n线平行体体积初探

n线平行体体积初探龙云和湖南省凤凰县高级中学416200生活中，我们常遇到由棱柱体切割得到的不规则几何体（如图），显然它们都可视作组合体，其体积可由多个柱体与锥体的体积之和得到，但计算却很繁杂，其实它们的体积计算另有他法。A2A1A3AnA3/An/……对于一组无三线共面的平行线段A1A1／，A2A2／，…，AnAn／，如果首尾连接两组端点A1A2…An，A1／A2／…An／所得的图形是平面多边形（n≥3），则由平面多边形A1A2…An，A1／A2／…An／及平面四边形A1A1／A2／A2，A2AA2A1A3AnA3/An/……A1A2…An—A1／A2／…An／，其中A1，A2，…An，A1／，A2／，…，An／叫做n线平行体的顶点，平行线段A1A1／，A2A2／，…，AnA都叫做n线平行体的轴（或母线），平面多边形A1A2…An，A1／A2／…An／叫做n线平行体的截截面是凸多边形的n线平行体叫做凸n线平行体，如果没有特殊说明，本文所指的n线平行体均为凸n线平行体；平面四边形A1A1／A2／A2，A2A2／A3／A3，…，AnAn／A1／A1叫做n线平行体的底面，若一个垂直于n线平行体A1A2…An—A1／A2／…An／的轴的平面与各轴所在直线的交点分别为B1，B2，…，Bn，则称平面n边形B1B2…Bn为n线平行体A1A2…An—A1／A2／…An／的轴垂面（或轴线投影面）定理1：若三线平行体的三轴长分别是a，b，c，轴垂面面积为S，则其体积，该公式同样适合退化三线平行体。定理2：若四线平行体的四轴长分别是a，b，c，d，轴垂面面积为S，两截面的对角线交点的连线长为m，则其体积，特别地，截面是平行四边形的四线平行体的体积；该公式同样适合退化四线平行体。ABCGC1A1EFB1首先我们来证明定理1：如图，在三线平行体ABC－A1B1C1中，AA1=,ABCGC1A1EFB1E，过E作轴AA1的垂面，交直线BB1，CC1于点F，G，显然△EFG是三线平行体ABC－A1B1C1的轴垂面，面积用S表示。设h1h2，h3是△EFG三边FG，EG，EF的高，连接AB1，CB1，则所以，，即三线平行体的体积等于其轴垂面的面积与三轴长的平均值的乘积。容易发现以上证明对于退化三线平行体仍然成立，故定理1得证。推论：若三棱锥的一组对棱所成的角为θ，所在直线的距离为d，且棱长分别为，则该三棱锥的体积。AEFDBC如图，三棱锥A—BCD中，对棱AB，CD的距离为，所成的角为，长分别为，过A作棱AB的垂面AEF，其中E，F分别是顶点C，D在平面AEF上射影，则△AEF是退化三线平行体ACD—BCD的轴垂面，且∠CDF=，故EF=CD，AEFDBC，所以，AAAA1BCC1D1DHGFEM1MB1对于定理2，如图，要四线平行体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=，BB1=，CC1=，DD1=，过轴AA1上一点E作AA1的垂面，交直线BB1，CC1，DD1分别于点F，G，H，显然四边形EFGH是四线平行体ABCD—A1B1C1D1的轴垂面，面积用S表示，且平面AA1C1C，平面BB1D1D与平面EFGH都垂直，其交线恰好是两截面对角线交点连线所在的直线，设M，M1分别是AC与BD，A1C1与B1D1的交点，且MM1=，则，用表示E，G到直线FH的距离，表示F，H到直线EG的距离，则，，故，所以所以，当截面ABCD是平行四边形时，易知平面AA1B1B∥平面CC1D1D，平面AA1D1D∥平面CC1B1B，故四边形EFGH是平行四边形，所以，则，故，又所以，即截面是平行四边形的四线平行体的体积等于其轴垂面的面积与四轴长的平均值的乘积。由推导可知，对于退化四线平行体上述结论仍然成立，故定理2得证。由于多面体的切割所得的几何体大多可视为n线平行体或退化n线平行体，故这类问题利用n线平行体的体积公式计算体积，可使问题得到简化，下面就来小试几例。BACDPBACDPQRS分别于点Q，R，S，若，用表示三棱锥被截面PQRS所分成的上部分（含AP）与三棱锥的体积的比值，求的解析式。如图，过点A作AB的垂面AEF，点E，ABCDABCDEFMNPQRSSR在平面AEF的射影，显然△AMN，AEF分别是三线平行体APS—BQR，退化三线平行体ADC—BDC的轴截面，且，同时容易证明，所以，的解析式是。PMNQ例2．（2012江西理）如右图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点E是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记截面下面部分的体积为则函数的图像大致为（）PMNQABABCD对于这道试题，显然很难通过柱、锥体积来计算其解析式，就算要求，不仅过程繁琐，且计算复杂，只能通过定性方法，从函数的单调性及变化速率可分析出答案是A；然而利用三线平行体体积公式求函数的解析式就要方便多了。事实上，由于四棱锥的各条棱长都是1，易知，当时，设过点E的截面与AB，AD，SB，SD分别交于点P，Q，M，N，显然，ACSOGEFH故截面的上部分可看成三线平行体APQ—SMN和三棱锥SACSOGEFH其中，，分别是AC，SC的中点，F，H是过点E的截面与AC，AO的交点，可知，,故则，，所以，ABCDSGEJK当时，设过点E的截面与CB，CD分别交于点JABCDSGEJK此时，。所以，函数的解析式为例3.如图，正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB=3，BB1=4.长为1的线段PQ在棱AA1·····A·····A1D1C1CNMDPRBAQB1棱锥R–PQMN的体积是（）A.6B.10 C.12D.不确定其实四棱锥R–PQMN就是退化三线平行体PRN—QRM，三角形ABC是其轴垂面，故故