难点详解北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系定向练习试题(含详细解析)

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系定向练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、请比较sin30°、cos45°、tan60°的大小关系（）A．sin30°＜cos45°＜tan60° B．cos45°＜tan60°＜sin30°C．tan60°＜sin30°＜cos45° D．sin30°＜tan60°＜cos45°2、如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cos∠ACB的值为（）A． B． C． D．3、某人沿坡度的斜坡向上前进了10米，则他上升的高度为（）A．5米 B． C． D．4、如图，琪琪一家驾车从地出发，沿着北偏东的方向行驶，到达地后沿着南偏东的方向行驶来到地，且地恰好位于地正东方向上，则下列说法正确的是（）A．地在地的北偏西方向上 B．地在地的南偏西方向上C． D．5、如图，在正方形中、是的中点，是上的一点，，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中结论正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6、如图，小王在高台上的点A处测得塔底点C的俯角为α，塔顶点D的仰角为β，已知塔的水平距离AB＝a，则此时塔高CD的长为（）A．asinα+asinβ B．atanα+atanβC． D．7、计算的值等于（）A． B．1 C．3 D．8、如图，在菱形ABCD中，，，则菱形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．48 D．209、如图，河坝横断面迎水坡的坡比为：，坝高m，则的长度为（）A．6m B．m C．9m D．m10、在ABC中，，则ABC一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形第Ⅱ卷（非选择题70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图①为折叠椅，图②是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm，∠DOB＝100°，那么椅腿AB的长应设计为___cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin50°＝cos40°≈0.77，sin40°＝cos50°≈0.64，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19）2、已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则sinB等于_____．3、如果斜坡的坡度为1∶3，斜坡高为4米，则此斜坡的长为___________米4、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是_______．5、如图，等边的边长为2，点O是的中心，，绕点O旋转，分别交线段于D，E两点，连接，给出下列四个结论：①；②四边形的面积始终等于；③；④周长的最小值为3．其中正确的结论是________（填序号）．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，某校的实验楼对面是一幢教学楼，小张在实验楼的窗口C（ACBD）处测得教学楼顶部D的仰角为27°，教学楼底部B的俯角为13°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=20米．求教学楼BD（BD⊥AB）的高度．（精确到0.1米）（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）2、某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高，点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．若在此处建桥，求河宽的长．（结果精确到）[参考数据：，，3、．4、求值：（结果保留根号）．5、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，与BD交O一点，直线EF过点O分别交直线AB，CD，BC于E，F，H．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OC2＝HC•BC，OC：BH＝3，求sin∠BAC；（3）在△AOF中，若AF＝8，AO＝OF＝4，求平行四边形ABCD的面积．-参考答案-一、单选题1、A【分析】利用特殊角的三角函数值得到sin30°＝，cos45°＝，tan60°＝，从而可以比较三个三角函数大小．【详解】解答：解：∵sin30°＝，cos45°＝，tan60°＝，而＜＜，∴sin30°＜cos45°＜tan60°．故选：A．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，实数比大小，准确计算是解题的关键．2、D【分析】根据图形得出AD的长，进而利用三角函数解答即可．【详解】解：过A作AD⊥BC于D，∴DC=1，AD=3，∴AC=，∴cos∠ACB=，故选：D．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握勾股定理逆定理及余弦函数的定义．3、B【分析】由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边．根据题意可得BC：AC=1：2，AB=10m，可解出直角边BC，即得到位置升高的高度．【详解】解：由题意得，BC：AC=1：2．∴设BC=x，则AC=2x．∵AB=10，BC2+AC2=AB2，∴x2+(2x)2=102，解得：x=．故选：B．【点睛】本题主要考查了坡度的定义和解直角三角形的应用，注意画出示意图会使问题具体化．4、B【分析】根据题意可知，，由此即可得到即可判断A；由可以判断B；由可以判断C；求出即可判断D．【详解】解：如图所示：由题意可知，，，，即在处的北偏西，故A不符合题意；，地在地的南偏西方向上，故B不符合题意；，故C错误．，，，故D不符合题意．故选B．【点睛】本题考查的是解直角三角形和方向角问题，熟练掌握方向角的概念是解题的关键．5、B【分析】首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：△BAE∽△CEF，则可证得②正确，①③错误，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△ABE∽△AEF，即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠B＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°，∠AEB＋FEC＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△BAE∽△CEF，∴，∵BE＝CE，∴BE2＝AB•CF．∵AB＝2CE，∴CF＝CE＝CD，∴CD=4CF，故②正确，③错误，∴tan∠BAE＝BE：AB＝，∴∠BAE≠30°，故①错误；设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，∴AE＝2a，EF＝a，AF＝5a，∴，．∴，∵∠ABE＝∠AEF＝90°，∴△ABE∽△AEF，故④正确．故选：B．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及正方形的性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．6、B【分析】根据直角三角形锐角三角函数即可求解．【详解】解：在中，，在中，，．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是掌握直角三角形锐角三角函数．7、C【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【详解】解：．故选C．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键．8、B【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=CO==4，BO=DO，再根据正切函数的定义求出BD，进而可求出菱形的面积；【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO==4，BO=DO，在直角三角形ABO中，∵，∴，∴BO=3，∴BD=6，∴菱形ABCD的面积=；故选：B【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理和锐角三角函数的定义，属于基础题型，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．9、A【分析】根据迎水坡的坡比为：，可知，求出的长度，运用勾股定理可得结果．【详解】解：迎水坡的坡比为：，，即，解得，，由勾股定理得，，故选：．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，熟知坡比的意义是解本题的关键．10、D【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案．【详解】解：∵∴，∴，∴，∴，∴，∴ABC一定是等腰直角三角形故选：D．【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解．二、填空题1、【分析】连接BD，过点O作OH⊥BD于点H，从而得到OB=OD，进而得到∠BOH=50°，在中，可求出OB，即可求解．【详解】解：如图，连接BD，过点O作OH⊥BD于点H，∵AB=CD，点O是AB、CD的中点，∴OB=OD，∵∠DOB＝100°，∴∠BOH=50°，，在中，，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．2、【分析】根据正弦的定义计算即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=，

∴sinB=，

故答案为：．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，掌握锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦是解题的关键．3、【分析】根据坡度比求出斜坡水平距离，最后利用勾股定理求出斜坡长即可．【详解】解：根据坡度的定义可知，斜坡高：斜坡水平距离=1：3．斜坡高为4米斜坡水平距离为12米．由勾股定理可得：斜坡长为米．故答案为：．【点睛】本题主要是考察了坡度的定义以及勾股定理求边长，熟练掌握坡度定义，求解斜坡水平距离是解决此类问题的关键．4、##【分析】根据题意过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，则BD=AD=3，CD=1，利用勾股定理可求出AB，BC的长，利用面积法可求出CE的长，再利用正弦的定义即可求出∠ABC的正弦值．【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，则BD=AD=3，CD=1，如图所示．

，

∵AC•BD=AB•CE，即×2×3=×3•CE，

∴CE=，

∴．

故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形和勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出CE，BC的长度是解题的关键．5、①③④【分析】如图：连接OB、OC，利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再证明∠BOD=∠COE，可证△BOD≌△COE，即BD=CE、OD=OE，则可对①进行判断；利用得到四边形ODBE的面积，则可对③进行判断；再作OH⊥DE，则DH=EH，计算出S△DOE利用S△DOE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE的周长=BC+DE=4+DE=4+OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．【详解】解：连接OB、OC，如图，

∵等边∴∠ABC=∠ACB=60°,∵点O是△ABC的中心，∴OB=OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°∵∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°，而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°，∴∠BOD=∠COE,在△BOD和△COE中∴△BOD≌△COE,∴BD=CE，OD=OE，所以①正确；∴∴四边形ODBE的面积=，故②正确；如图：作OH⊥DE，则DH=EH，∵∠DOE=120°,∴∠ODE=_OEH=30°,，HE即S△DOE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，所以③错误；∵BD=CE,∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=2+DE=2+OE当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时∴△BDE周长的最小值=2+1=3,所以④止确．故填①③④．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键三、解答题1、教学楼BD的高度约为14.8米．【分析】由题意过点C作CH⊥BD，垂足为点H，进而依据和以及BD=HD+HB进行分析计算即可得出答案.【详解】解：过点C作CH⊥BD，垂足为点H，由题意，得∠DCH=27°，∠HCB=13°，AB=CH=20（米），在Rt△DHC中，∵，∴，在Rt△HCB中，∵，∴，∴BD=HD+HB10.2+4.6=14.8（米）．答：教学楼BD的高度约为14.8米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．2、河宽的长约为【分析】根据等腰三角形的判定可得，在中，由三角函数的定义求出的长，根据线段的和差即可求出的长度．【详解】解：在中，，，∴，∴，∴.在中，，，，∴，∴，∴.答：河宽的长约为．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用---仰角俯角问题，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．3、【分析】先去掉绝对值，再计算三角函数值和零指数幂，然后化简算术平方根后可以得解．【详解】解：原式===．【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌