给水管网水力分析和计算课件

第5章给水管网水力分析

§

5.1给水管网水力特性分析

§5.2树状管网水力分析

§

5.3管网环方程组水力分析和计算

§

5.4管网节点方程组水力分析和计算第5章给水管网水力分析节点流量方程（根据质量守恒定律）含义：流入某一节点的流量等于流出该节点的流量。注意：1管段流量方向（指向节点为负，离开为正）

2节点流量方向（流入为负，流出为正）回顾节点流量方程（根据质量守恒定律）含义：流入某一节点的流量等于（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9][8][7][6][5][4][3][2]Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q8,h8q9,h9q4,h4环状网节点流量方程组回顾（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9]

线性变换求出包括节点（5）和（6）的大节点连续性方程。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9][8][7][6][5][4][3][2]Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q8,h8q9,h9q4,h4所有节点流量方程相加：见P127回顾线性变换（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8树状网节点流量方程组（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][7][6][5][4][3][2]Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q4,h4回顾树状网节点流量方程组（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7节点流量方程组经过线性变化，可得到：

可以看出：树状网中，各管段流量qi可以用节点流量Qj表示出来。回顾节点流量方程组经过线性变化，可得到：可以看出：树状网中，各管段压降方程（根据能量守恒定律）管段两端节点水头之差等于该管段的压降：

HFi–HTi=hi

i-1,2,…,MHFi——管段i的上端点水头；

HTi——管段i的下端点水头；

hi——管段i的压降；

M——管段模型中的管段总数。注意：判断上下端点时按管段设定的方向，而非实际流向。M个管段，可以列出M个方程。回顾管段压降方程（根据能量守恒定律）管段两端节点水头之差等于该管（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9][8][7][6][5][4][3][2]Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q8,h8q9,h9q4,h4环状网管段压降方程组回顾（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9]hi可以通过管段的水力特性表示hi=siqinhi=siqi|qi|n-1hi=siqi|qi|n-1-heii=1,2,…Mhi——管段压降，m；qi——管段流量，m/s;si——管段阻力系数，应为管段上管道、管件、阀门、泵站所以设施阻力之和；hei——管段扬程，如管段上未设泵站，则hei=0；n——管段阻力指数。管段流向和设定方向一致，为正，即siqi|qi|n-1=siqin回顾hi可以通过管段的水力特性表示hi=siqin回顾管段压降方程组的变换

如果一些管段首尾相连，形成一条路径，将这些管段的能量守恒方程相加或相减，得到路径能量方程。例：将管段[1]、[2]、[3]的能量方程相加，再减去管段[4]的能量方程，可导出从节点（7）到节点（8）之间一条路径的能量方程，即：H7-H8=h1+h2+h3-h4（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9][8][7][6][5][4][3][2]Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q8,h8q9,h9q4,h4回顾管段压降方程组的变换如果一些管段首尾相连，形成一条路径思考题：由节点能量方程导出：1）由节点（1）、（2）、（3）、（6）、（5）、（4）组成的回路能量方程。2）由节点（1）、（2）、（5）、（4）组成的环能量方程。可以证明，对于任意环状管网，环能量方程的一般形式为：回顾思考题：由节点能量方程导出：回顾恒定流基本方程组水力分析的数学含义就是解恒定流方程组。水力分析的工程意义就是已知给水管网部分水力学参数，求其余水力参数。回顾恒定流基本方程组水力分析的数学含义就是解恒定流方程组。回顾5.1给水管网水力特性分析（1）给水管网水力分析的数学含义：求解管网恒定流方程组。（2）管网水力分析命题：在满足供水需求（用水量分布、供水压力和水质）条件下，确定给水管网的科学设计方案（管网布置、管径计算、造价经济、运行安全）。（3）给水管网的水力特性参数：

1）节点：节点流量、节点压力、节点标高、自由水头；

2）管段：管段流量、管径、长度、摩阻系数、管段压降；

3）环：管网供水保证率、安全可靠性。5.1给水管网水力特性分析（1）给水管网水力分析的数学含义管网水力分析条件和目的:1、已知条件：（1）管网布置：枝状管网、环状管网；（2）节点：节点流量、地面标高、服务压力；（3）管段：长度、管径、经济流速、摩阻系数；2、管网水力分析求解内容：（1）计算管段流量；（2）计算节点压力；（3）确定水泵流量、扬程；3、管网水力分析目的——满足安全供水目标：（1）设计方案水力状态－流量、压力分布和变化；（2）管网事故、消防、转输流量工况校核。

管网水力分析条件和目的:1、已知条件：5.1.1管段水力特性1、节点方程：求解节点压力Hi。方程数＝N-1。2、环方程：方程数＝环数。3、管段方程：方程数＝管段数。5.1.1管段水力特性1、节点方程：求解节点压力Hi。方程5.1.2管网恒定流方程组求解条件（1）节点流量与节点水头必须有一个已知已知节点水头而未知节点流量的节点称为定压节点。已知节点流量而未知节点水头的节点成为定流节点。

（2）管网中中至少有一个定压节点5.1.2管网恒定流方程组求解条件（1）节点流量与节点水头5.1.3管网恒定流方程组求解方法（1）树状管网水力计算各管段的流量是唯一确定的，与管段流量对应的管段水头损失、管段流速、节点压力可以一次计算完成

（2）环状管网水力计算将节点流量方程组和环能方程组转换成节点压力方程组或环校正流量方程组，通过求解方程组得到环状管网的水力参数。解环方程组解节点方程组解管段方程组5.1.3管网恒定流方程组求解方法（1）树状管网水力计算解环方程水力分析方法

解环方程的基本思想：先进行管段流量初分配，使节点流量连续性条件得到满足，然后，在保持节点流量连续性不被破坏的前提下，通过施加环校正流量，设法使各环的能量方程得到满足。解环方程水力分析方法解环方程的基本思想：先进行管段流

在管网水力计算时，根据求解的未知数是管段流量还是节点水压，可以分为解环方程、解节点方程二类。在管网水力计算时，根据求解的未知数是管段流量还是节点水

解环方程：针对求解单定压节点环状管网管段流量初分配：就是拟定各管段流量初值，使它们满足流量节点连续性方程。环校正流量：就是沿顺时针方向或逆时针方向给管网中一个环内的每条管段施加一个相同的流量，不会改变节点的流量平衡。1).解环方程解环方程：针对求解单定压节点环状管网1).解环方程管网经流量分配后，各节点已满足连续性方程，可是由该流量求出的管段水头损失，并不同时满足L个环的能量方程，为此必须多次将各管段的流量反复调整，直到满足能量方程，从而得出各管段的流量和水头损失。原理：在初步分配流量的基础上，逐步调整管段流量以满足能量方程。管网经流量分配后，各节点已满足连续性方程，可是由该流量求出的解环方程具体步骤：

①根据连续性条件初步分配管段流量；②计算各管段的水头损失hij(0)

=Sij(qij(0)

)n；③以顺时针方向为正，逆时针方向为负，计算各环的水头损失闭合差△hi；④计算各管段的Sijqij和每一环的ΣSijqij；⑤计算各环的校正流量；⑥将管段流量加上校正流量重新计算水头损失，直到最大闭合差小于允许误差为止。

qij(1)=qij

(0)+△qs

(0)+△qn

(0)

解环方程具体步骤：2).解节点方程在假定每一节点水压的条件下，应用连续性方程以及管段压降方程，通过计算求出每一节点的水压。节点水压已知后，即可以从任一管段两端节点的水压差得出该管段的水头损失，进一步从流量和水头损失之间的关系算出管段流量。原理：在初步拟订压力的基础上，逐步调整节点水压以满足连续性方程。

2).解节点方程在假定每一节点水压的条件下，应用连续性方程以节点方程组具体步骤：①根据已知控制点的水压标高，假定各节点的初始水压。②由hij=Hi-Hj=sqn的关系式求出管段流量。③验证每一节点的管段流量是否满足连续性方程，即进入该节点的流量代数和是否等于零，如不等于零，则按下式求出校正水压值。④除了水压已定的节点外，按校正每一节点的水压，根据新的水压，重复上列步骤计算，直到所有节点的进出流量代数和达到预定的精确度为止。节点方程组具体步骤：①根据已知控制点的水压标高，假定各节点的5.2树状管网水力分析

特点：（1）不存在环方程；（2）管段流量qi不变化，管段水头损失hi不变化，节点方程组系数矩阵元素值为常数，未知节点压力存在直接解。即直接求解线性化节点压力方程组。

5.2树状管网水力分析特点：枝状管网直接算法

1、管段流量：采用逆推法。从树枝末端节点流量开始，用节点流量连续性方程，向前逐一累加，每一管段下游所有节点流量的和即为该管段的管段流量；

2、节点压力（水头）：采用顺推法。从已知压力节点出发，用管段能量方程求节点水头，可立即解出。枝状管网直接算法1、管段流量：采用逆推法。例5.1某城市树状给水管网系统如图所示，节点（1）处为水厂清水池，向整个管网供水，管段[1]上设有泵站，其水力特性为：sp1=311.1(流量单位m3/s，水头单位m),he1=42.6m，n=1.852。根据清水池高程设计，节点（1）水头为H1=7.8m，各节点流量、各管段长度与直径如图所示，各节点地面标高见表5.1，试进行水力分析，计算各管段流量与流速、各节点水头与自由水头。节点编号(1)(2)(3)(4)(5）（6）（7）（8）（9）（10）地面标高(m)9.811.511.815.217.413.312.813.712.515.00例5.1某城市树状给水管网系统如图所示，节点（1）处为水厂单定压节点树状管网水力分析

【例5.1】单定压节点树状管网水力分析【例5.1】计

算

结

果泵站扬程按水力特性公式计算：计

算

结

果泵站扬程按水力特性公式计算：给水管网水力分析和计算课件给水管网水力分析和计算课件解环方程水力分析方法

解环方程的基本思想：先进行管段流量初分配，使节点流量连续性条件得到满足，然后，在保持节点流量连续性不被破坏的前提下，通过施加环校正流量，设法使各环的能量方程得到满足。由于初分流量时是严格按照节点流量平衡来进行的，所以连续性方程能够满足，但是能量方程就有可能不满足，即环内正反两个方向的水头损失不相等。环内正反两个方向的水头损失之差称作闭合差。调整管段流量，减少闭合差到一定精度范围的过程就叫管网平差。解环方程水力分析方法解环方程的基本思想：先进行管段流5.3管网环方程水力分析和计算管网自然环：单一闭合回路。自然环数：L＝M－N＋1。（M＝L＋N－1）管网水力环方程：（1）管段方程线性化：对于管网中管段，给定初始工况点，对式（5.1）微分得该点的切线方程：

管段i的阻尼系数5.3管网环方程水力分析和计算管网自然环：单一闭合回路。管（2）环方程线性化环方程转换：未知管段流量未知环校正流量。式中，qi(0)－－管段初始分配流量；

△qk

－－环校正流量。（2）环方程线性化环方程转换：未知管段流量环校正流

量方程：环校正流

量方程：环方程线性化－泰勒展开式在环校正流量初值点处，将环水头函数用泰勒公式展开，忽略高次项，取线性项，得线性方程组：

环方程线性化－泰勒展开式在环校正流量初值点处在初步分配流量的基础上，逐步调整管段流量以满足能量方程。L个非线形的能量方程：环方程线性化－泰勒展开式在初步分配流量的基础上，逐步调整管段流量以满足能量方程。L个初步分配的流量一般不满足能量方程：初步分配的流量一般不满足能量方程：

初步分配流量与实际流量的的差额为Δq，实际流量应满足能量方程：初步分配流量与实际流量的的差额为Δq，实际流量将函数在分配流量上展开，并忽略高阶微量：将函数在分配流量上展开，并忽略高阶微量：方程组的第一部分称为闭合差：方程组的第一部分称为闭合差：

将闭合差项移到方程组的右边，得到关于流量误差（校正流量）的线性方程组：将闭合差项移到方程组的右边，得到关于流量误差（环方程矩阵形式将线性方程组式（5.19）表示成矩阵形式：系数矩阵：

（对角线元素）环方程矩阵形式将线性方程组式（5.19）表示成矩阵形式：（对（1）牛顿-拉夫森算法：1）拟定管段流量初值，给定闭合差最大允许值，手工计算时一般取=0.1~0.5m，计算机计算时一般取=0.01~0.1m；2）由式（5.20）计算各环水头闭合差；3）闭合差均小于最大允许闭合差，则解环方程组结束，转7）进行后续计算；否则继续下步；4）计算系数矩阵，式（5.26）；5）解线性方程组式（5.21），得环校正流量；6）将环校正流量施加到环内所有管段，得到新的管段流量，作为新的初值（迭代值），转第2）步重新计算，管段流量迭代计算公式为：(5.29)7）计算管段压降、流速，用顺推法求各节点水头，最后计算节点自由水压，计算结束。（1）牛顿-拉夫森算法：1）拟定管段流量初值，给定闭合差最大（2）哈代-克罗斯算法－水头平差法哈代-克罗斯（HardyCrose）1936年提出，适合于手工计算。

系数矩阵为对称正定、主对角优势稀疏矩阵，只保留主对角元素，忽略非对角元素，直接迭代求解：

哈代-克罗斯平差公式

（2）哈代-克罗斯算法－水头平差法哈代-克罗斯（Hardy哈代-克罗斯法

Q1Q2Q3Q4Q5Q6456321哈代-克罗斯法Q1Q2Q3Q4Q5Q6456321Q1Q2Q3Q4Q5Q6456321Q1Q2Q3Q4Q5Q6456321忽略相邻环校正流量和二阶微量的影响：校正流量的符号与水头损失闭合差的符号相反忽略相邻环校正流量和二阶微量的影响：校正流量的符号与水头损失环方程组解法（管网平差）

哈代-克罗斯法解环方程组步骤：①绘制管网平差计算图，标出各计算管段的长度和各节点的地面标高。②计算比流量、管段流量和节点总流量。③根据城镇供水情况，拟定环状网各管段的水流方向，按每一节点满足Qi+qij=0的条件，并考虑供水可靠性要求分配流量，得出分配的管段流量qij(0)。④根据经济流速或查界限流量表选用各管段的管径。⑤计算各管段水头损失hij。环方程组解法（管网平差）

哈代-克罗斯法解环方程组步骤：①绘⑥假定各环内水流顺时针方向管段中的水头损失为正，逆时针方向管段水头损失为负，计算该环内各管段的水头损失代数和∑hij，如∑hij≠0，其差值为第一次闭合差Δh(0)。

【如果Δh(0)>0，说明顺时针方向各管段中初步分配的流量多了些，反之，如Δh(0)<0，说明逆时针方向管段中的流量多些。】⑦计算各环内各管段的Sijqij其总和∑Sijqij

，按下式求出校正流量。如闭合差为正，校正流量为负，反之则校正流量为正。⑥假定各环内水流顺时针方向管段中的水头损失为正，逆时针方向管⑧设图上的校正流量符号以顺时针为正，逆时针方向为负，凡流向和校正流量方向相同的管段，加上校正流量，否则减去校正流量。据此得第一次校正的管段流量式中，Δqs为本环的校正流量；Δqn为临环的校正流量。⑨按此流量再行计算，如闭合差尚未达到允许的精度，在从第二步起按每次调整后的流量反复计算，直到每环的闭合差达到要求为止。手工计算，每环闭合差要求小于0.5m，大环闭合差小于1.0m。⑧设图上的校正流量符号以顺时针为正，逆时针方向为负，凡流向和单水源管网平差

单水源管网平差泵站水塔0QtQp多水源管网平差

123481291110657∑Q-Ht-Hp对置水塔系统最高用水时

供水分界线泵站水塔0QtQp多水源管网平差123481泵站水塔0最大传输时

123481291110657∑Q′Qp′Qt′-Hp′Ht′对置水塔系统泵站水塔0最大传输时1234812911106虚环P95应用虚环的观念，将多水源管网转化成为单水源管网。虚环——将各水源节点与虚节点用虚管段连接成的环。虚管段——水源节点与虚节点相连接的管段。虚管段中的流量等于水源(定压)节点的供水量，管段流量方向是从虚节点流向水源节点。虚管段的水头损失等于各水源节点水压，方向是水源节点指向虚节点。虚管段无阻力，虚拟设一泵站，也无阻力。虚节点水头H0=0定压节点流量=0。虚环哈代-克罗斯平差算法的改进

1）改各环同时平差为每次只平差一个环每次只平差一个环，平差后立即更新管段流量，后面的平差用新的值计算闭合差，则平差的收敛速度可以得到提高。2）优先平差闭合差较大的环每次只平差一个环时，可以选择闭合差绝对值最大或较大的环进行平差，因为这样传递出去的闭合差最大，计算效率最高。3）改自然环平差为回路（大环）平差由多个相邻环合并可以组成回路（大环），同样可以列出回路平差公式，计算效率得以提高。选择合并环的原则，一是闭合差方向相同，二是闭合差绝对值比较大。哈代-克罗斯平差算法的改进1）改各环同时平差为每次只平差【例5.2】某给水管网如图5.6所示，节点地面标高见表5.6，节点（8）为定压节点，已知其节点水头为H8=41.50m，采用海曾-威廉公式计算水头损失，Cw=110，最大允许闭合差=0.1m，求各管段流量、流速、压降，各节点水头和自由水压。【解】该管网为两个环，管段初分配流量已经完成，有关数据计算如表5.7。

图5.6【例5.2】某给水管网如图5.6所示，节点地面标高见表5.6各环水头闭合差计算：求系数矩阵：

各环水头闭合差计算：求系数矩阵：重新计算各环水头闭合差：

解线性方程组：得环校正流量解为：，施加环校正流量，得到新的管段流量，重新计算有关管段数据，见表5.8。重新计算各环水头闭合差：解线性方程组：得环校正流量解为：闭合差减小，但仍不满足要求，需再次构成系数矩阵，并解线性方程组：

解此方程得：施加该环流量，得到新的管段流量，重新计算有关管段数据，见表5.9。重新计算各环水头闭合差：

闭合差减小，但仍不满足要求，需再次构成系数矩阵，并解线性方程各环水头闭合差满足要求，平差计算结束。计算管段流速，见表5.9。由节点（8）出发，用顺推法计算各节点水头和节点自由水压，见表5.10。（2）哈代-克罗斯算法（1936）系数矩阵F(0)

是一个对称正定的主对角优势稀疏矩阵，主对角元素值是较大的正值，非主对角的大多数元素为零，不为零的元素都是较小的负值，只保留主对角元素，忽略非主对角元素，则线性方程组可直接求解：(5.30)此式称为哈代-克罗斯平差公式，哈代-克罗斯算法又称为水头平差法。哈代-克罗斯算法水力分析的步骤与牛顿-拉夫森算法基本相同，只是计算环校正流量采用水头平差公式（5.30），代替解线性方程组。各环水头闭合差满足要求，平差计算结束。（2）哈代-克罗斯算法【例5.3】多定压节点管网如图5.7所示，节点(1)为清水池，节点水头12.00m，节点(5)为水塔，节点水头为48.00m，各节点地面标高如表5.11，管段［1］上设有泵站，其水力特性如图中所示，计算各管段流量与流速、各节点水头与自由水压（水头损失采用海曾-威廉公式计算，C=110）。【解】设虚节点（0）及从节点（0）到定压节点（1）和（5）的两条虚管段［10］和［11］，虚管段设有泵站，泵站静扬程为定压节点的节点水头，分别为12.00和48.00m，如图5.7所示。由虚管段［10］和［11］与管段［1］、［2］、［3］和［4］构成一个环，称为虚环，编码为③。【例5.3】多定压节点管网如图5.7所示，节点(1)为清水池用哈代-克罗斯法进行平差计算，见表5.12。经过两次平差，各环水头闭合差均小于0.5m，最后计算管段流速和节点水头等，见表5.13，计算结果如图5.8所示。用哈代-克罗斯法进行平差计算，见表5.12。经过两次平差，各图5.8多定压节点管网水力分析结果

图5.8多定压节点管网5.4解节点方程水力分析方法

未知量：节点水头（定压节点除外）；方程：非线性节点流量连续性方程组；由得

节点方程：可以列出以Hi为未知数的独立方程。管段流量系数5.4解节点方程水力分析方法未知量：节点水头（定压节节点方程组举例：节点方程组举例：节点方程通式：节点方程求解方法：已知条件：节点流量、管段直径、摩阻系数、定压点压力；计算程序：1）设定未知压力节点（定流点）初始压力Hi(0)；2）计算系数矩阵A（0）；3）解线性化节点方程组，得新的节点压力Hi(1)；4）检验|Hi(1)－Hi(0)|<

ε？若否，计算系数矩阵A（1），返回3；若是，计算完成，得Hi；5）计算管段流量、水头损失等。节点方程通式：节点方程求解方法：节点方程的牛顿-拉夫森解法由管段i水头损失微分变换管段流量系数节点方程的牛顿-拉夫森解法由管段i水头损失节点方程的牛顿-拉夫森解法（续1）节点流量函数：式中，△Hj――为节点的水头增量；

Gj――节点流量函数，各定流节点水头增量的非线性函数，只与本节点及相邻环节点水头增量有关。可以写出：式中，Gj(0,0,…,0)为给定节点水头初值下的节点流量闭合差：

节点方程的牛顿-拉夫森解法（续1）节点流量函数：节点方程的牛顿-拉夫森解法（续2）由上二式，可得近似于G(0)为一系数矩阵，节点方程的牛顿-拉夫森解法（续2）由上二式，可得节点方程的牛顿-拉夫森解法（续3）定流节点流量方程组：

节点方程的牛顿-拉夫森解法（续3）定流节点牛顿-拉夫森算法计算步骤：1）拟定定流节点水头初值，给定闭合差的最大允许值，手工计算时一般取=0.1L/s，计算机计算时一般取=0.01~0.1L/s；2）计算各定流节点流量闭合差△Q；3）判断△Q是否均小于最大允许闭合差，如满足，计算结束，转（7）进行后续计算，否则继续下步；4）计算系数矩阵算；5）解线性方程组式，得定流节点水头增量；6）将定流节点水头增量施加到相应节点上，得到新的节点水头，作为新的初值（迭代值），转第2）步重新计算，节点水头迭代计算公式为：7）计算管段流速、节点自由水压，计算结束。牛顿-拉夫森算法计算步骤：1）拟定定流节点水头初值，给定闭合节点方程的牛顿-拉夫森解法（续4）

（节点流量手工平差算法）节点压力平差算法。将系数矩阵的全部非主对角元素忽略后，可导出下式：

计算步骤同上述牛顿-拉夫森解法步骤。详见P108节点方程的牛顿-拉夫森解法（续4）

（节点流量手工平差算法）解节点方程在假定每一节点水压的条件下，应用连续性方程以及管段压降方程，通过计算求出每一节点的水压。节点水压已知后，即可以从任一管段两端节点的水压差得出该管段的水头损失，进一步从流量和水头损失之间的关系算出管段流量。原理：在初步拟订压力的基础上，逐步调整节点水压以满足连续性方程。

解节点方程在假定每一节点水压的条件下，应用连续性方程以及管段节点方程组具体步骤：①根据已知控制点的水压标高，假定各节点的初始水压。②由hij=Hi-Hj=sqn的关系式求出管段流量。③验证每一节点的管段流量是否满足连续性方程，即进入该节点的流量代数和是否等于零，如不等于零，则按下式求出校正水压值。④除了水压已定的节点外，按校正每一节点的水压，根据新的水压，重复上列步骤计算，直到所有节点的进出流量代数和达到预定的精确度为止。节点方程组具体步骤：①根据已知控制点的水压标高，假定各节点的【例5.4】图5.10所示管网中共有8个节点和11根管段，各管段长度、直径和各节点流量如图标示，各节点地面标高见表5.14，节点(1)和(5)为水源节点，节点(8)为末端最不利压力节点，要求自由压力为20m。采用节点压力平差法计算各管段流量与流速、各节点水头与自由水压，并确定水源节点(1)和(5)的泵站扬程和水塔高度，（海曾-威廉系数CW=110）。

【例5.4】图5.10所示管网中共有8个节点和11根管段，各【例5.4】

【解】节点(8)为已知压力节点，要求自由压力为20m，地面标高为17.50m，所以，节点(8)计算节点压力为H8=37.50m。以H8=37.50m为基础，设定其余节点的初始压力：H7=39m，H4=39m，H3=40m，H6=42m，H2=43m，H1=46m，H5=40m。初始节点压力设定的自由度很大，一般只要保证管段具有比较合理的水力坡度，即可保证计算过程收敛。【例5.4】【解】节点(8)为已知压力节点，要求自由压力为【例5.4】

【解】（续）由初始节点压力为起始条件，应用节点压力平差公式(5.49)，进行节点压力平差计算。为了计算过程的稳定性，节点压力的校正公式采用计算过程和结果数据见表5.17。【例5.4】【解】（续）计算过程和结果数据见表5.17。迭代计算11次，满足计算收敛条件，管网节点压力平差计算完成。管段流量、流速和水头损失计算结果，见表5.18。

迭代计算11次，满足计算收敛条件，管网节点压力平差计算完成。第5章给水管网水力分析

§

5.1给水管网水力特性分析

§5.2树状管网水力分析

§

5.3管网环方程组水力分析和计算

§

5.4管网节点方程组水力分析和计算第5章给水管网水力分析节点流量方程（根据质量守恒定律）含义：流入某一节点的流量等于流出该节点的流量。注意：1管段流量方向（指向节点为负，离开为正）

2节点流量方向（流入为负，流出为正）回顾节点流量方程（根据质量守恒定律）含义：流入某一节点的流量等于（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9][8][7][6][5][4][3][2]Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q8,h8q9,h9q4,h4环状网节点流量方程组回顾（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9]

线性变换求出包括节点（5）和（6）的大节点连续性方程。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9][8][7][6][5][4][3][2]Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q8,h8q9,h9q4,h4所有节点流量方程相加：见P127回顾线性变换（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8树状网节点流量方程组（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][7][6][5][4][3][2]Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q4,h4回顾树状网节点流量方程组（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7节点流量方程组经过线性变化，可得到：

可以看出：树状网中，各管段流量qi可以用节点流量Qj表示出来。回顾节点流量方程组经过线性变化，可得到：可以看出：树状网中，各管段压降方程（根据能量守恒定律）管段两端节点水头之差等于该管段的压降：

HFi–HTi=hi

i-1,2,…,MHFi——管段i的上端点水头；

HTi——管段i的下端点水头；

hi——管段i的压降；

M——管段模型中的管段总数。注意：判断上下端点时按管段设定的方向，而非实际流向。M个管段，可以列出M个方程。回顾管段压降方程（根据能量守恒定律）管段两端节点水头之差等于该管（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9][8][7][6][5][4][3][2]Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q8,h8q9,h9q4,h4环状网管段压降方程组回顾（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9]hi可以通过管段的水力特性表示hi=siqinhi=siqi|qi|n-1hi=siqi|qi|n-1-heii=1,2,…Mhi——管段压降，m；qi——管段流量，m/s;si——管段阻力系数，应为管段上管道、管件、阀门、泵站所以设施阻力之和；hei——管段扬程，如管段上未设泵站，则hei=0；n——管段阻力指数。管段流向和设定方向一致，为正，即siqi|qi|n-1=siqin回顾hi可以通过管段的水力特性表示hi=siqin回顾管段压降方程组的变换

如果一些管段首尾相连，形成一条路径，将这些管段的能量守恒方程相加或相减，得到路径能量方程。例：将管段[1]、[2]、[3]的能量方程相加，再减去管段[4]的能量方程，可导出从节点（7）到节点（8）之间一条路径的能量方程，即：H7-H8=h1+h2+h3-h4（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）[1][9][8][7][6][5][4][3][2]Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q8,h8q9,h9q4,h4回顾管段压降方程组的变换如果一些管段首尾相连，形成一条路径思考题：由节点能量方程导出：1）由节点（1）、（2）、（3）、（6）、（5）、（4）组成的回路能量方程。2）由节点（1）、（2）、（5）、（4）组成的环能量方程。可以证明，对于任意环状管网，环能量方程的一般形式为：回顾思考题：由节点能量方程导出：回顾恒定流基本方程组水力分析的数学含义就是解恒定流方程组。水力分析的工程意义就是已知给水管网部分水力学参数，求其余水力参数。回顾恒定流基本方程组水力分析的数学含义就是解恒定流方程组。回顾5.1给水管网水力特性分析（1）给水管网水力分析的数学含义：求解管网恒定流方程组。（2）管网水力分析命题：在满足供水需求（用水量分布、供水压力和水质）条件下，确定给水管网的科学设计方案（管网布置、管径计算、造价经济、运行安全）。（3）给水管网的水力特性参数：

1）节点：节点流量、节点压力、节点标高、自由水头；

2）管段：管段流量、管径、长度、摩阻系数、管段压降；

3）环：管网供水保证率、安全可靠性。5.1给水管网水力特性分析（1）给水管网水力分析的数学含义管网水力分析条件和目的:1、已知条件：（1）管网布置：枝状管网、环状管网；（2）节点：节点流量、地面标高、服务压力；（3）管段：长度、管径、经济流速、摩阻系数；2、管网水力分析求解内容：（1）计算管段流量；（2）计算节点压力；（3）确定水泵流量、扬程；3、管网水力分析目的——满足安全供水目标：（1）设计方案水力状态－流量、压力分布和变化；（2）管网事故、消防、转输流量工况校核。

管网水力分析条件和目的:1、已知条件：5.1.1管段水力特性1、节点方程：求解节点压力Hi。方程数＝N-1。2、环方程：方程数＝环数。3、管段方程：方程数＝管段数。5.1.1管段水力特性1、节点方程：求解节点压力Hi。方程5.1.2管网恒定流方程组求解条件（1）节点流量与节点水头必须有一个已知已知节点水头而未知节点流量的节点称为定压节点。已知节点流量而未知节点水头的节点成为定流节点。

（2）管网中中至少有一个定压节点5.1.2管网恒定流方程组求解条件（1）节点流量与节点水头5.1.3管网恒定流方程组求解方法（1）树状管网水力计算各管段的流量是唯一确定的，与管段流量对应的管段水头损失、管段流速、节点压力可以一次计算完成

（2）环状管网水力计算将节点流量方程组和环能方程组转换成节点压力方程组或环校正流量方程组，通过求解方程组得到环状管网的水力参数。解环方程组解节点方程组解管段方程组5.1.3管网恒定流方程组求解方法（1）树状管网水力计算解环方程水力分析方法

解环方程的基本思想：先进行管段流量初分配，使节点流量连续性条件得到满足，然后，在保持节点流量连续性不被破坏的前提下，通过施加环校正流量，设法使各环的能量方程得到满足。解环方程水力分析方法解环方程的基本思想：先进行管段流

在管网水力计算时，根据求解的未知数是管段流量还是节点水压，可以分为解环方程、解节点方程二类。在管网水力计算时，根据求解的未知数是管段流量还是节点水

解环方程：针对求解单定压节点环状管网管段流量初分配：就是拟定各管段流量初值，使它们满足流量节点连续性方程。环校正流量：就是沿顺时针方向或逆时针方向给管网中一个环内的每条管段施加一个相同的流量，不会改变节点的流量平衡。1).解环方程解环方程：针对求解单定压节点环状管网1).解环方程管网经流量分配后，各节点已满足连续性方程，可是由该流量求出的管段水头损失，并不同时满足L个环的能量方程，为此必须多次将各管段的流量反复调整，直到满足能量方程，从而得出各管段的流量和水头损失。原理：在初步分配流量的基础上，逐步调整管段流量以满足能量方程。管网经流量分配后，各节点已满足连续性方程，可是由该流量求出的解环方程具体步骤：

①根据连续性条件初步分配管段流量；②计算各管段的水头损失hij(0)

=Sij(qij(0)

)n；③以顺时针方向为正，逆时针方向为负，计算各环的水头损失闭合差△hi；④计算各管段的Sijqij和每一环的ΣSijqij；⑤计算各环的校正流量；⑥将管段流量加上校正流量重新计算水头损失，直到最大闭合差小于允许误差为止。

qij(1)=qij

(0)+△qs

(0)+△qn

(0)

解环方程具体步骤：2).解节点方程在假定每一节点水压的条件下，应用连续性方程以及管段压降方程，通过计算求出每一节点的水压。节点水压已知后，即可以从任一管段两端节点的水压差得出该管段的水头损失，进一步从流量和水头损失之间的关系算出管段流量。原理：在初步拟订压力的基础上，逐步调整节点水压以满足连续性方程。

2).解节点方程在假定每一节点水压的条件下，应用连续性方程以节点方程组具体步骤：①根据已知控制点的水压标高，假定各节点的初始水压。②由hij=Hi-Hj=sqn的关系式求出管段流量。③验证每一节点的管段流量是否满足连续性方程，即进入该节点的流量代数和是否等于零，如不等于零，则按下式求出校正水压值。④除了水压已定的节点外，按校正每一节点的水压，根据新的水压，重复上列步骤计算，直到所有节点的进出流量代数和达到预定的精确度为止。节点方程组具体步骤：①根据已知控制点的水压标高，假定各节点的5.2树状管网水力分析

特点：（1）不存在环方程；（2）管段流量qi不变化，管段水头损失hi不变化，节点方程组系数矩阵元素值为常数，未知节点压力存在直接解。即直接求解线性化节点压力方程组。

5.2树状管网水力分析特点：枝状管网直接算法

1、管段流量：采用逆推法。从树枝末端节点流量开始，用节点流量连续性方程，向前逐一累加，每一管段下游所有节点流量的和即为该管段的管段流量；

2、节点压力（水头）：采用顺推法。从已知压力节点出发，用管段能量方程求节点水头，可立即解出。枝状管网直接算法1、管段流量：采用逆推法。例5.1某城市树状给水管网系统如图所示，节点（1）处为水厂清水池，向整个管网供水，管段[1]上设有泵站，其水力特性为：sp1=311.1(流量单位m3/s，水头单位m),he1=42.6m，n=1.852。根据清水池高程设计，节点（1）水头为H1=7.8m，各节点流量、各管段长度与直径如图所示，各节点地面标高见表5.1，试进行水力分析，计算各管段流量与流速、各节点水头与自由水头。节点编号(1)(2)(3)(4)(5）（6）（7）（8）（9）（10）地面标高(m)9.811.511.815.217.413.312.813.712.515.00例5.1某城市树状给水管网系统如图所示，节点（1）处为水厂单定压节点树状管网水力分析

【例5.1】单定压节点树状管网水力分析【例5.1】计

算

结

果泵站扬程按水力特性公式计算：计

算

结

果泵站扬程按水力特性公式计算：给水管网水力分析和计算课件给水管网水力分析和计算课件解环方程水力分析方法

解环方程的基本思想：先进行管段流量初分配，使节点流量连续性条件得到满足，然后，在保持节点流量连续性不被破坏的前提下，通过施加环校正流量，设法使各环的能量方程得到满足。由于初分流量时是严格按照节点流量平衡来进行的，所以连续性方程能够满足，但是能量方程就有可能不满足，即环内正反两个方向的水头损失不相等。环内正反两个方向的水头损失之差称作闭合差。调整管段流量，减少闭合差到一定精度范围的过程就叫管网平差。解环方程水力分析方法解环方程的基本思想：先进行管段流5.3管网环方程水力分析和计算管网自然环：单一闭合回路。自然环数：L＝M－N＋1。（M＝L＋N－1）管网水力环方程：（1）管段方程线性化：对于管网中管段，给定初始工况点，对式（5.1）微分得该点的切线方程：

管段i的阻尼系数5.3管网环方程水力分析和计算管网自然环：单一闭合回路。管（2）环方程线性化环方程转换：未知管段流量未知环校正流量。式中，qi(0)－－管段初始分配流量；

△qk

－－环校正流量。（2）环方程线性化环方程转换：未知管段流量环校正流

量方程：环校正流

量方程：环方程线性化－泰勒展开式在环校正流量初值点处，将环水头函数用泰勒公式展开，忽略高次项，取线性项，得线性方程组：

环方程线性化－泰勒展开式在环校正流量初值点处在初步分配流量的基础上，逐步调整管段流量以满足能量方程。L个非线形的能量方程：环方程线性化－泰勒展开式在初步分配流量的基础上，逐步调整管段流量以满足能量方程。L个初步分配的流量一般不满足能量方程：初步分配的流量一般不满足能量方程：

初步分配流量与实际流量的的差额为Δq，实际流量应满足能量方程：初步分配流量与实际流量的的差额为Δq，实际流量将函数在分配流量上展开，并忽略高阶微量：将函数在分配流量上展开，并忽略高阶微量：方程组的第一部分称为闭合差：方程组的第一部分称为闭合差：

将闭合差项移到方程组的右边，得到关于流量误差（校正流量）的线性方程组：将闭合差项移到方程组的右边，得到关于流量误差（环方程矩阵形式将线性方程组式（5.19）表示成矩阵形式：系数矩阵：

（对角线元素）环方程矩阵形式将线性方程组式（5.19）表示成矩阵形式：（对（1）牛顿-拉夫森算法：1）拟定管段流量初值，给定闭合差最大允许值，手工计算时一般取=0.1~0.5m，计算机计算时一般取=0.01~0.1m；2）由式（5.20）计算各环水头闭合差；3）闭合差均小于最大允许闭合差，则解环方程组结束，转7）进行后续计算；否则继续下步；4）计算系数矩阵，式（5.26）；5）解线性方程组式（5.21），得环校正流量；6）将环校正流量施加到环内所有管段，得到新的管段流量，作为新的初值（迭代值），转第2）步重新计算，管段流量迭代计算公式为：(5.29)7）计算管段压降、流速，用顺推法求各节点水头，最后计算节点自由水压，计算结束。（1）牛顿-拉夫森算法：1）拟定管段流量初值，给定闭合差最大（2）哈代-克罗斯算法－水头平差法哈代-克罗斯（HardyCrose）1936年提出，适合于手工计算。

系数矩阵为对称正定、主对角优势稀疏矩阵，只保留主对角元素，忽略非对角元素，直接迭代求解：

哈代-克罗斯平差公式

（2）哈代-克罗斯算法－水头平差法哈代-克罗斯（Hardy哈代-克罗斯法

Q1Q2Q3Q4Q5Q6456321哈代-克罗斯法Q1Q2Q3Q4Q5Q6456321Q1Q2Q3Q4Q5Q6456321Q1Q2Q3Q4Q5Q6456321忽略相邻环校正流量和二阶微量的影响：校正流量的符号与水头损失闭合差的符号相反忽略相邻环校正流量和二阶微量的影响：校正流量的符号与水头损失环方程组解法（管网平差）

哈代-克罗斯法解环方程组步骤：①绘制管网平差计算图，标出各计算管段的长度和各节点的地面标高。②计算比流量、管段流量和节点总流量。③根据城镇供水情况，拟定环状网各管段的水流方向，按每一节点满足Qi+qij=0的条件，并考虑供水可靠性要求分配流量，得出分配的管段流量qij(0)。④根据经济流速或查界限流量表选用各管段的管径。⑤计算各管段水头损失hij。环方程组解法（管网平差）

哈代-克罗斯法解环方程组步骤：①绘⑥假定各环内水流顺时针方向管段中的水头损失为正，逆时针方向管段水头损失为负，计算该环内各管段的水头损失代数和∑hij，如∑hij≠0，其差值为第一次闭合差Δh(0)。

【如果Δh(0)>0，说明顺时针方向各管段中初步分配的流量多了些，反之，如Δh(0)<0，说明逆时针方向管段中的流量多些。】⑦计算各环内各管段的Sijqij其总和∑Sijqij

，按下式求出校正流量。如闭合差为正，校正流量为负，反之则校正流量为正。⑥假定各环内水流顺时针方向管段中的水头损失为正，逆时针方向管⑧设图上的校正流量符号以顺时针为正，逆时针方向为负，凡流向和校正流量方向相同的管段，加上校正流量，否则减去校正流量。据此得第一次校正的管段流量式中，Δqs为本环的校正流量；Δqn为临环的校正流量。⑨按此流量再行计算，如闭合差尚未达到允许的精度，在从第二步起按每次调整后的流量反复计算，直到每环的闭合差达到要求为止。手工计算，每环闭合差要求小于0.5m，大环闭合差小于1.0m。⑧设图上的校正流量符号以顺时针为正，逆时针方向为负，凡流向和单水源管网平差

单水源管网平差泵站水塔0QtQp多水源管网平差

123481291110657∑Q-Ht-Hp对置水塔系统最高用水时

供水分界线泵站水塔0QtQp多水源管网平差123481泵站水塔0最大传输时

123481291110657∑Q′Qp′Qt′-Hp′Ht′对置水塔系统泵站水塔0最大传输时1234812911106虚环P95应用虚环的观念，将多水源管网转化成为单水源管网。虚环——将各水源节点与虚节点用虚管段连接成的环。虚管段——水源节点与虚节点相连接的管段。虚管段中的流量等于水源(定压)节点的供水量，管段流量方向是从虚节点流向水源节点。虚管段的水头损失等于各水源节点水压，方向是水源节点指向虚节点。虚管段无阻力，虚拟设一泵站，也无阻力。虚节点水头H0=0定压节点流量=0。虚环哈代-克罗斯平差算法的改进

1）改各环同时平差为每次只平差一个环每次只平差一个环，平差后立即更新管段流量，后面的平差用新的值计算闭合差，则平差的收敛速度可以得到提高。2）优先平差闭合差较大的环每次只平差一个环时，可以选择闭合差绝对值最大或较大的环进行平差，因为这样传递出去的闭合差最大，计算效率最高。3）改自然环平差为回路（大环）平差由多个相邻环合并可以组成回路（大环），同样可以列出回路平差公式，计算效率得以提高。选择合并环的原则，一是闭合差方向相同，二是闭合差绝对值比较大。哈代-克罗斯平差算法的改进1）改各环同时平差为每次只平差【例5.2】某给水管网如图5.6所示，节点地面标高见表5.6，节点（8）为定压节点，已知其节点水头为H8=41.50m，采用海曾-威廉公式计算水头损失，Cw=110，最大允许闭合差=0.1m，求各管段流量、流速、压降，各节点水头和自由水压。【解】该管网为两个环，管段初分配流量已经完成，有关数据计算如表5.7。

图5.6【例5.2】某给水管网如图5.6所示，节点地面标高见表5.6各环水头闭合差计算：求系数矩阵：

各环水头闭合差计算：求系数矩阵：重新计算各环水头闭合差：

解线性方程组：得环校正流量解为：，施加环校正流量，得到新的管段流量，重新计算有关管段数据，见表5.8。重新计算各环水头闭合差：解线性方程组：得环校正流量解为：闭合差减小，但仍不满足要求，需再次构成系数矩阵，并解线性方程组：

解此方程得：施加该环流量，得到新的管段流量，重新计算有关管段数据，见表5.9。重新计算各环水头闭合差：

闭合差减小，但仍不满足要求，需再次构成系数矩阵，并解线性方程各环水头闭合差满足要求，平差计算结束。计算管段流速，见表5.9。由节点（8）出发，用顺推法计算各节点水头和节点自由水压，见表5.10。（2）哈代-克罗斯算法（1936）系数矩阵F(0)

是一个对称正定的主对角优势稀疏矩阵，主对角元素值是较大的正值，非主对角的大多数元素为零，不为零的元素都是较小的负值，只保留主对角元素，忽略非主对角元素，则线性方程组可直接求解：(5.30)此式称为哈代-克罗斯平差公式，哈代-克罗斯算法又称为水头平差法。哈代-克罗斯算法水力分析的步骤与牛顿-拉夫森算法基本相同，只是计算环校正流量采用水头平差公式（5.30），代替解线性方程组。各环水头闭合差满足要求，平差计算结束。（2）哈代-克罗斯算法【例5.3】多定压节点管网如图5.7所示，节点(1)为清水池，节点水头12.00m，节点(5)为水塔，节点水头为48.00m，各节点地面标高如表5.11，管段［1］上设有泵站，其水力特性如图中所示，计算各管段流量与流速、各节点水头与自由水压（水头损失采用海曾-威廉公式计算，C=110）。【解】设虚节点（0）及从节点（0）到定压节点（1）和（5）的两条虚管段［10］和［11］，虚管段设有泵站，泵站静扬程为定压节点的节点水头，分别为12.00和48.00m，如图5.7所示。由虚管段［10］和［11］与管段［1］、［2］、［3］和［4］构成一个环，称为虚环，