1一元二次方程的解法教案设计

1一元二次方程的解法教案设计学生姓名性别年级学科授课教师上课时间2014年月日第()次课课时：课时教学课题一元二次方程的解法专题教学目标1.掌握开平方法解一元一次方程2.掌握配方法解一元一次方程3.掌握公式法解一元二次方程4.掌握因式分解法解一元二次方程教学重点教学难点重点：几种解一元一次方程的方法难点：1.开平方法2.配方法3.公式法4.因式分解法4.利用几种方法解一元二次方程时的步骤及运算5.提高应用教学过程一元一次方程的解法一、知识点梳理.开平方法①x2=a(a>0) 角星为：了二士4a②(x+a)2=b(b>0) 角星为：x+a=土&③(ax+b)2=c(c>0) 解为：ax+b=土工④(ax+b)2=(cx+d)2(|awc) 解为：ax+b=土(cx+d).配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：P、Rx2+Px+q=00(xH——)2一(—)2+q=02 2… C Y八 / 3、 3 Y八示例：x2-3x+1=0^^(x一一)2一(一)2+1=02 2②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：7 八/八、 / b、 八 / b、 /b、 八ax2+bx+c=0(aw0)na(x2+—x)+c=0na(xH )2-aJ——)2+c=0a 2a 仆2a/bx b2 /b、 b2—4acna(xh )2= cn(xh )2= 2a 4a 2a 4a2示例：/16x2一2x-1=0=，(x2一4x)—1=0=，(x—2)2一1x22-1=0/162 2 2 2解题步骤： ①移项：左边只留二次项和一次项，右边为常数项(移项要变号) ②同除：方程两边同除二次项系(每项都要除)•••••③配方：方程两边加上次项系数一半的平方 ④开平方：注意别忘根号和正负⑤解方程：解两个一元一次方程3.公式法一，、一 八， 」 八、一 ， / b、 b2一4ac一元一次方程ax2+bx+c—0(aw0)，用配方法将其变形为：(x+ )2—2a 4a2

1一元二次方程的解法教案设计一b士bb2—4ac①当A二…ac>。时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实根：%二一2a一②当A=b2—4ac=0时，右端是零.

因此，方程有两个相等的实根：X=1,2③当A=b2—4ac<0时，右端是负数.因此，方程没有实根。注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。解题步骤:①将方程化为一般式②写出a、b、c③求出b2—4ac,④若b2-4ac<0,则原方程无实数解⑤若b2-4ac>0,则原方程有两个不相等的实数根，代入公式—b±%b2—4ac求解X二 求解2a求解。⑥若b2-4ac=0,则原方程有两个相等的实数根，代入公式X=求解。4.因式分解法如：ax2+bx=0（a,b丰0）0x（ax+b）=0此类方程适合用提供因此，而且其中一个根X2X2—9=00(X+3)(X—3)=0x2—3X-00X(X—3)=03x(2x—1)—5(2x—1)-00(3x—5)(2x—1)-0解题步骤： ①移项：使方程右边为0②因式分解：将方程左边因式分解；适用能因式分解 方法：一提，二套，三十字，四分组③由AB=0,则A=0或B=0,解两个一元一次方程备注：一元二次方程的解题步骤：①首先看方程中a,b,c是否可以同时除以或者乘以一个非零的数，使得方程更加方便计算:如：10x2—100x—50-0（同除于10）ox2—10x—5-0这样更加方便计算。一13c一， 一一 一 八八—-x2+-x+--0（同乘于—4，这样二次项的系数为正整数，更方便计算）o2x2—x—3-02 4 4②四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。③可以考虑选用根与系数的关系对方程的根进行适当的检验，同时对于应用题中，一定要考虑根的实际意义，是否所有的根都是方程的解。二、基础模块2/16

1一元二次方程的解法教案设计例1.利用开平方法解下列」方程2(2y-1)2=54(x-3)2=25(3x+2)2=24例2.利用配方法解下列方程x2-5也2x+2=03x2-6x-12=02?+l=3x7x=4x2+2x2-7x+10=0x2-2x-399=0例3.利用公式法解下列方程—3x2+22x—24=02x(x-3)=x—33x2+5(2x+1)=0例4.利用因式分解法解下列方程1)(x—2)2=(2x-3)22) x2-4x=03)3x(x+1)=3x+34)x2-2。3x+3=05)(x-5)2-8(x-5)+16=0基础模块跟踪练习：解下列一元二次方程1.开平方法3/16

1一元二次方程的解法教案设计⑴2X2—8=0； ⑵9X2—5=3；(4)3(x-1)2-6=0； (5)x2一4x+4=5； (6)9x2+6x+1=4；1(2)1(2)x2+8x=9 (3)x2+12x-15=0 (4) x2-x-4=04(2)2(x—3)2=x2—9 (3)x=4x2+23x2-5x=2..公式法(x+1)(x+8)=-124.因式分解法4.因式分解法5x2+3x=0；7x(3—x)=4(x—3)；9(x—2)2=4(x+1)2.(5)3(x—2)2=x2—2x.(4)(1—(5)3(x—2)2=x2—2x.三、拓展模块例1.(m—1)xim+i+3x—2=0是关于x的一元二次方程，求m的值.例2.换元法解下列方程4/161一元二次方程的解法教案设计Q2（；一%）2-（%—；）—1=0.③（2%+1）2—3（2%+1）-28=0；1 / 1\④%2H 2%H1=0；%2 I %）例3.已知（a2+b2）2—（a2+b2）—6=0,求a2+b2的值例4.(1)当代数式%2+7%+6的值与%+1的值相同时，％的值为多少?(2)方程%2+2%—8=0的正整数解为几?例5.用一根长40cm的铁丝围成一个面积为91cm2的矩形，问这个矩形长是多少？若围成一个正方形，它的面积是多少？5/16

1一元二次方程的解法教案设计例6.如果%—是关于％的方程2%2+3ax2a-0的根，求关于y的方程j23-a的解.2 - -例7.如果X2+%-1—0，那么代数式x3+2x2-7的值。- aba2+b2例8.已知9a2-4b2-0,求代数式 的值.baab1 x2例9.已知x2+ -3,求 4- x2 x4+x2+1例10.已知a2+b2—2a+4b+&+3+5—0,求a,b,c的值。6/161一元二次方程的解法教案设计求整数a,b的值。例11.已知《土弋3b"=31±12求整数a,b的值。「 ab例12.已知a+b=-4,ab=1求a,■—+b的值b\a例13.已知a是方程x2-2011x+1=0的一个根，求a2-2010a+-2011a2+1的值例14.对于任意实数k,方程（k+1b2-3a+mb+4kn=0总有一根为1,求mn的值，并解此方提高题跟踪训练:.关于方程Qm2+m-31m+1-5x=10可能是一元二次方程吗?根，则代数式.已知m，n者B是方程x2+2011x-2012=0的根，则代数式Cm2+2011m-2011)(2+2011n+2011)的值.如果a2+b=15-ab,b2+a=27-ab求a+b的值7/16

1一元二次方程的解法教案设计四、小结.因式分解需注意：注意一元二次方程的特征，等号右边必须为0,左边化成两个因式乘积，利用0的特性，转化求两个一元一次方程的解，体现降次，转化化归的思想。.开平方法需注意：直接开平方法适用于x2-a(aN0)形式的一元二次方程的求解。这里的x既可以是字母，单项式，也可以是含有未知数的多项式。换言之：只要经过变形可以转化为x2-a(aN0)形式的一元二次方程都可以用直接开平方法求解。直接开平方法是配方法的基础。.配方法需注意：要注意解题步骤，二次项系数要化为1,常数项移到等号右边，两边再同时加上一次项系数一半的平方，等号右边的常数须大于等于0,配成完全平方式，在两边同时开方，降次解一元一次方程。.公式法需注意：1.求根公式法解一元二次方程的五个注意点：一、注意化方程为一般形式；二、注意方程有实数根的前提条件是b2—4acN0；三、注意a、b、c的确定应包括各自的符号；四、注意一元二次方程如果有根，应有两个；五、求解出的根应注意适当化简.必须满足三0否则无解。课后作业一.直接开方法基础练习1.方程％2=16的根是％1= ,x2= . 2.若％2=225,则U%1= ,%2= .3.若%2—2%=0,则U%1= %2= . 4.若（%—2）2=0,则U%1= %2= .5.若9%225=0,则U%「 %2= . 6.若2%2+8=0,则U%1- %2= .7.若％2+4-0,则此方程解的情况是 . 8.若2%2—7-0,则此方程的解的情况是 .9.若5%2-0,则方程解为 .10.由7,9两题总结方程q%2+c-0（qW0）的解的情况是：当ac>0时 ；当ac-0时 ；当ac<0时 .二、选择题.方程5%2+75-0的根是（ ）A.5B.-5 C.±5 D.无实根.方程3%2-1-0的解是（ ）A.%-±- B.%-±3 C.%-±―― D.%-±433.方程4%2—0.3-0的解是（ ）A%=''''0.075 B%=—-V30 C%=0.27%=-0.2720 .1 2D.%=—x;30 %=-L团1 20 2 205 7.方程5%2---0的解是（ ）7 7 局 71A.%-5B.%-±5C.%-±5D、%-±5.已知方程a%2+c-0（aW0）有实数根，则a与c的关系是（ ）A.c-0 B.c-0或a、c异号 C.c-0或a、c同号 D.c是a的整数倍.关于%的方程（%+m）2-n,卜列说法正确的是A.有两个解％-土、:n B.当n?0时，有两个解％-土，1n—m8/16

1一元二次方程的解法教案设计C.当n三0时，有两个解％=±nnm口.当nW0时，方程无实根7.方程(X—2)2=(2x+3)2的根是1

c.x1

c.x1=3,%=5D.x1=5,x2=—5A.x『一3,x2=—5 B.x『一5,x2=—5三、解方程(1)x2=4(2)x2=16 (3)2x2=32(4)v2x2=8<2. (5)(x+1)2=01(6)2(x—1)2=0 (7)(2x+1)2=0 (8)(2x—1)2=1(9)-(2x+1)2=3 (10)(x+1)2—144=0二.配方法基础练习一、填空题.%02=,a2的平方根是 ..用配方法解方程x2+2x—1=0时①移项得 ②配方得 即(x+)2=③x+= 或x+=④x1=,x2=3.用配方法解方程2x2—4x—1=0①方程两边同时除以2得②移项得 ③配方得 ④方程两边开方得 x1=x2=4、为了利用配方法解方程X2—6x—6=0,我们可移项得，方程两边都加上得，化为.解此方程得x1=,x2=.5、填写适当的数使下式成立.①x2+6x+=(x+3)2②x2— x+1=(x—1)2③x2+4x+=(x+)2二、选择题TOC\o"1-5"\h\z1、一元二次方程x2—2x—m=0,用配方法解该方程，配方后的方程为( )A.(x—1)2=m2+1 B.(x—1)2=m—1 C.(x—1)2=1—m D.(x—1)2=m+12、用配方法解方程x2+x=2,应把方程的两边同时( )A.加二 B.加大 C.减7 D.减大4 2 4 2三、解答题1、列各方程写成(x+m)2=n的形式x2—2x+1=0 (2)x2+8x+4=0(3)x2—x+6=0 (4)x2-6x+8=02、将下列方程两边同时乘以或除以适当的数，然后再写成x+m)2=n的形式9/16

1一元二次方程的解法教案设计12x2+3x—2=0 (2)x2+x—2=043.用配方法解下列方程1(1)x2+5x—1=0 (2)2x2—4x—1=0(3)x2-4x+3=0(4)x2+3x1-0(5)x2--x-1=0.21(6)x(x+2)=24(7)x2-4(x-1)=5(8)y(y+1)=12(9)1 1 cx2+x-=03 6配方法基础练习2(1)x2+4x—4=0(2)x2—4x—4=0(3)x2-3x+2=0 (4)x2+3x-10=0(5)x2-2x-1=0.3(6)x(x+4)=12(7)x2-4(x-2)=5(8)y(y+3)=28~ 1 1(9)x2+x-=03 6 ,、1 1(10)y2+2+2y-4=0(11)—x2+x-=06 3(12)y2+2右y-1=0(13)4x2+4x—1=01 c -八(14)2x2—4x—1=0(15)2x2-3x+2=0(16)2x2+3x-6=010/16

1一元二次方程的解法教案设计TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2 2 _ 2(17)2x2+-x-1=0. (18)x(3x+4)=12(19)5x2-4(x-2)=5 (20L3y(y-3)=2\o"CurrentDocument"(21)1x2+22.x-1=0(22)3y2+3<2y-1=0(23)(x-3)2+4(x-3)-9=04 4三.公式法基础练习一、填空题1.一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0),当b2-4acN0时，它的根是 ，当b-4ac<0时，方程 ..方程ax2+bx+c=0(aW0)有两个相等的实数根，则有 ,若有两个不相等的实数根，则有，若方程无解，则有 ..若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是 ..关于x的一元二次方程x2+2x+c=0的两根为.(cW1).用公式法解方程x2=-8x-15,其中b2-4ac=,x『,x2=..已知一个矩形的长比宽多2cm,其面积为8cm2,则此长方形的周长为.二选择题—3±66—3±663士v163士2V：3A.y=)2B.y=n2C.y= “27.一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=().A.0 B.1C.-1D.±18.用公式法解方程4y2=12y+3,得到()D.y=-3土2j3~_29.已知a、b、c是^ABC的三边长，且方程a(1+x2)+2bx-c(1-x2)=0的两根相等，则4ABC为()A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形D.任意三角形10.不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有()A.0个 B.1个 C.2个D.3个11.用公式法解方程4x2—12x=3,得到()—3士<6 3士<6—3士2<33士2<3A.x=2 B.x=2C.x=2D.x=211/16

1一元二次方程的解法教案设计.方程22x2+473x+622=0的根是( )A. X1=v2, 乂2="3 B. x『6, 乂2=%'2C. X1=2%；2, X2=3''2 D. Xi=x2=-v6.(m2—n2)(m2—n2—2)—8=0,则m2—n2的值是( )A.4B.—2C.4或一2 D.—4或2.解下列方程；1、2%2+3%+1=0 2、2y2+y-6=0 3、6%2=11x-34、(x-2)(x-3)=45、4%2+v17x- 2=0 6、6%2+%- 35=0 7、5(%-1)2- 8%=13 8、x2-2*x+1=09、9、0.4x2-0.8x=12 110、3y2+3y-2=1.因式分解法基础练习一、填空题1、填写解方程3%(%+5)=5(%+5)的过程解：3%(%+5)=0(%+5)()=0%+5=或=0,,%1=%2=2、用因式分解法解方程9=%2—2%+1TOC\o"1-5"\h\z⑴移项得；(2)方程左边化为两个平方差，右边为零得 ；(3)将方程左边分解成两个一次因式之积得；(4)分别解这两个一次方程得%1=,%2=.3、%(%+1)=0的解是 ；4、3%(%—1)=0的解是 ;一5、(%—1)(%+1)=0的解是 ;;6、(2%—1)(%+1)=0的解是 ;7、x2—16x=0的解是 ;8、x2+8x+16=0的解是 ;二、选择题.方程%2—%=0的根为( )A.%=0 B.%=1 C.%1=0,%2=1 D.%1=0,%2=—1.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( )A.(2%—2)(3%—4)=0.,2—2%=0或3%—4=0B.(%+3)(%—1)=1,%+3=0或%—1=1C.(%—2)(%—3)=2X3.二%—2=2或%—3=3D.%(%+2)=0,%+2=03.方程a%(%—b)+(b—%)=0的根是( )11A.%1=b,%2=aB.%1=b,%2=—C%1=a,%2=bD.%1=a2,%2=b24.下列各式不能用公式法求解的是( )12/161一元二次方程的解法教案设计y2-6y+9=0三、解方程1y2-6y+9=0三、解方程1、6%2=%1 1…4y2-y+1=0C.3(%+4)2+%2=161，T、 CD.—(%-1)2+%2=042、2%2-3%=0 3、4%(3+%)=7(3+%)4、%(3-%)=3(%-3)5、4%5、4%2-12x-9=04 4c6、y2—y+—=03 97、(2%-1)2=9%28、(%-3)2=25(%+4)2因式分解法基础练习因式分解法基础练习2一、填空题1、填写解方程%2-2%-3=0的过程解：x-3XZX1―3x+x=-2x一所以%2-2%-3=(x-)(x+)即(x-)(x+)=0即x-=0或x+=0,,%1=%2=3、%2+5%+6=0解是 5、%2-5%-6=0的解是9、(%-3)2=%2-910、16-%2=3(%+4)211,(%-3)2+4%29、(%-3)2=%2-913、(4%-3)2+4(4%-3)+4=02、用十字相乘法解方程后=-+1=口解：窗、/ZVI工11rL在TOC\o"1-5"\h\z所以吕婷一厂1=(2k)( )即(2k)( )=0即2k=0或=0，克1=英=4、%2-5%+6=0的解是 ;—;;6、%2+5%-6=0的解是:13/16

1一元二次方程的解法教案设计7、2%2—7%+3=0的解是 ;8、6%2—7%—5=0的解是 二、选择题.方程％(%—1)=2的两根为A.%1=0,%2=1 B.%1=0,%2=-1 C.%1=1,%2=-2 D.%1=-1,%2=2, .ab一.已矢口a2—5ab+6b2=0,则7+■一等于baTOC\o"1-5"\h\z1 1 .、1 1 .、1A.2 B.3 C.2或3—D.2或3—3 2 3 3 2三、解方程(1) 2%2—3%—20=0；(2) 2x2+5x+2=0； (3) 3x2+7x—6=0； (4) %2 - 2%- 15=0(5)3%2-5%-2=0(6)6%2-13%+5=0(7)7%2-19%-6=0(8)12%2-13%+3=0(9)%2-2%-15=0(10)%4-7%2-18=0(11)10%2-21%+2=0(12)6%2+%-35=0五.一元二次方程提高练习.解下列方程x2-6x-7=0,2x2-50=0,3(4x-1)2=(1-4x),3x2-5x-6=0,较简便的方法依次是( )A.因式分解法、公式法、配方法、公式法B.配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法C.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法D.公式法、直接开平方法、因式分解法、配方法.下列说法中：①方程%2+p%+q=0的二根为%1,%2，则%2+p%+q=(%-％J(%一%2)②一%2+6%-8二(%一2)(%一4),③a2—5ab+6b2=(a一2)(a一3)④%2-y2=(%+y)(工■-%+vy)(V%-丫y)⑤方程(3%+1)2一7=0可变形为(3%+1+、;7)(3%+1-<7)=014/16

1一元二次方程的解法教案设计正确的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个.若实数x、y满足Q+y—3）X+y）+2=0，则x+y的值为（ ）A.-1或-2 B.-1或2 C.1或-2 D.1或2.若2x+5y—3=0,则4x•32y= .。2+b