第四节 矩阵概念与运算

第三节矩阵概念与运算一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、矩阵的加法六、矩阵的其它运算五、矩阵与矩阵相乘四、数与矩阵相乘1.线性方程组的解取决于系数常数项一、矩阵概念的引入对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为2.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站到站其中表示有航班.为了便于计算,把表中的改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:这个数表反映了四城市间交通联接情况.二、矩阵的定义由个数排成的行列的数表称为矩阵.简称矩阵.记作简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.主对角线副对角线例如是一个实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.例如是一个3阶方阵.几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).

称为对角矩阵(或对角阵）.（3）形如的方阵,不全为0（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如记作(5)方阵称为单位矩阵（或单位阵）.

同型矩阵与矩阵相等的概念

1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.全为1

2.两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作例如为同型矩阵.例1间的关系式线性变换.系数矩阵１、定义三、矩阵的加法设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为说明

只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如2、矩阵加法的运算规律1、定义四、数与矩阵相乘2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）１、定义并把此乘积记作四、矩阵与矩阵相乘设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中例１设例2故解注意

只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如不存在.２、矩阵乘法的运算规律（其中为数）;若A是阶矩阵，则为A的次幂，即并且注意

矩阵不满足交换律，即：例

设则但也有例外，比如设则有例3

计算下列乘积：解解=(）解例4定义

把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例１、转置矩阵五、矩阵的其它运算转置矩阵的运算性质例5已知解法1解法22、方阵的行列式定义

由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或运算性质3、对称阵与伴随矩阵定义设为阶方阵，如果满足，即那末称为对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明定义行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵性质证明则称为矩阵的伴随矩阵.4、共轭矩阵定义当为复矩阵时，用表示的共轭复数，记，称为的共轭矩阵.

故同理可得运算性质（设为复矩阵，为复数,且运算都是可行的）:七、小结(1)矩阵的概念(2)特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;零矩阵.七、小结矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式共轭矩阵

（2）只有