数学建模入门课件

数学建模入门主讲人：胡善炜主要知识点：1、模型：对于事物的一种简单及代表性的概括，包括实物文字等。2、数学模型：对于一个实际问题按其内在规律，进行一些合理的、必要的假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。3、数学建模：通过数学的分析与计算，求解此数学结构所得结果能成功解决原实际问题的过程为数学建模。4、建立数学模型的主要步骤：1）分析实际问题2）模型假设3）建立数学模型4）模型求解5）模型验证贷款买房方案的选择如有一家庭，为了买房需要向银行贷款10万元，已知利率是按月计算，且为复利率。月利率为0.01，贷款期限为25年。问这个家庭每月平均要向银行交款多少？一共付给银行多少钱？如果25年后再开始还款，那时应付给银行多少钱？复利率：每年(或每月)都结算一次利息，然后把本金和利息之和作为下一年的本金，即到下一年结算利息时就用这个数字作为本金。1、分析实际问题；2、模型假设；假设1：25年内银行的利率保持不变。假设2：25内该家庭始终具有还款能力，且不提前还清贷款。3、用字母表示待求的未知量；

贷款额

M0=10万元，贷款期限t=25年=300个月，月利率R=0.01，N表示贷款后的第N个月,MN为第N个月末尚欠银行的钱数，x表示平均每月向银行还款的钱数。这里x为因变量，N为自变量。4、模型建立；

M0=100000（1）则M1=M0(1+R)-x（2）

M2=M1(1+R)-x（3）

……第N个月后尚欠银行的钱数为

MN=MN-1(1+R)-x（4）其中N=1,2,3,……,300这就是该家庭各月前银行钱数的数学模型5、进行模型求解；将（1）、（2）、（3）带入（4），求出x=1053.22元这样，一共付给银行数为

300×x=315966元如果一直等到25年以后再开始还贷款，那么应还钱数为

M0(1+R)300≈19.7884663M0_=1978846.63元当年借了10万元，25年后就变成了197.884663万元。2、生产决策某厂生产某机器，决策者可选择生产10，20，30台，实际需求10台的概率为p=0.5，需求20台的概率为p=0.3，需求30台的概率为p=0.2，又卖一台获利10万元，滞销一台损失2万元，问如何生产？并画出决策树。解：E(A)=10×10×0.5+10×10×0.3+10×10×0.2=100E(B)=[10×10+（20-10)×(-2)]×0.5+20×10×0.3+20×10×0.2=140E(C)=[10×10+(30-10)×(-2)]×0.5+[20×10+(30-20)×(-2)]×0.3+30×10×0.2=144选择生产30台3、某市要投资一个项目，有3个方案可供选用：（1）一次投资到位，需要资金1.4亿元。根据测算，该项目产品如果销售好，每年可获利2千万元；如果销售差，每年将亏损0.5千万元，项目的服务期20年。（2）a、二次投资，先投资5.8千万元，如果第一次投资产品销售好，每年可获利0.8千万元，销售差时，每年可获利0.6千万元，如果销售好时，六年后扩大项目规模，追加投资8千万元；扩大规模后，每年获利1.9千万元，扩建后的服务期是14年。b、仅仅小规模投资5.8千万元，服务期20年。根据市场预测，该项目上马后，产品20年内销售好的概率为0.7，销售不好的概率为0.3。请选择最优决策方案。一、模型假设二、决策树三、模型求解E(A)=2×20×0.7+(-0.5)×20×0.3-14=11E(D)=0.8×6×0.7+1.9×14-(5.8+8)=16.16E(F)=0.8×20×0.7+0.6×20×0.3-5.8=9选择方案（2）。决策模型

决策按照方案和条件可分类为：1、确定型决策当状态只有一种时的决策问题是确定型决策2、风险型决策当未来条件不完全确定，但这些状态的概率已知，这种条件下所做的决策具有一定的风险性，所以此类决策称为风险型决策。

3、不确定型决策在未来情况和条件不完全清楚、又无法估计其出现的概率，在此情况下所进行的决策为不确定型决策。对于风险型决策一般用下列三种方法解决：一、最大可能准则决策方法二、期望准则决策方法三、决策树法存贮模型需求为离散型随机变量的存贮模型例：报童问题一个报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖。已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元。如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但这时报童每100份报纸要赔4元。报童每天售出的报纸数x是一随机变量，概率分布如表。问报童每天订购多少份报纸最佳？售出报纸数x/百份012345概率P(x)0.050.10.250.350.150.1设每天订购Q百份报纸，则收益函数为利润的期望值为售出报纸数x/百份012345概率P(x)0.050.10.250.350.150.1分别求出Q=0,Q=1,Q=2,Q=3,Q=4,Q=5时的利润期望。Q=0E(y(x))=0Q=1E(y(x))=(-4×0.05+7×0.1)+

（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45Q=2E(y(x))=(-8×0.05+3×0.1+14×0.25)+14(0.35+0.15+0.1)=11.8Q=3E(y(x))=(-12×0.01×0.1+10×0.25+21×0.35)+21×(0.15+1)=14.4Q=4E(y(x))=(-16×0.05-5×0.1+6×0.25+17×0.35+28×0.15)+28×0.1=13.15Q=5E(y(x))=（-20×0.05-9×0.1+2×0.25+13×0.35+24×0.15+35×0.1）=10.25订300份报纸，报童可以获得最大利润判断下列是否为命题：（1）雪是白的。（2）雪是黑的。(3)好大的雪啊！（4）一个偶数可表示成两个素数之和。（5）1+101=110.将下列命题符号化：（1）李明既聪明又用功。（2）除非你努力，否则你将失败。（3）A中没有元素，A就是空集。（4）如果我上街，除非我很累，我就去书店看看。（5）小王现在在宿舍或在图书馆。解（1）P：李明聪明，Q：李明用功，符号化为P∧Q。（2）P：你努力，Q：你失败，符号化为¬P→Q。

（3）P：A中没有元素，Q：A是空集，符号化为

P↔Q。（4）P：我上街，Q：我去书店看看，R：我很累。符号化为（¬R∧P）→Q。（5）因为P:“小王现在在宿舍”与Q:“小王现在在图书馆”不能同时成立，所以该命题符号化为(¬P∧Q)∨(P∧¬Q)。基本等价式——命题定律虽然用真值表法可以判断任何两个命题公式是否等价，但当命题变元较多时，计算量较大。可以先用真值表验证一组等价式，以后作为等值演算的基础，来判断公式之间是否等价。这种证明方法称为公式法。下面给出14组常用的重要等价式。(1)双重否定律：¬¬A<=>A。(2)结合律：(A∨B)∨C<=>A∨(B∨C),(A∧B)∧C<=>A∧(B∧C),(A↔B)↔C<=>A↔(B↔

C)。(3)交换律：A∨B<=>B∨A，A∧B<=>B∧A，

A↔B<=>B

↔A。(4)分配律：A∨(B∧C)<=>（A∨B）∧

（A∨C）,A∧

(B∨C)<=>（A∧B）∨（A∧C

）。(5)等幂律（恒等律）：A∨A<=>A，A∧A<=>A。(6)吸收律：A∨(A∧B)<=>A，A∧(A∨B)<=>A。(7)德.摩根律：¬(A∨B)<=>¬A∧

¬B,¬(A∧B）<=>¬A∨

¬B。(8)同一律：A∨F

<=>A，A∧T

<=>A。(9)零律：A∨T

<=>T，A∧F

<=>F。(10)补余律：A∨¬A

<=>T，A∧

¬A<=>F。(11)条件转化律：（A→B）<=>¬A∨B<=>¬B→¬A。(12)双条件转化律：A↔B<=>（A→B）∧（B→A）,<=>（A∧B）∨（¬A∧¬B）。(13)输出律：（A∧B）→C

<=>A→（

B→C）。(14)归谬律：（A→B）∧（A→¬B

）<=>¬A。上述定律均可通过真值表加以验证。其中最重要的是（4）（7）（11）在证明中常用。（5）（6）对简化公式是有用的。谁在说谎（1）张三说李四在说谎；（2）李四说王五在说谎；（3）王五说张三和李四都说谎。问：谁在真话，谁说谎话？解：A：张三说真话。B：李四说真话。C：王五说真话。则（1）式：P<=>A↔¬B；

（2）式：Q<=>B↔¬C；（3）式：R<=>C↔¬A∧

¬B。将由双条件转化律化简得：P<=>A↔¬B<=>（A→¬B）∧（¬B→A）

<=>（¬A∨B）∧（B∨A）；Q<=>B↔¬C<=>（¬B∨C）∧（C∨B）；R<=>C↔¬A∧

¬B<=>（C→¬

（¬A∧

¬B））∧（¬

（¬A∧

¬B）→C））

<=>（C→（A∨B））∧（（A∨B）→C））<=>（¬C∨（A∨B））∧（¬

（A∨B）∨

C））<=>（¬C∨A∨B）∧（¬A∨

¬B∨C））

P∧Q∧R<=>（¬A∨B）∧（B∨A）∧（¬B∨C）∧（C∨B）

∧（¬C∨A∨B）∧（¬A∨

¬B∨C））<=>¬A∧B∧¬C<=>T

所以得到李四说了真话。例：举重比赛，一主裁判两副裁判，当认为杠铃已经“完全举上”时，就按一下自己前面的按钮，裁决“完全举上”的信号（显示灯）只有在三裁判同时按下按钮或者一主一副同时按下各自按钮时，显示灯才亮。设计此系统的逻辑线路。解：设A为主裁判，B、C为副裁判。

X=（

A∧B∧¬C）∨（A∧¬B∧C）∨（A∧B∧C）

<=>（A∧B∧¬C）∨（（A∧C

）∧（B∨¬B））

<=>（A∧B∧¬C）∨（A∧C

）

<=>A∧

（（B∧

¬C）∨

C）

<=>A∧（

B∨C）线路图如下盐水稀释问题设容器内有100kg盐水，浓度为10%（即含盐10kg），现在每分钟输入浓度为1%的盐水6kg，同时每分钟输出盐水4kg,试问：经过50min,容器内盐水浓度是多少？（假设变化过程中，任何时刻容器内盐水的浓度是均匀的）模型分析：盐水浓度和盐水量因每分钟输入1%的盐水6kg和同时每分钟输出4kg盐水，浓度不断变化就必有变化率，所以一定要用到微积分的知识，即用微分方程来解决。直接求问题的结论是困难的，我们要将问题转化为求盐水浓度变化率（即导数）所满足的关系式，然后再给出问题的结论。此问题所涉及的主要量有：时间t,t时刻的容器内盐水的浓度为ρ(t)、t时刻容器内盐水量为Q(t)、t时刻容器内含盐量为x(t)和含水量为H(t)。显然，t=0时，有

ρ(0)=10%（1）

H(t)=Q(t)-x(t)（2）由于容器内的盐水量、含盐量、含水量都在不停的变化。它们的变化率分别为KQ(t)、Kx(t)、KH(t)。在整个变化过程中的任意时刻t，关系式为

ρ(t)=x(t)/Q(t)(3)

Q(t)=100+2t(4)始终是成立的。在t+△t时刻，同样有关系式

ρ(t+△t)=x(t+△t)/Q(t+△t)(5)

Q(t+△t)=100+2（t+△t）(6)模型建立：在模型建立过程中，我们将先构建浓度ρ(t)变化的微分方程。t+△t时刻容器内盐水的含盐量为x(t+△t)≈x(t)+0.06△t-4ρ(t)△t=ρ(t)Q(t)+0.06△t-4ρ(t)△t(7)

将（6）（7）代入（5）式，得

（8）从而有ρ(t+△t)[100+2(t+△t)]=ρ(t)Q(t)+0.06△t-4ρ(t)△t(9)[ρ(t+△t)-ρ(t)][100+2(t+△t)]=0.06△t-6ρ(t)△t(10)对（10）式两边同除△t，得