概率论与统计课件：概率论与统计课件：第五节（第三章）

§3.5

两个随机变量函数的分布

本节讨论已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)的情况下，如何求随机变量函数与单个随机变量的函数类似，先求出随机变量函数Z的分布函数，然后再求其概率密度．借助几何直观，随机点落在区域D的概率等于以概率密度为顶，D为底的曲顶柱体体积，所以的分布密度问题．其中D={(x，y)|φ(x,y)≤z}．

下面讨论几个常用的二维随机变量函数的分布(以下设X、Y是定义在同一样本空间的随机变量)．一、Z=X＋Y的分布设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则Z=X＋Y的分布函数为

FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}x+y=zyx将上式关于z求导(这里设求导与积分次序可以交换)，得到Z的概率密度为若先对x积分，且注意到x、y的对称性，则得到Z的概率密度的另一种表达式：如果X和Y是两个相互独立的随机变量，即f(x,y)=fX(x)fY(y)于是这两个公式称为卷积公式，记为例1设X与Y相互独立且都服从N(0,1)，求Z=X＋Y的概率密度．解由条件知结果表明X＋Y～N(0,2)．即两个独立的正态随机变量之和仍为正态随机变量．一般地，若X～N(μ1,σ12），Y～N(μ2,σ22)，X与Y相互独立，则X＋Y～N(μ1＋μ2,σ12＋σ22)。

还可以推广到n个独立正态随机变量之和情况：若Xi～N(μi,σi2)(i=1,2,…,n),则～一般地，可以证明n个独立正态随机变量Xi～

N(μi,σi2)(i=1,2,…,n)的线性组合Z仍然服从正态分布，且二、Z=X2＋Y2的分布只就下列情况讨论．例2设X、Y相互独立且都服从N(0,1)，求Z=X2＋Y2的概率密度．～

解FZ(z)=P{Z≤z}=P{X2＋Y2≤z}由于X、Y独立，f(x,y)=fX(x)fY(y)Z＞0时，两边对z求导，得fZ(z)=Z≤0时，FZ(z)=0，于是fZ(z)=0Z服从自由度为2的Χ2分布．也服从参数为1/2的指数分布．三、M=max{X,Y}及N=min{X,Y}的分布设X、Y是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为

FX(x)、FY(y)，试求M=max{X,Y}及N=min{X,Y}的分布函数．因为M小于z，等价于X、Y都小于z．再利用独立性，得

FM(Z)=P{M≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}=FX(z)FY(z)

类似地可得到N=min{X，Y}的分布函数为

FN(z)=P{N≤z}=1－P{N＞z}=1－

P{X＞z,Y＞z}=1－P{X＞z}P{Y＞z}=1－[1－

P{X≤z}][1－

P{Y≤z}]=1－[1－

FX(z)][1－

FY(z)]．以上结果可以推广到n个随机变量情况．若X1、X2、…、Xn为n个相互独立的随机变量，分布函数分别为则M

=max{X1,X2,…,Xn}的分布函数为N=min{X1,X2,…,Xn}的分布函数为特别：若X1、X2、…、Xn独立同分布，分布函数都为F(x)，则

Fmax(z)=[F(z)]n

Fmin(z)=1－[1－

F(z)]n例3设系统L由两个相互独立的子系统L1、L2联接而成，联接方式分别为串联、并联．如图所示．已知L1、L2的寿命分别为X，Y，概率密度分别为其中α＞0，β＞0，且α≠β．试分别就以上两种联接方式写出L的寿命Z的概率密度．解：(1)串联情况．由于L1、L2中有一个损坏时系统L就停止工作，所以这时L的寿命Z=min(X,Y)．XY

L1L2XXL1L2FZ(z)=1－[1－FX(z)][1－FY(z)]于是Z=min(X,Y)的概率密度为

(2)并联情况，由于当且仅当L1、L2都损坏时，系统L才停止工作，所以此时L的寿命Z=max(X,Y)其分布函数为

Fmax(z)=FX(z)FY(z)于是Z=max(X,Y)的概率密度为例4设随机变量X、Y相互独立，其概率密度分别为求随机变量Z=2X＋Y的概率密度．解由于X、Y相互独立，所以(X,Y)的概率密度函数为

f(x,y)=

fX(x)fY(y)2x+y=zyz

oz/2x(1)当z≤0时，f(x,y)=0∴FZ(z)=0．(2)当0＜z≤2时，

(3)当z＞2时，已知两个离散型随机变量X、Y的联合分布，求X、Y的函数概率分布与求一维离散型随机变量函数的概率分布类似，本质上是利用事件与概率运算法则，下面举例说明．例5设离散型随机变量(X,Y)的概率分布为求：(1)S=X＋Y；(2)T=|X－Y|;(3)M=max{X,Y}；(4)N=min{X

,Y}

的概率分布．012000.20.310.20.10.2YX解(1)S=X＋Y的可能取值：0，1，2，3.S0123P00.40.40.2012000.20.310.20.10.2YX(2)T=|X-Y|

的可能取值：0，1，2.T012P0.10.