算法、三视图、线性规划专题练习作业含答案

专题集训·作业(七)一、选择题1．(2014·青岛自评)曲线y＝x3－2x在(1，－1)处的切线方程为()A．x－y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－2＝0 D．x＋y＋2＝0答案A解析方法一因为f′(x)＝3x2－2，所以f′(1)＝1.又f(1)＝－1，所以切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.方法二特殊点法：将(1，－1)代入知选A.2．(2014·临沂模拟)若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，则“f(x)与g(x)都为增函数”是“f(x)＋g(x)是增函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若f(x)与g(x)都为增函数，根据单调性的定义易知f(x)＋g(x)为增函数；反之f(x)＋g(x)为增函数时，例如f(x)＝－x，g(x)＝2x，f(x)＋g(x)＝x为增函数，但f(x)为减函数，g(x)为增函数，故“f(x)与g(x)都为增函数”是“f(x)＋g(x)是增函数”的充分不必要条件．3．函数y＝lnsinx(0<x<π)的图像大致是()答案C解析用特殖值法，依题意，当x＝eq\f(π,2)时，y＝0；当x＝eq\f(π,6)时，sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，y＝lneq\f(1,2)<0；当x＝eq\f(5π,6)时，sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，y＝lneq\f(1,2)<0，故选C.4．将函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像向左平移eq\f(π,2)个单位，所得函数的图像与函数y＝f(x)的图像关于x轴对称，则ω的值不可能是()A．2 B．4C．6 D．10答案B解析分别令ω＝2,4,6,10，当ω＝4时，f(x)的图像向左平移eq\f(π,2)个单位后，所得图像对应的函数表达式为Asin[4(x＋eq\f(π,2))＋φ]＝Asin(4x＋φ)＝f(x)，函数的平移前后不变，不满足题意，所以选B.5．若对任意的实数x，y，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)>0，则()A．f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减B．f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增C．f(x)是奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递减D．f(x)是奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递增答案D解析方法一f(0)＝2f(0)⇒f(0)＝0，所以0＝f(0)＝f(x－x)＝f(x)＋f(－x)⇒f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数；设x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)>0，即f(x方法二特殊函数法，令f(x)＝x，知选D.探究本题考查函数的奇偶性与单调性．求出0＝f(0)＝f(x－x)⇒f(－x)＝－f(x)，再由x2>x1，f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)>0，得出结论．抽象函数中合理赋值很关键，要通过本题的学习注重体会，同时本题也可以大胆赋特殊值去猜想结论．6．设数列{xn}满足x1>0，xn＋1＝eq\f(31＋xn,3＋xn)，n＝1,2,3，…，那么()A．数列{xn}是单调递增数列B．数列{xn}是单调递减数列C．数列{xn}或是单调递增数列，或是单调递减数列D．数列{xn}既非单调递增数列，也非单调递减数列答案D解析由于xn＋1－xn＝eq\f(31＋xn,3＋xn)－xn＝eq\f(3－x\o\al(2,n),3＋xn)，令xn＋1－xn＝0，得xn＝eq\r(3)，所以当x1＝eq\r(3)时，数列{xn}既不是单调递增数列，也不是单调递减数列，故选D.7．已知实数a＝log32，b＝ln2，c＝5－eq\f(1,2)，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．a>c>bC．b>c>a D．b>a>c答案D解析显然易知b>a，又c＝5－eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(5))<eq\f(1,2)，a＝log32>log3eq\r(3)＝eq\f(1,2).所以b>a>c.8．在(eq\f(2,x)＋eq\r(x))n的展开式中，各项系数之和为M，各二项式系数之和为N，且8M＝27N，则展开式中的常数项为()A．6 B．7C．8 D．9答案A解析因为当x＝1时，(eq\f(2,x)＋eq\r(x))n＝3n，所以各项系数之和为3n，M＝3n；因为展开式的各二项式系数之和为2n，所以N＝2n.因为8×3n＝27×2n，(eq\f(2,3))n＝eq\f(8,27)，所以n＝3.常数项为Ceq\o\al(2,3)(eq\f(2,x))(eq\r(x))2＝6，故选A.9．已知约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≤0，,ax－y≥0，,x≤1))表示的平面区域为D，若区域D内至少有一个点在函数y＝ex的图像上，则实数a的取值范围为()A．[e,4) B．[e，＋∞)C．[1,3) D．[2，＋∞)答案B解析由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC的内部及边界部分所示，其中直线y＝ax随a的变化绕原点旋转，函数y＝ex在x＝1处与该线相切，由y′|x＝1＝ex|x＝1＝e，知此时切线的斜率kOB＝e，若区域D内至少有一个点在函数y＝ex的图像上，则实数a≥e，故选B.10．已知a，b，c是直角三角形的三边，其中c为斜边，若实数M使不等式eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥eq\f(M,a＋b＋c)恒成立，则实数M的最大值是()A．6＋2eq\r(3) B．5＋3eq\r(2)C．4＋2eq\r(2) D．9答案B解析方法一设eq\f(a,c)＝sinα，则eq\f(b,c)＝cosα，则(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c))(a＋b＋c)＝3＋eq\f(1＋sinα＋cosα1＋sinαcosα,sinαcosα)①，设t＝sinα＋cosα，则1<t≤eq\r(2)，sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，代入①得(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c))(a＋b＋c)＝4＋(t－1)＋eq\f(2,t－1).而f(x)＝x＋eq\f(2,x)在0<x≤eq\r(2)－1时单调递减，故(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c))(a＋b＋c)＝4＋(t－1)＋eq\f(2,t－1)≥5＋3eq\r(2)，故实数M的最大值是5＋3eq\r(2).方法二特例法：∵c＝eq\r(a2＋b2)，∴(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c))·(a＋b＋c)为轮称式，令a＝b得(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c))·(a＋b＋c)＝5＋3eq\r(2)，故选B.11．定义在实数集R上的函数y＝f(x)的图像是连续不断的，若对任意的实数x，存在常数t使得f(t＋x)＝－tf(x)恒成立，则称f(x)是一个“关于t函数”．下列“关于t函数”的结论正确的是()A．f(x)＝0是常数函数中唯一一个“关于t函数”B．f(x)＝x2是一个“关于t函数”C．f(x)＝sinπx不是一个“关于t函数”D．“关于eq\f(1,2)函数”至少有一个零点答案D解析若f(x)＝2，t＝－1，满足f(t＋x)＝－tf(x)恒成立，故f(x)＝2也是常数函数中的一个“关于t函数”，故A不正确；若f(x)＝x2是一个“关于t函数”，一定满足(x＋t)2＝－tx2在x∈R上恒成立，这样的常数t不存在，故B不正确；若f(x)＝sinπx，t＝1，满足sinπ(x＋1)＝sin(π＋πx)＝－sinπx在x∈R上恒成立，所以f(x)＝sinπx是一个“关于t函数”，故C不正确；“关于eq\f(1,2)函数”一定能使f(eq\f(1,2)＋x)＝－eq\f(1,2)f(x)在x∈R上恒成立，则f(eq\f(1,2)＋x)·f(x)≤0，故f(x)存在零点，结论D正确．探究本题以新定义函数为背景，考查函数的性质，考查考生的创新意识和分析问题、解决问题的能力．解题的思路是根据“关于t函数”的定义，对4个结论逐个验证，也可以举反例说明．12．函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(ω>0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－M，f(b)＝M，则函数g(x)＝Mcos(ωx＋φ)在[a，b]上()A．是增函数 B．是减函数C．可以取得最大值M D．可以取得最小值－M答案C解析取φ＝0，ω＝1，M＝1，则f(x)＝sinx.∵f(－eq\f(π,2))＝－1，f(eq\f(π,2))＝1，则[a，b]＝[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]．这时g(x)＝cosx，故选C.二、填空题13．已知x，y均为正实数，且xy＝x＋y＋3，则xy的最小值为________．答案9解析方法一因为xy＝x＋y＋3≥2eq\r(xy)＋3，所以(eq\r(xy)－3)·(eq\r(xy)＋1)≥0，即xy≥9(当且仅当x＝y＝3时等号成立)．方法二令x＝y，得x2－2x－3＝0，x＝3.∴xy＝9.14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则eq\f(cosA＋cosC,1＋cosAcosC)＝________.答案eq\f(4,5)解析方法一取特殊值：a＝3，b＝4，c＝5，则cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝0，eq\f(cosA＋cosC,1＋cosAcosC)＝eq\f(4,5).方法二取特殊角：A＝B＝C＝eq\f(π,3)，cosA＝cosC＝eq\f(1,2)，eq\f(cosA＋cosC,1＋cosAcosC)＝eq\f(4,5).15．(2014·湖北八市联考)如图，已知|eq\o(OA,\s\up16(→))|＝2，|eq\o(OB,\s\up16(→))|＝1，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))，若点P在阴影部分(含边界)内，则在下列给出的关于x，y的式子中，满足题设条件的为________．(写出所有正确式子的序号)①x≥0，y≥0；②x－y≥0；③x－y≤0；④x－2y≥0；⑤2x－y≥0.答案①③⑤解析先分析两种临界状态，当点P在射线OM上时，由角平分线性质知eq\o(OP,\s\up16(→))＝λ(eq\f(\o(OA,\s\up16(→)),|\o(OA,\s\up16(→))|)＋eq\f(\o(OB,\s\up16(→)),|\o(OB,\s\up16(→))|))＝eq\f(λ,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＋λeq\o(OB,\s\up16(→))，此时x＝eq\f(λ,2)，y＝λ，即y＝2x；当点P在射线ON上时，由中线性质知eq\o(OP,\s\up16(→))＝λ(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→)))，此时y＝x，所以x≤y≤2x.故结合选项知应填①③⑤.16．如图所示，在△ABC中，AO是BC边上的中线，K为AO上一点，且eq\o(AO,\s\up16(→))＝2eq\o(AK,\s\up16(→))，过点K的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq\o(AB,\s\up16(→))＝meq\o(AM,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))＝neq\o(AN,\s\up16(→))，则m＋n＝________.答案4解析当过点K的直线与BC平行时，MN就是△ABC的一条中位线(∵eq\o(AO,\s\up16(→))＝2eq\o(AK,\s\up16(→))，∴K是AO的中点)．这时由于有eq\o(AB,\s\up16(→))＝meq\o(AM,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))＝neq\o(AN,\s\up16(→))，因此m＝n＝2，故m＋n＝4.17．在三棱柱ABC－A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，则V1答案7∶5解析由题意分析，结论与三棱柱的具体形状无关，因此，可以取一个特殊的直三棱柱，其底面积为4，高为1.则体积V＝4，而V1＝eq\f(1,3)(1＋eq\r(4)＋4)＝eq\f(7,3)，V2＝4－eq\f(7,3)＝eq\f(5,3).∴V1∶V2＝7∶5.18．若函数y＝f(x)对定义域D内的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使得f(x1)·f(x2)＝1成立，则称f(x)为“自