全国新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十五)(含答案详析)

专题限时集训(十五)[第15讲圆锥曲线的热点问题](时间：45分钟)x2y21．已知椭圆C：4＋b＝1，直线l：y＝mx＋1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是()A．[1，4)B．[1，＋∞)C．[1，4)∪(4，＋∞)D．(4，＋∞)2．与两圆x2＋y2＝1及x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆的圆心在()A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上x2→→3．已知两定点A(1，1)，B(－1，－，则点P的轨迹1)，动点P(x，y)满足PA·PB＝是()2A．圆B．椭圆C．双曲线D．拋物线22224．已知椭圆C1：x＋y＝1与双曲线C2：x－y＝1共焦点，则椭圆C1的离心率em＋2nmn的取值范围为()A.2，1B.0，222C．(0，1)D.0，1225．以抛物线＝8x上的任意一点为圆心作圆与直线x＋2＝0相切，这些圆必过必然点，y则这必然点的坐标是()A．(0，2)B．(2，0)C．(4，0)D．(0，4)22x＋y＝1上一点M作圆x2＋y2＝2的两条切线，点A，B为切点．过A，B6．过椭圆94的直线l与x轴、y轴分别交于P，Q两点，则△POQ的面积的最小值为()12A.2B.34C．1D.32＝4x的焦点是F，若抛物线上存在一点7．已知点A(2，1)，抛物线yP，使得|PA|＋|PF|最小，则P点的坐标为()A．(2，1)B．(1，1)11C.2，1D.4，1π8．过抛物线y2＝x的焦点F的直线m的倾斜角θ≥，m交抛物线于A，B两点，且A4点在x轴上方，则|FA|的取值范围是________．9．已知E(2，2)是抛物线C：y2＝2px上一点，经过点(2，0)的直线l与抛物线C交于A，两点(不同样于点E)，直线EA，EB分别交直线x＝－2于点M，N，则∠MON的大小为________．图X15－12x＋y2＝1，在椭圆C上任取不同样两点A，B，点10．如图X15－1所示，已知椭圆C：4A关于x轴的对称点为A′，当A，B变化时，若是直线AB经过x轴上的定点T(1，0)，则直线A′B经过x轴上的定点为________．x2＋y2＝1，过点M(2，0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．在11．已知椭圆C：94x轴上若存在定点P，使PM均分∠APB，则P的坐标为________．12．如图X15－2所示，已知抛物线方程为y2＝4x，其焦点为F，准线为l，A点为抛物线上异于极点的一个动点，射线HAE垂直于准线l，垂足为H，C点在x轴正半轴上，且四边形AHFC是平行四边形，线段AF和AC的延长线分别交抛物线于点B和点D.(1)证明：∠BAD＝∠EAD；(2)求△ABD面积的最小值，并写出此时A点的坐标．图X15－213．如图X15－3所示，已知圆C1：x2＋(y－1)2＝4和抛物线C2：y＝x2－1，过坐标原点O的直线与C2订交于点A，B，定点M的坐标为(0，－1)，直线MA，MB分别与C1订交于点D，E.(1)求证：MA⊥MB；S1(2)记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若＝λ，求λ的取值范围．图X15－3x2y2F1，F2，离心率为2，且过点(2，14．已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的两个焦点分别为22)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)M，N，P，Q是椭圆

C上的四个不同样的点，两条都不和

x轴垂直的直线

MN

和

PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：|MN|1＋|PQ|1为定值．专题限时集训(十五)1．C[剖析]直线恒过定点(0，1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b≥1且b≠4.圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为(4，0)，半径为2，动圆的圆心到(4，0)2．B[剖析]的距离减去它到(0，0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．3．B[剖析]→→由题知PA＝(1－x，1－y)，PB＝(－1－x，－1－y)，→→22－2.所以PA·PB＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x＋y22x2x2y2由已知x＋y－2＝2，得4＋2＝1，所以点P的轨迹为椭圆．4．A[剖析]依照已知得m>0，n>0，且m＋2－n＝m＋n，解得n＝1，所以椭圆的离心率为e＝m＋1＝1－1，由于m>0，所以1－11，所以2<e<1.>m＋2m＋2m＋2225．B[剖析]x＋2＝0为抛物线的准线．依照抛物线的定义，抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离，又圆心在抛物线上，故这些圆恒过定点(2，0)．6．B[剖析]设M(x0，y0)，依照圆的切线知识可得过A，B的直线l的方程为x0x＋y0y2，由此得P2，0，Q0，20y0圆上，所以x02y02x0·＋＝1≥2394

，故△POQ的面积为12222×x0·y0＝00|.由于点M在椭|xyy0，由此得|x0y0|≤3，所以2≥2，当且仅当|x0|＝|y0|时2|x0y0|332等号成立．7．D[剖析]抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，过点P作准线的垂线交准线于B，则|PF|＝|PB|，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PB|，所以当A，P，B三点共线时，|PA|＋＝y＝1，所以x＝12＝1，即P点的坐标为1，1.|PF|最小，此时yPAP4yA4412[剖析]取值范围的左端点是p1，但取不到．右端点是当直线的倾斜角8.4，1＋22＝4等于π1231＝0，依照题意点A的时，此时直线方程是y＝x－，代入抛物线方程得x－x＋164423＋3212－2，依照抛物线定义该点到焦点的距离等于其到准线的距横坐标是x＝224＝3＋42离，故这个距离是3＋2＋1＝1＋24242.π[剖析]将E(2，2)的坐标代入y2＝2px，得p＝1，9.2所以抛物线方程为y2＝2x.22设Ay1，y1，By2，y2，M(xM，xN)，22直线l方程为x＝my＋2，x＝my＋2，与抛物线方程联立得y2＝2x，消去x，得y2－2my－4＝0，则由韦达定理得y1y2＝－4，y1＋y2＝2m.y1－22(x－2)＋2，直线AE的方程为y－2＝2(x－2)，即y＝y1＋2y12－22y1－42y2－4令x＝－2，得yM＝.同理可得yN＝.y1＋2y2＋2→→又OM＝(－2，yM)，ON＝(－2，yN)，→→（y1－2）（y2－2）OM·ON＝4＋yMyN＝4＋4＝（y1＋2）（y2＋2）4[y1y2－2（y1＋y2）＋4]4（－4－4m＋4）4＋＝4＋＝0.[y1y2＋2（y1＋y2）＋4]－4＋4m＋4→→为定值π所以OM⊥ON，即∠MON2.2x2＝1，＋y10．(4，0)[剖析]设直线AB的方程为x＝my＋1，由4得(my＋1)2＋4y2x＝my＋1，4，即(m2＋4)y2＋2my－3＝0.记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(x1，－y1)，且y1＋y2＝－2m，y1y2＝－3，m2＋4m2＋4当m≠0时，经过点A′(x1，－y1)，B(x2，y2)的直线方程为y＋y1x－x1＝.令y＝0，得xy2＋y1x2－x12－x1my2－my112－my12＋my1y2＋my12xmyy＋1＝2my1y2＋1＝＝y1＋x1＝2＋y1y1＋my1＋1＝2＋y1＋yyyy＋yy32m·2m＋4＋1＝4，所以y＝0时，x＝4.2mm2＋4当m＝0时，直线AB的方程为x＝1，此时A′，B重合，经过A′，B的直线有无数条，自然可以有一条经过点(4，0)的直线．当直线AB为x轴时，直线A′B就是直线AB，即x轴，这条直线也经过点(4，0)．综上所述，当点A，B变化时，直线A′B经过x轴上的定点(4，0)．9，0[剖析]设A(x1，y12，y211.2)，B(x)，直线AB的方程为x＝my＋2.将直线ABC的方程联立，消去x得(4m2＋9)y2＋16my－20＝0，所以y1＋y2＝－16m的方程与椭圆，4m2＋920y1y2＝4m2＋9.若PM均分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA＋kPB＝0.设P(a，0)，则有y1＋y2＝0，将x1＝my1＋2，x2＝my2＋2代入上式，整理得x2－ax1－a2my1y2＋（2－a）（y1＋y2）0，my1＋2－a）（my2＋2－a）－16m－20所以2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝0.将y1＋y2＝，y1y2＝4m2代入上式，整理得(－4m2＋9＋992a＋9)·m＝0.由于上式对任意实数m都成立，所以a＝2.综上，x轴上存在定点P92，0，使PM均分∠APB.12．解：(1)证明：由抛物线定义得|AH|＝|AF|，∴∠AHF＝∠AFH.又∵四边形AHFC是平行四边形，∴HF∥AC，∴∠AHF＝∠EAD，∠AFH＝∠BAD.综上可得∠BAD＝∠EAD.a2，a(a≠0)，(2)易知焦点F(1，0)，准线l方程为x＝－1，设A点坐标为4则直线AB方程为4ax－(a2－4)y－4a＝0(包括AB⊥x轴的情况)，结合y2＝4x得4a2x2－(a4＋16)x＋4a2＝0，依照抛物线定义，可知|AB|＝x＋x4＋16242＋2＝a2＋2＝a＋AB4a4a＋2≥4(当且仅当a＝±2时等号成立)．a3别的，结合kAD＝kHF＝－a，可得直线AD方程为y＝－ax＋＋a，228结合y2＝4x得ay2＋8y－a3－8a＝0，由于8∴yD＝－a－a.又∵∠BAD＝∠EAD，

8yD＋yA＝－a，8∴D点到直线AB的距离即为D点到直线AE的距离，即d＝|yD－yA|＝2a＋a≥8(当且仅当a＝±2时等号成立)．∴S△ABD＝1·|AB|·d≥1×4×8＝16(当且仅当a＝±2时取“＝”号)．22此时A点坐标为(1，±2)．13．解：(1)证明：设直线AB的方程为y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，y＝kx，则x2－kx－1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝－1.y＝x2－1→→22－2＋1＝0，又MA·MB＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)＝(k＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－k1＋k∴MA⊥MB.(2)设直线MA的方程为y＝k1x－1，MB的方程为y＝k2x－1，k1k2＝－1.y＝k1x－1，x＝0，x＝k1，y＝x2－1，解得或y＝－1y＝k12－1，∴A(k1，k2－1)，同理可得B(k，k2－1)，122∴S＝1122y＝k1x－1，又x2＋（y－1）2＝4，

1＋k121＋k22|k1k2|.x＝4k1，x＝0，1＋k12解得或3k12－1y＝－1y＝2，1＋k14k12，3k12－13k22－1∴D2，同理可得E4k22，2.1＋k11＋k11＋k21＋k21122|16k1k2|∴S2＝|MD||ME|＝1＋k11＋k2.22（1＋k12）（1＋k22）12（1＋k12）（1＋k22）2＋k12＋k11.S1＝λ＝16＝≥S2164故λ的取值范围是1，＋∞.4c＝2，14．解：(1)由已知，e＝a222－c2所以b2＝a＝1－e2＝1，所以a2＝2b2.2aa2所以C：x2y222＝22＋2＝1，即x＋2y2b.2bbb2＝4，所以a2＝8.由于椭圆C过点(2，2)，代入椭圆方程得x2y2所以椭圆C的标准方程为8＋4＝1.(2)证明：由(1)知椭圆的焦点坐标为F1(－2，0)，F2(2，0)．依照题意，可设直线MN的方程为y＝k(x＋2)