高中数学专题04含参数的极值点偏移问题

专题04含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数．★例1．已知函数有两个不同的零点，求证：．【解析】思路1：函数的两个零点，等价于方程的两个实根，从而这一问题与专题三（不含参数的极值点偏移问题）例题完全等价，专题三例题的四种方法全都可以用；思路2：也可以利用参数a这个媒介去构造出新的函数．解答如下：因为函数有两个零点，所以，由（1）+（2）得：，要证明，只要证明，由（1）-（2）得：，即，即证：，不妨设，记，则，因此只要证明：，再次换元令，即证构造新函数，求导，得在上递增，所以，因此原不等式获证．★例2．已知函数，为常数，若函数有两个零点，证明：．【解析】法一：消参转化成无参数问题：，是方程的两根，也是方程的两根，则是方程的两根，设，，则，从而，此问题等价转化成为专题三例题，下略．法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数：不妨设，∵，∴，∴，欲证明，即证．∵，∴即证，∴原命题等价于证明，即证：，令，构造，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略．法三：直接换元构造新函数：设，则，反解出：，故，转化成法二，下同，略．★例3．已知是函数的两个零点，且．（1）求证：；（2）求证：．【解析】（1）问题可以转化为：与有两个交点，由圆知，且即，∴，故要证：，即证：，也即证：，也即，令，则设，则，∴在单调递增，即．∴在单调递增，即，故原不等式得证．（2）要证：，即证：，等价于，也即，等价于，令等价于，也等价于，等价于即证：令，则，又令，得，∴在单调递减，，从而，在单调递减，∴，即证原不等式成立．【点评】从消元的角度，消掉参数，得到一个关于的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式．★例4．已知函数，若存在，使，求证：．【解析】函数的零点等价于方程的实根，令，求导可知，在上单调递增，在上单调递减，．（ⅰ）下证：当时，方程有两个实根．①当时，是减函数，∵∴当为增函数，，∴当时，有一解，记为．②当时，为减函数，，先证：，即证：，令，求导由的单调性可得：，故不等式即证，也即原不等式成立．∴当时，有一解，记为．再证：．∵，而，∴．证毕．【招式演练】1．已知（1）若，求的最大值；（2）若有两个不同的极值点，，证明:.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）当时，对函数求导，判断出函数的单调性，进而可得函数的最大值；（2）对函数求导，则，即为方程的两个不同的正根，表示出，将韦达定理代入化简，并利用构造新函数判断单调性和最值的方法证得命题成立．【详解】（1）当时，，所以，则在上是单调递减函数，且有，当时，，即为上的增函数，当时，，即为上的减函数，所以.（2）证明：由题意知：由，则，即为方程的两个不同的正根，故而需满足：，解得，所以令，，令，所以；则为上的减函数，且，所以当时，，即为上的增函数；当时，，即为上的减函数，所以，所以，证毕.【点睛】本题考查导数证明不等式问题，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．2．已知函数（a为常数）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，求不等式的解集；（Ⅲ）若存在两个不相等的整数，满足，求证：.【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）设，根据函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅲ）求出，不妨设，则，根据函数的单调性得到，由，替换即可.【详解】（Ⅰ）的定义域为，，（1）当时，恒有，故在上单调递增；（2）当时，由，得，故在上单调递增，在上单调递减，综上（1）（2）可知：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）的定义域为，所以，且，而，；设，，且当且仅当时取等号，所以在上单调递增，又因为时，，所以当时，，当时，，故的解集为；（Ⅲ）由（Ⅰ）知时，在上单调递增，若，则不合题意；故，而在上单调递增，在上单调递减，若存在两个不相等的正数，满足，则，必有一个在上，另一个在，不妨设，则，又由（Ⅱ）知时，，即，所以，因为，所以，又因为在上单调递减，所以，即.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．3．已知.（1）当时，求函数在区间，上的最大值；（2）当时，若存在正数，满足，求证：.【答案】（1）；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）对函数求导，求得的单调性，对参数进行分类讨论，即可容易求得函数最大值；（2）根据已知条件，求得与之间的等量关系，构造函数，利用导数求得其最小值，即可证明不等式.【详解】（1）.，令，则，在上单调递增，在上单调递减.当时，在,上单调递减，的最大值为；当时，在区间上为增函数，在区间上为减函数，的最大值为．综上，．（2），即，令，，故在上单调递减，在上单调递增，故，即，即有，因为，所以.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性和最值，以及利用导数证明不等式，属综合中档题.4．已知函数．（1）若在上不单调，求a的取值范围；（2）当时，记的两个零点是①求a的取值范围；②证明：．【答案】（1）；（2）①；②证明见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导整理得出，结合研究的区间，对的范围进行讨论，结合函数在某个区间上不单调的条件，即既有增区间，又有减区间，即在区间上存在极值点，得到结果；（2）①将函数在区间上有两个零点转化为方程有两个解，构造新函数，利用导数求得结果；②结合①，求得两个零点所属的区间，利用不等式的性质证得结果.【详解】（1）因为，所以，当时，可知在上恒成立，即在上单调递增，不合题意，当时，即时，可知时，单调减，当时，单调增，所以满足在上不单调，所以a的取值范围是；（2）①令，得，即有两个解，令，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，且，所以当时，记的两个零点，a的取值范围是；②由①知，所以，所以【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有根据函数在某个区间上不单调求参数的取值范围，利用导数根据函数的零点的个数求参数的取值范围，利用导数证明不等式，属于难题.5．已知函数．（1）若时，函数有最大值为-1，求b的值；（2）若时，设，为的个不同的极值点，证明：；（3）设，为的两个不同零点，证明．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，对参数分两种情况讨论，当时，，函数单调递增，不存在最大值；当时，函数在时取得最大值，由最大值为，即可求出参数的值；（2）求出函数的导数，由，为的两个不同极值点，则，是方程的两不等正根，则，，且，则，利用基本不等式即可得证；（3）要证明，即证：，由（1）知只需证明：成立，因为，为的两个不同零点，不妨设，则，，令，则，即证，构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可得证；【详解】解：（1）当时，，从而，①当时，，此时，在上单调递增，函数不存在最大值，不合题意；②当时，，当时，，此时，单调递增，当时，，此时，单调递增，故当时，，解得，（2）当时，，所以，因为，为的两个不同极值点，所以，是方程的两不等正根，故，，且，所以，当且仅当时等号成立，因为，所以．（3）要证明，即证：，由（1）得，故只需证明：成立．因为，为的两个不同零点，不妨设，①②所以①-②可得，两边同时乘以，可得，即，令，则，即证即即证．令函数．则，所以在上单调递增，所以，所以，所以．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，构造函数是解决本题的关键，考查等价转化能力，数学计算能力，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，综合性强，属于难题.6．已知函数，．其中，为常数．（1）若函数在定义域内有且只有一个极值点，求实数的取值范围；（2）已知，是函数的两个不同的零点，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，根据题意转化为在内有且仅有一个变号零点，根据二次函数的单调性，列式求解的取值范围；（2）求出当函数有两个零点时，求出，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，得到，再通过构造得到，利用函数的单调性证明结论.【详解】（1），因为函数在定义域有且仅有一个极值点，所以在内有且仅有一个变号零点，由二次函数的图象和性质知，解得，即实数的取值范围为．（2），当时，，在上单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意，当时，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故当时，函数取得最小值，当时，，，函数无零点，不合题意，当时，，，函数仅有一个零点，不合题意，当时，，，又，所以在上只有一个零点，令，则，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即，所以，所以，又，所以在上只有一个零点．所以满足题意．不妨设，则，，令，则，，当时，，所以在上单调递减，所以当时，，即，因为，所以，所以，又，，且在上单调递增，所以，故得证．【点睛】本题考查利用导数证明函数的单调性，极值，最值，零点，函数与方程，不等式的综合应用，重点考查逻辑推理，转化与变形，计算能力，属于难题.7．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）如果方程有两个不相等的解，且，证明：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）对函数进行求导得，再对进行分类讨论，解不等式，即可得答案；（2）当时，在单调递增，至多一个根，不符合题意；当时，在单调递减，在单调递增，则.不妨设，只要证，再利用函数的单调性，即可证得结论.【详解】（1）.①当时，单调递增；②当时，单调递减；单调递增.综上：当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，当时，在单调递增，至多一个根，不符合题意；当时，在单调递减，在单调递增，则.不妨设，要证，即证，即证，即证.因为在单调递增，即证，因为，所以即证，即证.令，.当时，单调递减，又，所以时，，即，即.又，所以，所以.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将所证不等式转化为利用函数的单调性进行证明.8．已知函数在上有个零点、．（1）求实数的取值范围；（2）证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）令可得，将问题等价于直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用导数分析函数在区间上的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围；（2）由题意可知，且有，可得，于是可将所证不等式等价于证明不等式，令，即证，令，利用导数证明出即可.【详解】（1），等价于，设，则，令得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即.而且时，时，如下图所示：由图象可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，所以实数的取值范围是；（2）由（1）知，当函数有个零点时，一定有，且，两边取对数得，所以．要证明的不等式等价于．等价于，等价于证明，令，等价于证明，其中，设函数，则，故函数在上是增函数，所以，即成立，所以原不等式成立．【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，同时也考查了极值点偏移问题，考查利用导数证明函数不等式，考查计算能力与推理能力，属于较难题.9．己知函数．（1）当时，函数在上是减函数，求b的取值范围；（2）若方程的两个根分别为，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由在上是减函数，可知对恒成立，然后分离参数得，所以只要即可；（2）由已知得，即，两式相减得，由知，设，可得，再利用导数研究其单调性可得结论【详解】（1）∵在上递减，∴对恒成立.即对恒成立，所以只需.∵，∴，当且仅当时取“=”，∴.（2）由已知，得，∴两式相减，得.由知，设，则.∴.∴在上递增，∴.∵，∴.即.【点睛】此题考查利用导数研究函数单调性极值与最值，考查基本不等的性质，考查推理能力和计算能力，属于难题10．已知函数，.（1）若为上的增函数，求的取值范围；（2）若，，且，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到，得到，设，求导得到单调区间得到最值，得到答案.（2）为上的增函数，，设，设，证明为上的减函数，得到，得到答案.【详解】（1），若为上的增函数，则恒成立，即恒成立，设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故，所以.（2）若，由（Ⅰ）知为上的增函数.由于，已知，且，不妨设.设函数，，则，则，设，则，由于，所以为上的增函数，所以，所以为上的减函数，所以，所以，而为上的增函数，所以，故.从而.故.【点睛】本题考查了根据函数单调性求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.11．已知函数（1）讨论的单调性；（2）设是的两个零点，证明：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）求导，对参数分两种情况进行讨论，令得函数的单调递增区间，令得函数的单调递减区间；（2）令，分离参数得，令，研究函数的性质，可将证明转化为证明，即证明成立，令，利用导数研究函数的增减性，可得，问题得证.详解：（1），当时，，则在上单调递增．当时，令，得，则的单调递增区间为，令，得，则的单调递减区间为．（2）证明：由得，设，则．由，得；由，得．故的最小值．当时，，当时，，不妨设，则，等价于，且在上单调递增，要证：，只需证，，只需证，即，即证；设，则，令，则，，在上单调递减，即在上单调递减，，在上单调递增，，从而得证．点睛：本题主要考查导数的应用，第一问属于易得分题，只需对参数进行分类讨论，再分别令，即可求解函数的增、减区间，进而判断其单调性；第二问解题时，首先对进行参数分离，再构造新函数，利用函数的单调性，将原问题转化为不等式恒成立问题，进而再利用导数证明.12．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，如果方程有两个不等实根，求实数t的取值范围，并证明.【答案】（1）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；（2），证明见解析.【解析】【分析】（1）求出，对分类讨论，分别求出的解，即可得出结论；（2）由（1）得出有两解时的范围，以及关系，将，等价转化为证明，不妨设，令，则，即证，构造函数，只要证明对于任意恒成立即可.【详解】（1）的定义域为R，且.由，得；由，得.故当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）由（1）知当时，，且.当时，；当时，.当时，直线与的图像有两个交点，实数t的取值范围是.方程有两个不等实根，，，，，，即.要证，只需证，即证，不妨设.令，则，则要证，即证.令，则.令，则，在上单调递增，.，在上单调递增，，即成立，即成立..【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明，构造函数函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.13．已知函数，其中.（1）求函数的单调区间；（2）讨论函数零点的个数；（3）若存在两个不同的零点，求证：.【答案】（1）增区间为，，减区间为（2）见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出的定义域,求得导函数,令可解得或,分类讨论判断或,进而解得单调区间；（2）整理函数为,则令,当时,,则分别讨论和两种情况,利用零点存在性定理判断零点个数；（3）由（2）可知,构造函数,利用导数可得在单调递增,则,整理即可得证【详解】解：（1）函数的定义域为,,令,得或,因为,当或时,,单调递增；当时,,单调递减,所以的增区间为,；减区间为（2）取,则当时,,,所以；又因为,由（1）可知在上单调递增,因此,当,恒成立,即在上无零点.；下面讨论的情况：①当时,因为在单调递减,单调递增,且,,,根据零点存在定理,有两个不同的零点；②当时,由在单调递减,单调递增,且，此时有唯一零点；③若,由在单调递减,单调递增,,此时无零点；综上,若,有两个不同的零点；若,有唯一零点；若,无零点（3）证明：由（2）知,,且,构造函数,,则,令,,因为当时,,,所以又,所以恒成立,即在单调递增,于是当时,,即,因为,所,又,所以,因为,,且在单调递增,所以由,可得,即【点睛】本题考查利用导数求单调区间,考查利用导数判断函数的零点个数,考查零点存在性定理的应用,考查分类讨论思想和转化思想14．已知函数.（1）若存在单调减区间，求a的取值范围；（2）若为的两个不同极值点，证明：.【答案】（1）.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意知有解，则有解，利用导数判断函数的单调性从而确定最大值，即可得解；（2）根据题意可得，联立可得，问题转化为证明成立，令，利用导数研究函数的单调性及最值，由即可得证.【详解】（1）函数定义域为，根据题意知有解，即有解，令，且当时，，单调递增；时，单调递减；（2）由是的不同极值点，知是两根(设)即，①②联立可得：③要证，即证，即由③可得令，问题转化为证明成立(*)在上单调递增，，(*)成立，得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，利用导数证明不等式成立，极值点的定义，属于较难题.15．已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，正数，满足，证明：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得导数，令，则，分和两种情况分类讨论，结合导数的符号，即可求解；（2）当时，得到，根据函数的单调性，不妨设，得到，构造函数﹐，结合导数求得函数的单调性和极值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数的定义域为，可得，令，则.①当时，，可得对恒成立，则在区间上单调递增.②当或时，，令，得，（i）当时，，所以对恒成立.则在区间上单调递增.（ⅱ）当时，.若，，函数单调递增；若，，函数单调递减；若，，函数单调递增.综上所述：当时，在区间上单调递增.当时，在和，上单调递增；在单调递减.（2）当时，函数，由（1）可知在区间上单调递增，又易知，且，不妨设，要证，只需证，只需证，即证，即证，构造函数﹐，所以，，则，当时，，所以函在区间（0，1]上单调递增，则，所以得证，从而.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．16．已知.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）设，，为函数的两个零点，求证：.【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析:（Ⅰ）根据导数，分类讨论，当时，；当时，，由得，时，，时，，即可得出单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的单调递增区间为，单调递减区间为．不妨设，由条件知，即，构造函数，与图像两交点的横坐标为，，利用单调性只需证构造函数利用单调性证明．试题解析：（Ⅰ），当时，，即的单调递增区间为，无减区间；当时，，由得时，，时，，时，易知的单调递增区间为，单调递减区间为（Ⅱ）由（Ⅰ）知的单调递增区间为，单调递减区间为．不妨设，由条件知，即构造函数，与图像两交点的横坐标为，由可得，而，知在区间上单调递减，在区间上单调递增．可知欲证，只需证，即证考虑到在上递增，只需证由知，只需证令，则即单增，又，结合知，即成立，即成立点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题．处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会．17．已知函数.（1）当时，证明：有唯一零点；（2）若函数有两个极值点，（），求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)先对函数f(x)求导，再对a分类讨论即可判断函数f(x)的单调性，进而求得最值;(2)由函数的极值点得关于,的关系式以及参数a的范围,构造函数,将问题转化为该函数的最值问题，再进行适当放缩即可证明.【详解】（1）（）∵，，所以在，上递增，在递减，又，时，所以有唯一零点；（2）（）.若有两个极值点，（），则方程的判别式且，，因而，又，∴，即，设，其中，由得，由于，∴在上单调递增，在上单调递减，即的最大值为，从而成立.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值，证明不等式，考查了分类讨论思想，转化思想，属于难题.18．已知函数.（1）求函数的极值；（2）若函数有两个零点，且，证明：.【答案】（1）答案详见解析；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）求出，分两种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值；（2），为函数零点，可得，要证，只需证，，构造函数利用单调性可得结论.【详解】（1）函数的定义域为，.当时，，在上是减函数，所以在上无极值；当时，若，，在上是减函数.当，，在上是增函数，故当时，在上的极小值为，无极大值.（2）当时，，由（1）知，在上是减函数，在上是增函数，是极值点，又，为函数零点，所以，要