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1一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系10.2对坐标的曲线积分21.引例:

变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用从点A沿光滑曲线弧C

移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.10.2.1第二型曲线积分的概念31)“大化小”.把C分成n个小弧段,所做的功为F

沿则2)“常代变”有向小弧段近似代替。可用切线段则有上任取一点在其中，4

3)“近似和”4)“取极限”52.定义68两类曲线积分之间的联系9例

设为从原点到的直线段，则沿曲线方向单位切向量为例

设为从原点的直线段，则沿曲线方向单位切向量为3.第二型曲线积分的性质10．2．2第二型曲线积分的计算①

注:

②

③

16例1.计算其中L为沿抛物线解法1

取x

为参数,则解法2取y

为参数,则从点的一段.17例2.计算其中L为(1)半径为a

圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点

B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则18例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式19例4.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)

的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为20例5.求其中从

z

轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程三、两类曲线积分之间的联系2526272829例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周31二者夹角为例8.设曲线段L

的长度为s,证明续,证:设说明:

上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连作业

习题一（P209）1（1）（3）（5）（7）；2

；3

。331.定义2.性质(1)L可分成k

条有向光滑曲线弧(2)L－

表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结343.计算•对有向光滑弧•

对有向光滑弧354.两类曲线积分的联系•

对空间有向光滑弧

:36原点O

的距离成正比,思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:F

的大小与M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.思考:

若题中F的方向

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