第五章 厂商理论

第五章厂商理论3.1引言

企业：供给方，包括有潜在生产能力但并没有实际组织起来的生产单位。谁拥有它、谁来管理它、它是怎么运作的、它是怎样组织的、它能做什么。生产：将企业作为一个能够将投入转化为产出的“黑匣子”，关注于正在运行的生产过程和潜在的但并没有实际运行的生产过程。相关概念：（1）生产集（2）生产集的性质：规模报酬、自由处置、自由进入等利润最大化：利润函数、供给对应成本最小化：成本函数、条件需求对应

成本与产量之间的关系：总供给：有效率的生产与利润最大化的含义3.2生产集3.2.1生产向量与生产集：函数F(·)描述生产集Y比较方便，这种函数称为转换函数。转换函数F(·)具有以下性质：Y=｛y∈RL:F(y)≤0｝，当且仅当y是Y的边界上的一个元素时，F(y)=0。Y的边界点的集合｛y∈RL:F(y)=0｝称为转换边界。y2y1转换边界{y:F(y)=0}生产集Y={y:F(y)≤0}斜率

边际转换率：如果F(·)是可微的，且生产向量y满足F(y)=0,那对于任何商品l和k，比率在y点上物品l对物品k的边际转换率(MRT)。边际转换率是衡量企业减少每单位的物品l的(净)产出能增加的物品k的(净)产出的数量。3.2.2不同的投入和产出的生产技术可以作为产出的物品的集合和可以作为投入的物品的集合往往是不同的。在这种情况下，用不同的符号标记区别企业的投入和产出比较方便。可以用q=(q1,…，qM)≥0表示企业的M种产出水平，用z=(z1,…zL-M)≥0代表企业的L-M种投入的数量。

生产函数f(·)

单一产出的生产技术通常用生产函数f(z)来描述，f(z)给出了在使用投入量(z1,…，zL-i)≥0的情况下所能得到的最大产出q。例如，如果产出为物品I，那么(假设产出可以被无成本地自由处置)，由生产函数f(·)可以得到生产集：

Y｛（z1，…，zL-i,q）:q-f(z1…,zL-i)≥0且(z1,…,zL-i≥0｝边际技术替代率：在z点投入k的边际技术替代率(MRTS)为MRTSlk(z)的值衡量企业减少每单位投入l的情况下，为维持产出q=f(z),企业必须增加的投入k的数量。

3.2.3生产集的性质：正则性：生产集是非空的而且是闭集Y是非空的此假定是说企业总是有计划可做的事情。否则，就没有必要去研究企业的行为了。闭的集合Y包括它的边界。因此，技术可行的投入意味着产出向量序列的极限也是可行的；用符号表示就是，yn→y且yn∈Y意味着y∈Y。这个条件应被看成主要是技术性的。没有免费的午餐假设y∈Y且y≥0，于是向量y可以不使用任何投入。如果没有免费的午餐的性质是满足的，那么这种生产向量y也不能生产任何产出。也就是说，只要y∈Y且y≥0，就有y=0;无中生有是不可能的。Y∩R+L｛0｝。

无为的可能性这条性质是说0∈Y：完全关闭工厂是可能的。如果我们考虑的企业虽然能够进入一个技术可能性集合但还没有实际组织起来，那么无为显然是可能的。但是如果某些生产决策已经作出或者不撤销的投入品购买合同已经签订，那么无为是不可能的。在这种情况下，我们称成本已经沉淀了。

自由处置如果在不减少产出的情况下，能够吸收任意数量的附加投入，那么自由处置的性质成立。即，如果y∈Y且y‘≤y(所以，y’至多生产同样数量的产出，而至少使用同样数量的投入)，那么y‘∈Y。关于这一点的解释是：额外数量的投入(或产出)可以无成本地处置或毁掉。y2y1●自由处置的性质如果在不减少产出的情况下，能够吸收任意数量的附加投入，那么自由处置的性质成立。如果在不增加投入的情况下，额外数量的产出可以被无成本地处置不可逆性假设y∈Y且y≠0。那么不可逆性是说-yY。换句话中，将技术可行的生产向量反过来，用某种数量的产出去生产与原来投入数量相同的投入品是不可能的。

非递增的规模报酬如果对于任何y∈Y,我们有αy∈Y对于所有的标量α∈［0,1］均成立，那么该生产技术Y具有非递增的规模报酬的性质。换句话说，任何可行的投入一产出向量都可以按比例缩减。

●●●●y2y2y1y1yayYYyay非递增的规模报酬的性质满足违反非递减的规模报酬如果对于任何y∈Y，我们有αy∈Y对于任何因子α≥1均成立，那么该生产过程显示了非递减的规模报酬。换句话说，任何可行的投入—产出向量可以按比例放大。

可加性(或自由进入)假设y∈Y且y'∈Y。可加性要求y+y'∈Y。更简洁地说，y+y'∈Y。这意味着对于任意正整数K，有ky∈Y。可加性的经济学解释是，如果y和y‘都是可行的，那么可以建立两家工厂，相互之间不影响并独立地执行生产计划y和y’，结果是生产向量y+y‘。可加性也和进入概念相联系。如果一家企业生产y∈Y,另一家企业进入，并生产y’∈Y，那么净结果是向量y+y’。因此，只要进入不受限制或(经济学文献中常称的)自由进入是可能的，总生产集(描述整个经济的可行的生产计划的生产集)必须满足可加性。凸性它假设生产集Y是凸的。也就是说，如果y,y‘∈Y且α∈［0,1］，那么αy+(1-a)y’∈Y。含义：企业产品多元化经营凸性假设可以解释为关于生产可能性的两个概念的结合。第一是非递增的规模报酬。特别地，如果无为是可能的(即0∈Y)，那么凸必隐含着Y是规模报酬非递增的。为了说明这一点，注意对于任何α∈［0,1］我们可以写成αy=αy+(1-α)0。因此，如果y∈Y且0∈Y,那么凸性意味着αy∈Y。第二，凸性体现了如下思想：“非均衡的(unbalanced)”投入组合的生产效率总是低于“均衡的”投入组合(或对称地，“不均衡的”产出组合的生产成本总是不如“均衡的”产了组合的生产成本低)。特别地，如果生产计划y和y'生产同样数量的产出但使用不同的投入组合，那么使用两种生产计划的投入组合的平均水平的生产计划至少和y或y'一样好。3.2.4关于生产集概念的补充生产集是描述技术的，而不是描述资源约束的。可以认为，如果所有投入(包括企业家投入)都是可以明确界定的，那么复制生产应该总是可能的。马歇尔：只是说要是所有的投入(无论多么神秘，也不管它们能不能标识)都翻番的话，原则上产出翻番应是可能的。后来麦肯锡(1959)又加以强调，根据这种观点，递减的规模报酬必然反映了生产中基本的未列出的投入品的稀缺性。例如：企业家要素投入是稀缺的，产出就不可以完全被复制正是这个原因，一些经济学家相信在那些凸的生产技术的模型中，不变规模报酬的模型是最基本的。3.3利润最大化和成本最小化

从本节开始，我们假设存在一个L种物品的价格向量，用p=(p1,…pL)>>0表示，且这些价格独立于企业的生产计划(接受既定价格的假设)。我们总是假设企业的生产集满足非空的、闭的和自由处置的性质。给定一个价格向量p>>0和一个生产向量y∈RL,那么实施Y所产生的利润为p·y=∑Ll=1plyl。这恰好等于总收益减去总成本。给定以生产集Y表示的技术约束，企业的利润最大化问题(PMP)

表述为

约束条件的含义：表示投入与产出的转换函数，即生产函数

3.3.1利润函数π(p)给定生产集Y，对应于每个p企业的利润函数π(p)的值为π(p)=Max｛p·y:y∈Y｝，此即PMP的解，形式是y(p)。对应地，我们定义企业在价格p上的供给对应(用y(p)表示)为利润最大化向量的集合y(p)=｛y∈Y：p·y=π(p)｝。用一阶条件来刻画PMP的解。如果y*∈y(p),那么，对于某一λ≥0,y*必须满足一阶条件

其中l=1,…，L或者，等价地写成矩阵形式p=λ▽F(y*)

换句话说，价格向量p和梯度▽F(y*)是成比例的y2y1转换边界{y:F(y)=0}生产集Y={y:F(y)≤0}斜率条件给出了下面的比率等式：对于所有的l,k,有pl/pk=MRTlk(y*)。当L=2时，它的含义是转换边界在代表利润最大化的生产计划的点处的斜率必须等于价格比率的负值，如图示。否则，有可能稍微改变一下生产计划，而使企业利润增加。如果Y对应于某一具有可微生产函数f(z)的单一产出技术，那么可以把企业决策简单地看成是对投入水平z的选择。在这种特殊情况下，我们可以用标量p＞0代表企业产出品的价格，用向量w>>0代表企业投入品的价格。在给定(p,w)的情况下，如果投入品向量z*是如下问题的解：

则可以说该向量z*使得利润最大化。如果z*是最优的，那么对l=1,…L-1,如下一阶条件必须得到满足：当z*l＞0时，等号成立，或者，写成矩阵形式，

p▽f(z*)≤w且［p▽f(z*)-w］·z*=0

两种投入的边际技术替代率等于它们的价格比率。边际产品价值＝工资率命题5.C.1假设π(·)是生产集Y的利润函数，y(·)是相应的供给对应。假设Y是闭的，同时满足自由处置的性质。那么(i)π(·)是一次齐次的。(ii)π(·)是凸的。(iii)如果Y是凸的，那么Y=｛y∈RL：p·y≤π(p),对于所有p>>0｝。

性质(iii)告诉我们，如果Y是闭的、凸的，且满足自由处置，那么π(p)是生产技术的一种替代的(“对偶的”)描述。和间接效用函数(或支出函数)是偏好的描述一样.(iv)π(·)是零次齐次的。(v)如果Y是凸的，那么对于所有的p,y(p)是一个凸集。进而，如果Y是严格凸的，那么y(p)是单值的(如果它是非空的)。(vi)(豪泰林引理)如果y(p＊)由单点组成，那么π(·)在p＊是可微的，且▽π(p＊)=y(p＊)。性质(vi)把供给行为和利润函数的导数联系起来(vii)如果函数y(·)在p＊处可微，那么Dy(p＊)=D2π(p＊)是一个对称的半负定矩阵，且Dy(p＊)p＊=0。性质(vii)中矩阵Dy(p)是供给法则的一般数学表述。法则的内容是数量变化和价格变化是同方向的。这意味着如果一种产品的价格上升(其他价格保持不变)，那么该产品的供给上升；并且如果一种投入品的价格上升，那么该投入品的需求减少。

在不可微的情况下供给法则可以表述为

(p-p')·(y-y')≥0

上式对于所有的p,p'，y∈y(p),y'∈y'(p')均成立。这种形式也可以根据直接显示偏好理论直接推出。特别地，

(p-p')·(y-y')=(p·y-p·y')+(p'·y'-p'·y)≥0，其中的不等号是基本y∈y(p)和y‘∈y’(p‘)的事实(即基于在价格为p时y使利润最大化和在价格为p’时y‘使利润最大化的事实)。(参见Varian,)3.3.2成本最小化企业选择一个利润最大化生产计划的一个重要含义是：没有其他方法以更低的投入总成本生产相同数量的产出。因此成本最小化是利润最大化的必要条件。此问题在以下几个方面令人感兴趣:首先，可以引导我们得出大量十分有用的技术性的结果。其次，当在产出市场上企业不再是价格接受者时，我们不能再用利润函数来分析。但是，只要企业在投入市场上是价格接受者，从成本最小化得出的结论仍然是成立的。第三，当生产集是规模报酬非递减时，在维持产出固定不变情况下的成本最小化问题的价值函数和最优向量，比PMP的利润函数和供给对应表现更好。

集中分析单一产出的情况。和通常一样，我们令z为非负的投入向量，f(z)为生产函数，q为产出的数量，w>>0为投入的价格向量。成本最小化问题(CMP)可以表述如下(我们假设产出可以自由处置)CMP的最优值成本函数c(w·q)给出。相应的投入(或要素)选择的最优集合，用z(w,q)表示，称为条件要素需求对应(或函数，如果它总是取单值的话)。之所以用条件一词，是因为要素需求依赖于所要求产出的水平q。如果z*在CMP中是最优的，且生产函数f(·)是可微的，那么对于某一λ≥0和每一种投入品l=1,…，L-1，下面的一阶条件必须成立：当z*l＞0时，等号成立对于L=2，条件要求产量水平为q的等产量线在z*处的斜率恰好等于投入价格比率的负值-w1/w2。图也很好地描述了这一点。●z2z1拉格朗日乘数λ可以解释为放松约束f(z*)≥q的边际价值。因此λ等于生产的边际成本命题3.C.2假设c(w,q)是具有生产函数f(·)的单一产出技术Y的成本函数，且z(w,q)是相应的条件要素需求对应。假设Y是闭的并满足自由处置的性质。那么，(i)c(·)对w是一次齐次的，对q是非递减。(ii)c(·)是w的凹函数。(iii)如果集合｛z≥0;f(z)≥q｝对于每一q都是凸的，那么Y=｛(-z,q):w·z≥c(w,q)对于所有的w>>0均成立｝。(iv)z(·)对w是零次齐次的。(v)如果集合｛z≥0：f(z)≥q｝是凸，那么z(w,q)是一个凸集。进而，如果｛z≥0;f(z)≥q｝是一个严格凸集，那么z(w,q)是单值的。(vi)(谢泼尔德引理)如果z(w*,q)由一个单点组成，那么c(·)在w*处对w是可微的，且▽wc(w*,q)=z(w*,q)。(vii)如果f(·)在w*处可微，那么Dwz(w*,q)=D2wc(w*,q)是一个对称负半定矩阵，且Dwz(w*,q)w*=0。(viii)如果f(·)是一次齐次的(即显示出不变的规模报酬)，那么c(·)和z(·)对q都是一次齐次的。(ix)如果f(·)是凹的，那么c(·)是q的凸函数(特别地，边际成本是q的非递减函数)。事实上，我们从命题3.C.1和3.C.2的性质(iii)可以得知，在凸性约束下，利润函数和成本函数之间是一一对应的；也就是说，从两者之中的任一个都可以递推生产集，也可以导出另一个函数。应用成本函数，我们可以把企业的利润最大化的产出水平决策问题重新表述为q*是利润最