2023年1月份第2周 数学好题推荐（含解析）

2023年1月份第2周数学好题推荐学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题1、若，则()A. B. C. D.i2、的展开式中的系数为()A.-56 B.-28 C.28 D.563、我国古代将“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社团计划开展“六艺”讲座活动，要求活动当天每艺安排一节，连排6节，且“数”必须排在第3节，“射”和“御”相邻，则不同的安排顺序共有()A.12种 B.24种 C.36种 D.48种4、函数在单调递减，且为奇函数.若,则满足的x的取值范围是()A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.5、已知函数则函数的零点个数为()A.4 B.5 C.6 D.76、已知角的终边经过点,则的值为()

A. B. C. D.7、已知单调递增的等比数列中,，则数列的前n项和()

A. B. C. D.8、志愿服务活动,是公民参与社会活动的重要形式,也是现代文明的基本特征,某种程度上这一无偿的公益性活动,代表着整个社会的文明水平,是奉献精神的体现.近年来我国这一群体正在悄然壮大,在救灾抢险、扶弱助残、环境保护、社区建设等各个领域都可看到志愿者的身影.根据调查,志愿者团队愿意参与社区活动的人数为总人数的,用频率估计概率,则从该团队中任选三名,至少有两名志愿者愿意参与社区活动的概率为()A. B. C. D.9、已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.10、已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为，则O到平面ABC的距离为()A. B. C.1 D.11、已知是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有，则的值为()A.3 B.5 C.7 D.912、已知，集合，，则()A. B. C.或 D.13、若是函数的极值点，则的极小值为()A.-1 B. C. D.114、已知点落在角的终边上，且，则的值为()A. B. C. D.15、设的定义域为R,周期为,初相为,值域为,则函数的解析式为()

A.

B.

C.

D.16、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则().A. B. C. D.二、多项选择题17、已知椭圆C的中心在原点，焦点，在y轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点作y轴的垂线，交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是()A.椭圆方程为 B.椭圆方程为C. D.的周长为18、已知，，且a，b都是不等于1的实数，则下列不等式成立的是().A. B. C. D.三、填空题19、已知函数，曲线在点处的切线方程是，则函数在点处的切线方程是____________.20、______________.21、平面向量，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则________.22、已知数列对任意m，都满足，且，若命题“，”为真，则实数的最大值为_____________.23、若的三个顶点分别为,则角的大小为__________________.四、解答题24、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，的面积为，求b的值.25、设数列的前n项和为，数列的前n项和为.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.26、已知函数.（1）讨论函数的单调性与极值；（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围.27、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求C；(2)已知的外接圆半径为4，若有最大值，求实数m的取值范围.28、已知是等差数列的前n项和，，.（1）求；（2）若，求数列的前n项和.29、如图，在三棱柱中，为等边三角形，侧面为菱形，，且侧面底面ABC，点D为的中点，点E为直线与平面ABC的交点.(1)试确定点E的位置，并证明：平面；(2)求直线AB与平面所成角的正弦值.30、已知椭圆，其左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于A，B两点，且椭圆的离心率.（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆上存在一点M，使得，求直线l的方程.

参考答案1、答案：D解析：由，得，所以，故选D.2、答案：B解析：由题知，展开式的通项公式为，将含项记为M，则，故含项的系数为-28，故选：B.3、答案：C解析：分析可知“数”排在第3节，且“射”和“御”相邻时，有种排法，再将“礼”、“乐”、“书”安排在剩下的3节，有种排法，所以不同的安排顺序共有（种）.故选：C.4、答案：D解析：∵奇函数在上单调递减，且，∴，由，得，∴，故选D5、答案：D解析：本题考查分段函数的图像和函数的零点个数.函数的零点个数就是方程的根的个数，即为函数与图像的交点个数.当时，，则；以此类推，当时，；…；在平面直角坐标系中作出函数与的部分图像如图所示.由图像可知，与的图像有7个不同的交点，即函数有7个零点.故选D.6、答案：D解析：角的终边经过点以为圆心，过点的圆的半径，，故选D.7、答案：B解析：，由等比数列的性质可得为方程的实根，解方程可得或.等比数列单调递增，.8、答案：D解析：有两人愿意参加社区活动的概率为,三人都愿意参加社区活动的概率为,所以至少有两人愿意参加社区活动的概率为,故选D.9、答案：B解析：由，得，焦点，准线，从而，如图所示.设.，，.结合图形知，当AP与抛物线相切时，最小，从而m最大.设直线AP的方程为，由得，令，解得，不妨取，得P点坐标为.设双曲线的方程为.在双曲线中，，即，，离心率，故选B.10、答案：C解析：设球O的半径为R，则，解得：.设外接圆半径为r，边长为a，是面积为的等边三角形，，解得：，，球心O到平面ABC的距离.故选：C.11、答案：B解析：由，且是单调函数可知必是常数，设(k为常数)，得，且，解得，所以，.12、答案：解析：由得或，则或，故，故.故选D.13、答案：A解析：因为，，所以，所以，.令，解得或，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极小值为.14、答案：D解析：由，知角是第四象限角.因为，，所以，故选D.15、答案：A解析：因为，，所以，.

因为，所以.

又，所以.16、答案：B解析：因为，，，由正弦定理得.故选：B.17、答案：ACD解析：由已知，得，，则.又，所以，所以椭圆的方程为.由题意，得，的周长为.故选ACD.18、答案：AC解析：当时，在上是增函数，当时，，故A正确；当时，在定义域上是增函数，当时，，故B错误；当时，在定义域上是增函数，当时，，故C正确；当时，在上是减函数，当时，，故D错误.故选AC.19、答案：解析：由题意得，，，.，，所求切线方程为，即.20、答案：解析：,,原式.21、答案：2解析：由，得，.与a的夹角等于c与b的夹角，，即，解得.22、答案：7解析：令，则，，所以数列为等差数列，所以，所以，又函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，所以的最小值为7，所以的最大值为7.23、答案：30°解析：,则,故角的大小为30°.24、答案：（1）（2）解析：（1）在中，由正弦定理及，得，.又，.，，.（2）角B是的内角，，.又，，解得.在中，由余弦定理得，，解得.25、答案：（1）数列的前n项和为，

时，.

时，，不满足上式.

数列的前n项和为.

时，，可得，

整理得.

时，，解得.

数列是等比数列，且首项与公比都为2.

.

（2），当时，；当时，.

时，；

时，.

.

.

整理得.

当时也满足上式，.解析：26、答案：（1）见解析（2）解析：（1），.①当时，恒成立，在R上单调递增，无极大值也无极小值；②当，时，，时，，在上单调递减，在单调递增.函数有极小值为，无极大值.（2）若对任意，恒成立，则恒成立，即.设，则，令，解得，当时，，当时，，在上为减函数，在上为增函数，，，当时满足对任意，恒成立，实数a的取值范围为.27、答案：(1).(2)取值范围是.解析：(1)，由已知条件得，由，得，由，得，.(2)由正弦定理得，，其中，又，若存在最大值，即有解，即，解得，即m的取值范围是.28、答案：（1）（2）解析：（1）设等差数列的公差为d，由，得，又，，即，解得..（2）由题意得，.令，，则当时，，此时；当时，，此时.29、答案：(1)见解析.(2)正弦值为.解析：(1)延长线段，交AC的延长线于点E.平面ABC，平面ABC.又平面，点E即为所求.连接交直线于点F，连接FD.，即，点D为的中点.在三棱柱中，四边形为平行四边形，为线段的中点，为的中位线，.又平面平面，平面.(2)连接，取AC的中点O，连接，侧面为菱形，，.又侧面底面ABC，侧面底面侧面，平面ABC.又为等边三角形，两两垂直.以O为坐标