类题试解】下列说法中，正确的是()§2角的概念的推广

§2问题引航

1.角的定义是什么？它有几种分类方式？2.什么是象限角？终边相同的角如何表示？问题1.角的定义是什么？它有几种分类方式？1.角(1)定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.(2)图示：终边始边顶点1.角终边始边顶点2.角的分类(1)按旋转方向分:逆时针顺时针不作任何2.角的分类逆时针顺时针不作任何(2)按终边的位置分:①前提条件：(ⅰ)角的顶点与_____重合.(ⅱ)角的始边与____的非负半轴重合.②分类：(ⅰ)象限角：角的终边(除端点外)在第几象限，就是____________.(ⅱ)终边落在坐标轴上的角.原点x轴第几象限角(2)按终边的位置分:原点x轴第几象限角3.终边相同的角的表示一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=_________________}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的_______的和.α+k×360°,k∈Z整数倍3.终边相同的角的表示α+k×360°,k∈Z整数倍1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点.()(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角.()(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的.()1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)【解析】(1)错误.研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点,且角的始边与x轴的非负半轴重合.(2)正确.如390°的角是第一象限的角，但不是锐角.(3)错误.不唯一，如终边落在y轴的非正半轴上的角的集合可以表示为{α|α=k×360°+270°,k∈Z}，也可以表示为{α|α=k×360°-90°,k∈Z}.答案：(1)×(2)√

(3)×【解析】(1)错误.研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知α=30°，将其终边按顺时针方向旋转三周后的角度数是________.(2)把-1485°转化为α+k×360°(0°≤α＜360°,k∈Z)的形式是________.(3)若角α=45°+k×180°,k∈Z，则角α的终边落在________象限.2.做一做(请把正确的答案写在横线上)【解析】(1)3×(-360°)+30°=-1050°.答案：-1050°(2)因为0°≤α＜360°，所以-1485°=315°-5×360°.答案：315°-5×360°(3)当k=0时，α=45°，此时α为第一象限角；当k=1时，α=225°，此时α为第三象限角.答案：第一或第三

【解析】(1)3×(-360°)+30°=-1050°.【要点探究】知识点1角的概念对角的概念的四点说明(1)认识角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边.(2)这里定义的角是从运动的观点下定义的，应抓住“旋转”两个字，它有正负之分，与初中学习的静止观点下的角是有区别的.【要点探究】(3)角的大小不仅与旋转的大小有关，还与旋转的方向有关，正角大于负角.(4)角的范围推广到任意角后，角的加减法运算类似于实数的加减法运算.(3)角的大小不仅与旋转的大小有关，还与旋转的方向有关，正角【微思考】(1)角的概念推广后，角的范围是什么？提示：根据角的定义可知，角的范围推广到了任意角，即(-∞,+∞).(2)角的概念推广后，锐角、直角、钝角的概念发生变化了吗？提示：钝角、直角、锐角是三角形中的特定角，它们不随角的概念的推广发生变化.【微思考】【即时练】下列说法正确的是()A.一条射线绕顶点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大B.在坐标系中，将y轴的非负方向绕坐标原点顺时针旋转到x轴的非负方向形成的角为90°C.将钟表调快一个小时，则分针转了360°D.顺时针方向旋转形成的角一定小于逆时针方向旋转形成的角【即时练】【解析】选D.如果一条射线绕顶点顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小，故A不正确.在坐标系中，将y轴的非负方向绕坐标原点旋转到x轴的非负方向时，是按顺时针方向旋转，故它形成的角为-90°，故B不正确.将钟表调快一个小时，也是按顺时针转动，故分针转了-360°，C不正确.顺时针方向旋转形成的角为负角，它一定小于逆时针方向旋转形成的正角，故D正确.【解析】选D.如果一条射线绕顶点顺时针方向旋转，则它形成负角知识点2终边相同的角与象限角1.对终边相同的角的三点说明所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k×360°+α,k∈Z表示，在运用时需注意以下三点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉.(2)α是任意角.(3)k×360°与α之间用“+”连接，如k×360°-30°应看成k×360°+(-30°),k∈Z.知识点2终边相同的角与象限角2.象限角的表示(1)终边在第一象限内的角为{α|α=k×360°+β,0°＜β＜90°,k∈Z}，即将不等式0°＜β＜90°的两边同时加上k×360°，可得终边在第一象限的角的表示为{α|k×360°＜α＜k×360°+90°,k∈Z}.(2)终边在第二象限的角的表示为{α|k×360°+90°＜α＜k×360°+180°,k∈Z}.2.象限角的表示(3)终边在第三象限的角的表示为{α|k×360°+180°＜α＜k×360°+270°,k∈Z}.(4)终边在第四象限的角的表示为{α|k×360°-90°＜α＜k×360°,k∈Z}.(3)终边在第三象限的角的表示为3.终边在坐标轴上的角的表示(1)终边落在x轴非负半轴上的角的集合为{x|x=k×360°,k∈Z}.(2)终边落在x轴非正半轴上的角的集合为{x|x=k×360°+180°,k∈Z}.(3)终边落在x轴上的角的集合为{x|x=k×180°,k∈Z}.3.终边在坐标轴上的角的表示(4)终边落在y轴非负半轴上的角的集合为{x|x=k×360°+90°,k∈Z}.(5)终边落在y轴非正半轴上的角的集合为{x|x=k×360°+270°,k∈Z}.(6)终边落在y轴上的角的集合为{x|x=k×180°+90°,k∈Z}.(4)终边落在y轴非负半轴上的角的集合为【微思考】(1)在坐标系中终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同吗？提示：一定.在平面直角坐标系中来讨论角时必须满足以下条件：角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，因此，相等的角终边一定相同.(2)0°角的终边与始边重合，终边与始边重合的角都是0°吗？提示：不是，如±360°，±720°等.【微思考】【即时练】有下列说法:①第一象限角都为锐角；②第一象限角一定不是负角；③第四象限角大于第一象限角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中错误说法的序号为_________.【即时练】【解析】对于①,390°角是第一象限角，但它不是锐角，故①错误.对于②,-330°角是第一象限角，但它是负角，故②错误.对于③,300°角是第四象限角，390°角是第一象限角，显然390°＞300°，故③错误.对于④,0°小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④错误.答案：①②③④【解析】对于①,390°角是第一象限角，但它不是锐角，故①错【题型示范】类型一角的概念及简单应用【典例1】(1)钟表的时针从8点转到10点，所形成的角是()A.30°B.-30°

C.60°

D.-60°(2)射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则∠AOD=__________.【题型示范】【解题探究】1.题(1)中钟表的表盘中共12个大格，每一格的角度是多少？2.题(2)中逆时针旋转250°是+250°,还是-250°？顺时针旋转270°是+270°,还是-270°？【探究提示】1.钟表的表盘中每一格的角度是30°.2.逆时针旋转250°是+250°，顺时针旋转270°是-270°.【解题探究】1.题(1)中钟表的表盘中共12个大格，每一格的【自主解答】(1)选D.因为钟表的表盘中每一格的角度是30°，从8点转到10点，共转过2个格，故大小为60°，又时针为顺时针方向旋转，故形成的角为-60°.【自主解答】(1)选D.因为钟表的表盘中每一格的角度是30°(2)如图∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=(-80°)+250°+(-270°)=-100°.答案：-100°(2)如图【方法技巧】1.角的表示(1)通常用希腊字母α，β等表示，如“角α”或“∠α”，也可以简化为“α”.(2)也可以用三个大写字母表示(前面要加“∠”)，如“∠AOB”.【方法技巧】(3)用图示表示角时，箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负.(3)用图示表示角时，箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方2.理解角的概念的三个“明确”2.理解角的概念的三个“明确”【变式训练】写出图(1)(2)中的角α，β，γ的度数.【变式训练】写出图(1)(2)中的角α，β，γ的度数.【解析】图(1)中，α=360°-30°=330°.图(2)中，β=-360°+60°+150°=-150°;γ=360°+60°+(-β)=360°+60°+150°=570°.【解析】图(1)中，α=360°-30°=330°.【误区警示】解答此题时，一定要注意角的旋转方向是逆时针还是顺时针，以免出现错误.【误区警示】解答此题时，一定要注意角的旋转方向是逆时针还是顺【补偿训练】25°角的始边是x轴的非负半轴，把终边按顺时针方向旋转4.5周，所得的角是________.【解析】所求角为25°+(-360°×4.5)=-1595°.答案：-1595°【补偿训练】25°角的始边是x轴的非负半轴，把终边按顺时针方类型二象限角【典例2】(1)已知角α是锐角，则2α是()A.第一象限角B.第二象限角C.小于180°的正角D.第一或第二象限角(2)(2014·宿迁高一检测)-1250°是第______象限角.类型二象限角(3)已知角的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角.①-50°；②780°；③-680°.(3)已知角的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴上，作出下列各【解题探究】1.题(1)中角α是锐角，则α的范围是什么？2.题(2)中-1250°与360°有何关系？3.题(3)中如何作负角？【探究提示】1.0°＜α＜90°.2.-1250°=190°-4×360°.3.顺时针旋转即可得到负角.【解题探究】1.题(1)中角α是锐角，则α的范围是什么？【自主解答】(1)选C.因为α是锐角，所以0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°，故选C.(2)因为-1250°=190°-4×360°，其终边在第三象限，所以它是第三象限角.答案：三【自主解答】(1)选C.因为α是锐角，所以0°＜α＜90°，(3)作出各角，其对应的终边如图所示.①-50°是第四象限角；②780°是第一象限角;③-680°是第一象限角.(3)作出各角，其对应的终边如图所示.【延伸探究】若把题(2)中的角改为1250°，试判断它是第几象限角？【解析】因为1250°=170°+3×360°，其终边在第二象限，所以它是第二象限角.【延伸探究】若把题(2)中的角改为1250°，试判断它是第【方法技巧】1.象限角的判定方法(1)根据图像判定.利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.(2)将角转化到0°～360°范围内.在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的.【方法技巧】2.α,2α,等角的终边位置的确定方法(1)不等式法①利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围.②利用不等式的性质，求出2α，等角的范围.2.α,2α,等角的终边位置的确定方法③利用“旋转”的观点，确定角终边的位置.例如，如果得到k×120°＜＜k×120°+30°，k∈Z，可画出0°＜＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示).③利用“旋转”的观点，确定角终边的位置.(2)几何法(或等分象限法)若已知α所在的象限，确定所在的象限，可先将各个象限n等分，从第一象限离x轴最近的区域开始逆时针方向依次循环标注号1,2,3,4,直到将所有区域标完为止.如果α在第几象限，则在图中标号为几的区域内.(2)几何法(或等分象限法)例如,已知α为第四象限角，则终边所在的位置为如图标4的区域内.例如,已知α为第四象限角，则终边所在的位置为如图标4【变式训练】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角.(1)-75°.(2)855°.(3)-510°.【变式训练】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半【解析】作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图可知：-75°是第四象限的角.(2)由图可知：855°是第二象限的角.(3)由图可知：-510°是第三象限的角.【解析】作出各角，其对应的终边如图所示：【补偿训练】1.若角α的终边经过点(-1,-3)，则角α是第________象限角.【解析】因为点(-1,-3)在第三象限，所以角α的终边落在第三象限，即它是第三象限角.【补偿训练】1.若角α的终边经过点(-1,-3)，则角α是第2.已知角α是第一象限角，则是第几象限角？【解析】因为角α是第一象限角，所以角α的集合是{α|k×360°＜α＜90°+k×360°,k∈Z}，所以×360°＜＜45°+×360°,k∈Z，当k是偶数时，设k=2n(n∈Z)，则n×360°＜＜45°+n×360°,n∈Z，所以是第一象限角.当k是奇数时，设k=2n+1(n∈Z)，则180°+n×360°＜＜225°+n×360°,n∈Z，所以是第三象限角.综上可知，是第一或第三象限角.2.已知角α是第一象限角，则是第几象限角？类型三终边相同角的表示【典例3】(1)(2014·石家庄高一检测)下列角中终边与-240°相同的角是()A.240°B.120°

C.-120°

D.-60°(2)写出终边在直线上的角的集合.类型三终边相同角的表示【解题探究】1.题(1)中-240°的终边在第几象限？2.题(2)中直线的倾斜角是多少？【探究提示】1.-240°的终边在第二象限.2.直线的斜率k==tan60°，所以直线的倾斜角为60°.【解题探究】1.题(1)中-240°的终边在第几象限？【自主解答】(1)选B.因为-240°=120°-360°，所以-240°与120°的终边相同.(2)在0°～360°范围内，终边在直线