利用正余弦定理解三角形题型全归纳-高三数学一轮复习（解析版）

利用正余弦定理解三角形题型全归纳题型一、利用正、余弦定理求边长例题1、（2021•迎江区校级三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且b≠c，若sinB＝2sinA．（1）求b的值；【解答】（1）因为sinB＝2sinA，由正弦定理知，所以b＝2a，由余弦定理知，因为，所以，化简得2a2﹣7a+6＝0，解得a＝2或，当时，b＝2a＝3＝c，与题意矛盾；当a＝2时，b＝2a＝4≠c，符合题意，∴b＝4．【解题技法】1、必备公式：正弦定理、余弦定理公式、三角函数和差角公式；2、题型要求：在等式条件中，等号两边的每一项都存在角的正弦值、边或边与正弦值的积的形式；3、利用“边化角”，即把a,b,c化为sinA,sinB,sinC的形式，或者利用“角化边”即把sinA,sinB,sinC化为a,b,c的形式。然后再考虑用余弦定理、三角形面积公式、或者三角函数和差角公式求解即可。变式训练1、（2021•和平区模拟）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinA＝2csinB，且b＝3，．（1）求a的长；【解答】（1）由正弦定理，及bsinA＝2csinB，可得ab＝2bc，即a＝2c．由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，∴9＝a2+a2﹣a2×，解得a＝3．变式训练2、（2021•上饶三模）已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝．（1）求b的值；【解答】（1）因为＝，所以利用余弦定理可得+＝，整理可得＝，所以解得b＝．变式训练3、（2021•武进区校级模拟）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知（﹣cosA）c＝acosC．（1）求；【解答】（1）因为（﹣cosA）c＝acosC，所以由正弦定理可得sinC﹣cosAsinC＝sinAcosC，即sinC＝sinCcosA+sinAcosC＝sin（A+C），而sin（A+C）＝sinB，所以c＝b，故＝．变式训练4、（2021•泰安模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinB＝（bsinB﹣bcosB）cosC，b＝3，B≠．（1）若a＝5，求c；【解答】（1）因为asinB＝（bsinB﹣bcosB）cosC，所以sinAsinB＝（sinBsinB﹣sinBcosB）cosC，因为sinB≠0，所以sinA＝（sinB﹣cosB）cosC，所以sinBcosC+cosBsinC＝sinBcosC﹣cosBcosC，整理可得cosB（sinC+cosC）＝0，因为B≠，所以cosB≠0，可得tanC＝﹣，可得C＝，由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得c2＝25+9﹣2×＝49，所以c＝7．题型二、利用正、余弦定理求角度例题2、（2021•四川模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2b+c）cosA+acosC＝0．（1）求角A的大小；【解答】（1）由（2b+c）cosA+acosC＝0，根据正弦定理有（2sinB+sinC）cosA+sinAcosC＝0．所以2sinBcosA+sinCcosA+sinAcosC＝0，所以2sinBcosA+sin（C+A）＝0，即2sinBcosA+sinB＝0．因为0＜B＜π，所以sinB≠0，所以，因为0＜A＜π，所以．【解题技法】在解三角形中，常用公式：sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC；第一步：先考虑用正弦定理，尝试“角化边”或者“边化角”；第二步：再考虑用余弦定理，注意能化为整式计算的尽量化为整式计算；第三步：当心“符号”，内角为钝角时，余弦值为负，内角为锐角时，余弦值为正，变式训练1、（2021•孟津县校级模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2acosA＝bcosC+ccosB．（1）求A；【解答】（1）由2acosA＝bcosC+ccosB得2sinAcosA＝sinBcosC+sinCcosB，即2sinAcosA＝sin（B+C）＝sinA，所以cosA＝，即A＝；变式训练2、（2021•麒麟区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且cosA（ccosB+bcosC）+asinA＝0．（1）求A；【解答】（1）cosA（ccosB+bcosC）+asinA＝0，可得cosA（sinCcosB+sinBcosC）+sin2A＝0，即cosAsin（B+C）+sin2A＝0，即cosAsinA+sin2A＝0，因为sinA≠0，所以cosA＝﹣sinA，即tanA＝﹣，因为A∈（0，π），所以A＝．变式训练3、（2021•拉萨二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosC＝．（1）求角B；【解答】（1）∵，∴2bcosC＝2a﹣C，由正弦定理可得，2sinBcosC＝2sinA﹣sinC，即2sinBcosC＝2sin（B+C）﹣sinC，化简可得，sinC＝2sinCcosB，又∵sinC≠0，∴cosB＝，∵B∈（0，π），∴．变式训练4、（2021•新疆模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；【解答】（1）由正弦定理得，即，又0°＜C＜180°，所以C＝30°．题型三、结合二倍角公式解三角形例题3、（2021•上饶模拟）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c且满足cos2A﹣5cos（B+C）﹣2＝0．（1）求角A的大小．【解答】（1）因为cos2A﹣5cos（B+C）﹣2＝0，所以2cos2A﹣1﹣5（﹣cosA）﹣2＝0，整理可得2cos2A+5cosA﹣3＝0，所以解得cosA＝，或﹣3（舍去），因为A∈（0，π），所以A＝．【解题技法】1、必备公式：三角函数二倍角公式（升幂公式）2、题型要求：条件中有sin2A或者cos2A类型的条件，先考虑用二倍角公式化简；第一步：把条件中的sin2A或者cos2A用公式展开，再合并化简；第二步：若化简后，存在一个未知值且有二次项，则作为一元二次方程求解；第三步：若化简后，存在两个未知值，则求其化值另作它用。变式训练1、（2021•香洲区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，已知6sinCcosA＝7sin2A，且5a＝3b．（1）求C；【解答】（1）∵6sinCcosA＝7sin2A，得6sinCcosA＝14sinAcosA，∴cosA＝0或3sinC＝7sinA，∵5a＝3b，∴a＜b，所以A≠90°，cosA≠0，∴3sinC＝7sinA，所以，又∵5a＝3b，得，代入，得，因为0°＜C＜180°，所以C＝120°．变式训练2、（2021•江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A＝1+3cos（B+C）．（1）求角A的值；【解答】（1）∵cos2A＝1+3cos（B+C），又∵cos2A＝2cos2A﹣1，cos（B+C）＝﹣cosA，∴2cos2A+3cosA﹣2＝0，即（cosA+2）（2cosA﹣1）＝0，∴，．变式训练3、（2021•九江三模）△ABC中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，A为锐角．（1）求A的大小；【解答】（1）因为，可得2sin2＝•，所以2sincos＝sinA＝，因为A为锐角，所以A＝．例题4、（2021•鸡冠区校级三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边依次为a，b，c，．（1）求角C；【解答】（1）因为，所以sin2（）﹣cos2C＝，所以cos2﹣cos2C＝，所以﹣cos2C＝，即cosC＝2cos2C，所以cosC＝0，或cosC＝，因为C∈（0，π），所以C＝，或．【解题技法】第一步：利用二倍角公式进行降幂化简；第二步：若存在边角形式，可以考虑正弦定理与余弦定理；第三步：在化简过程中遵守未知量宜少不宜多，遇切化弦，遇角判断符号。变式训练1、（2021•金华模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a且．（1）求角C的大小；【解答】（1）∵，在△ABC中，A+B+C＝π，∴2cos2＝sinC+1，∴cosC＝sinC，∴tanC＝∵C∈（0，π），∴C＝．变式训练2、（2021•沙坪坝区校级模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccos2+bsin2＝．（1）求C；【解答】（1）∵ccos2+bsin2＝，∴c+b＝，即ccosB+b（1﹣cosC）＝a，由正弦定理可得sinCcosB+sinB（1﹣cosC）＝sinA＝sinBcosC+cosBsinC，化简可得sinB＝2sinBcosC，又B∈（0，π），sinB≠0，则cosC＝，故C＝．变式训练3、（2021•全国Ⅱ卷模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3cosC＝2cos2．（1）求sinC；【解答】（1）∵3cosC＝2cos2．又∵2cos2＝1+cosC，∴3cosC＝1+cosC，∴，∵C∈（0，π），∴．变式训练4、（2021•聊城三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，（1）求角B的大小；【解答】（1）∵A+B+C＝π，∴，由，得，即10×＝7﹣（2cos2B﹣1），化简得2cos2B+5cosB﹣3＝0，解得或cosB＝﹣3（舍），∵0＜B＜π，∴．变式训练5、（2021•烟台三模）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足．（1）求A；【解答】（1）因为，所以2（1+cosA）﹣cos2(π﹣A)＝,即2cosA+1﹣(2cos2A﹣1)＝,整理可得：4cos2A﹣4cosA+3＝0,解得：cosA＝或cosA＝﹣3(舍），在△ABC中可得A＝；变式训练6、（2021春•安徽期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．且．（1）求角A的大小；【解答】（1）因为＝4a•，整理可得2b+c＝2acosC，所以2b+c＝2a•，整理可得b2+c2﹣a2＝﹣bc，所以cosA＝＝＝﹣，因为A∈（0，π），所以A＝．变式训练7、（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cosB；【解答】（1）sin（A+C）＝8sin2，∴sinB＝4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1＝0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）＝0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）＝0，∴cosB＝；变式训练8、（2020•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2（+A）+cosA＝．（1）求A；【解答】（1）∵cos2（+A）+cosA＝sin2A+cosA＝1﹣cos2A+cosA＝，∴cos2A﹣cosA+＝0，解得cosA＝，∵A∈（0，π），∴A＝；题型四、平面四边形类型例题5、（2021•苏州模拟）如图，在平面四边形ABCD中，BC＝1，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°．∠CBD＝30°，（1）求三角形ABD的面积；【解答】（1）因为BC＝1，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°，∠CBD＝30°，可得∠BDC＝90°，∠ABD＝60°，∠BDA＝45°，在△BCD中，由正弦定理＝，可得＝，可得BD＝，在△ABD中，由正弦定理＝，可得＝，可得AB＝＝，所以S△ABD＝AB•BD•sin∠ABD＝××＝．【解题技法】第一步：在平面四边形中，寻找三角形，把已知条件标在各个三角形中；第二步：利用三角形内角和定理、外角和定理、三角形边角关系（直角三角形边勾股定理、特殊三角形的边比例关系）求出边或角；第三步：在各个三角形中利用正弦定理求解，有未知量的设出未知数。变式训练1、（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；【解答】（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．变式训练2、（2021•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC．（1）证明：BD＝b；【解答】（1）证明：由正弦定理知，，∴b＝2Rsin∠ABC，c＝2Rsin∠ACB，∵b2＝ac，∴b•2Rsin∠ABC＝a•2Rsin∠ACB，即bsin∠ABC＝asinC，∵BDsin∠ABC＝asinC，∴BD＝b；变式训练3、（2021•洛阳模拟）在平面四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AD＝2，BD＝4．（1）求cos∠ABD；【解答】（1）在△ABD中，由正弦定理可得，∵∠A＝60°，AD＝2，BD＝4，∴，∵BD＞AD，∴∠ABD＜60°，∴＝．变式训练4、（2021•诸暨市模拟）如图，已知平面四边形ABCD中，AB＝CD＝1．，，（1）求△ABD的面积；【解答】（1）由已知利用正弦定理可得，∴，∴，例题6、（2021•辽宁模拟）如图，在△ABC中，D为BC的中点，AB＝4，AD＝，AC＝6．（1）求△ABC的面积；【解答】（1）设BD＝CD＝x，在△ABD中，利用余弦定理，在△ACD中，利用余弦定理，所以，cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，整理得，解得x＝4或﹣4（舍去），故cosC＝，所以，故．【解题技法】第一步：多审题，熟条件；第二步：标条件，找三角形；第三步：在三角形内利用余弦定理求解；第四步：根据题意判断取值。变式训练1、（2021春•孝感期中）如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBD＝90°，．BD＝2AB＝2，（1）求AC的长；【解答】（1）因为BD＝2，AB＝1，∠DAB＝90°可得cos∠ABD＝＝，可得∠ABD＝60°，又∠CBD＝90°，可得∠ABC＝60°+90°＝150°，在△ABC中，由余弦定理得：则AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC＝1+3﹣2×（﹣）＝7，所以AC＝；变式训练2、（2021•浙江模拟）如图，在△ABC中，AB＝6，，点D在BC边上，AD＝4，∠ADB为锐角．，（1）求DC；【解答】（1）在△ABD中，由余弦定理，∴BD＝5或BD＝4．当BD＝4时，，则，不合题意，舍去；当BD＝5时，，则，符合题意．∴BD＝5．在△ABC中，，∴BC＝12或BC＝﹣3（舍）．∴DC＝BC﹣BD＝7．变式训练3、（2021•河南