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在这一章里我们要对于域作一些进一步的讨论．我们不准备证明一些复杂的结构定理，而主要是对单扩域、代数扩域、多项式的分裂域、有限域和可离扩域作一些讨论．第五章扩域定理１令是一个域．若的特征是，那么含有一个与有理数域同构的子域；若的特征是素数，那么含有一个与同构的子域，这里是整数环，是由生成的主理想．这就有如何选择域的问题．我们有以下事实

§１．扩域、素域

我们先说明一下，研究域所用的方法．定义一个域叫做一个域的扩域（扩张），假如是的子域．我们知道，实数域是在它的子域有理数域上建立起来的，而复数域是在它的子域实数域上建立起来的．研究域的方法就是：从一个给定的域出发，来研究它的括域．：

证明域包含一个单位元．因此也包含所有（是整数）．令是所有．作成的集合．那么

显然是整数环到的一个同态满射．情形１．的特征是．这时是一个同构映射：

：：但包含的商域．由Ⅲ，10，定理4，与的商域，也就是有理数域同构．情形2．的特征是素数．这时

此处是的核．但

所以，因而．由Ⅳ，３，引理２，是一个最大理想．另一方面，

所以而，因而

证完有理数域和显然都不含真子域．定义一个域叫做一个素域，假如它不含真子域．由定理１知道：一个素域或是与有理数同构，或是与同构．因此定理１的另一形式是定理2另是一个域．若的特征是∞，那么包含一个与有理数域同构的素域；若的特征是素数，那么包含一个与同构的素域．由定理2，一个任意域都是一个素域的扩域；因此，如果我们能够决定素域的所有扩域，我们就掌握了所有的域．但事实上研究素域的扩域并不比研究一个任意域的扩域来的容易．因此我们研究域的普通方法是：设法决定一个任意域的所有扩域．现在我们极粗略地描述一下一个扩域的结构．另是域的一个扩域．我们从里取出一个子集来．我们用表示含和的的最小子域，把它叫做添加集合于所得的扩域．的存在容易看出．因为的确有含和的子域，例如本身．一切这样的子域的交集显然是含和的的最小子域．更具体地说，刚好包含的一切可以写成（１）形式的元，这里，，…，是中的任意有限个元素，而和是上的这些的多项式．这是因为：既然是含有和的一个域，它必然含有一切可以写成形式（１）的元；令一方面，一切可以写成形式（１）的元已经作成一个含有和的域．适当选择，我们可以使．例如，取，就可以作到这一点．实际上，为了作到这一点，常常只须取的一个真子集．现在假定．那么按照上面的分析，是一切添加的有限子集于所得子域的并集．这样，求就归纳为求添加有限集于所得的子域以及求这些子域的并集．若是一个有限集：，，…，，那么我们也把记作

，，…，叫做添加元素，，…，于所得的子域．为了便于讨论添加有限个元素所得的子域，我们证明下述的一般定理．定理３令是域的一个扩域，而和上的两个子集．那么

证明是一个包含、和的的子域，而是包含和的的最小子域．因此（２）另一方面，是一个包含、和，因而是一个包含和的的子域．但是包含和的的最小子域，因此（３）由（２）和（３），得同样可以得到

证完，，…，根据定理３，我们可以把添加一

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