高中数学专题08极值点偏移的终极套路

专题08极值点偏移的终极套路值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高．下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方法．★已知，．若有两个极值点，，且，求证：（e为自然对数的底数）．解法一：齐次构造通解偏移套路证法1：欲证，需证．若有两个极值点，，即函数有两个零点．又，所以，，是方程的两个不同实根．于是，有，解得．另一方面，由，得，从而可得，．于是．又，设，则．因此，，．要证，即证：，．即：当时，有．设函数，，则，所以，为上的增函数．注意到，，因此，．于是，当时，有．所以，有成立，．解法二变换函数能妙解证法2：欲证，需证．若有两个极值点，，即函数有两个零点．又，所以，，是方程的两个不同实根．显然，否则，函数为单调函数，不符合题意．由，即只需证明即可．即只需证明．设，，在，即，故f．由于，故在，．设，令，则，解法三构造函数现实力证法3：由，是方程的两个不同实根得，令，，由于，因此，在，．设，需证明，只需证明，只需证明，即，即．即，，故在，故，即．令，则，因为，，在，所以，即．解法四巧引变量（一）证法4：设，，则由得，设，则，．欲证，需证．即只需证明，即．设，，，故在，故，故在，因此，命题得证．解法五巧引变量（二）证法5：设，，则由得，设，则，．欲证，需证，即只需证明，即，设，，故在，因此，命题得证．★已知函数，若方程有两个不相等的实数根，，求证：．【解析】证明：法一：由，得，故只有时，方程才有两个不相等的实数根，不妨设，则，满足，两式相减：①化简得：欲证：，结合的单调性，即证：等价于证明：令，，构造函数，，求导由单调性易得原不等式成立，略．法二：接后续解：由得：即：②而③由②③得：④要证，令，构造函数，，求导由单调性易得在恒成立，又因为，，故成立．法三：接④后续解：视为主元，设，则在上单调递增，故，再结合，，故成立．法四：构造函数，，则，从而在上单调递增，故，即对恒成立，从而，，则，由，，且在单调递增，故，即，从而成立．招式演练：1．已知函数.（1）若，讨论函数的单调性；（2）若函数的两个零点为，记，证明：.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导讨论和两种情况，根据导数的正负得到单调区间.（2）根据零点定义代入化简得到，计算，设，根据函数的单调性得到最值，得到证明.【详解】（1）若，则，.当时，恒成立，∴函数在上单调递增；当时，令，得；当，得，∴函数在上单调递增，在上单调递减.综上所述：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）函数的两个零点为，（），不妨设，∴，∴，即.又，，∴，∴，令，则，∴，∴在上单调递减，故，∴，即，又.∴.【点睛】本题考查了函数的单调性，证明不等式，意在考查学生对于导数的应用能力.2．已知函数，为函数的导数.（1）讨论函数的单调性；（2）若当时，函数与的图象有两个交点，，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先可以求出以及，再然后讨论，，三种情况，计算即可得出结果，（2）本题首先可设，然后求出并令，求出，再然后通过恒成立得出在上为增函数，求出的单调性和极值，最后通过在区间以及内各有一个零点即可证得.【详解】（1）当时，,在单调递增；当时，由,得,所以在单调递增，在单调递减；当时，,在单调递减（2）设，由于，恒成立知函数在上为增函数且x1-0+递减极小值递增，知在区间以及内各有一个零点，即为，，知，即.【点睛】本题考查根据导函数判断函数单调性以及二分法判断函数零点所在区间，若函数的导函数为，当时，函数是增函数，当时，函数是减函数，考查计算能力，是难题.3．已知函数，其中．（1）函数在处的切线与直线垂直，求实数a的值；（2）若函数在定义域上有两个极值点，，且．①求实数a的取值范围；②求证：．【答案】（1）2；（2）①；②见解析.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义列式求解；（2）①由题意可知在上有两个根，，且，即在上有两个不相等的根，，列式求实数的范围；②由①可知其中，，整理代入根与系数的关系，，转化为证明恒成立.【详解】（1）依题意，，故，所以据题意可知，，解得．所以实数a的值为2．（2）①因为函数在定义域上有两个极值点，，且，所以在上有两个根，，且，即在上有两个不相等的根，所以，解得，当时，若或，，，函数在和上单调递增；若，，，函数在上单调递减，故函数在上有两个极值点，，且．所以，实数a的取值范围是．②由①可知，是方程的两个不等的实根，所以其中．故，令，其中．故，令，，在上单调递增．由于，，所以存在常数，使得，即，．且当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以当时，又，，所以，即．故得证．【点睛】本题考查利用导数证明不等式，根据函数零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义，本题的难点是第三问，根据函数的极值点，得到根与系数的关系，通过构造函数判断函数的取值范围，解决零点问题，恒成立等常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合.4．设，已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设函数在点处的切线互相平行，证明：.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）分段求出导函数，分类研究单调性，注意函数的连续性，有些单调区间可以连接起来．（2）易知是直线与函数图象的三个交点，结合图象可得的关系，从而可得证结论．【详解】解：（1）当时，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，所以在上单调递减又因为在上连续，故在上单调递增，在上单调递减.（2）由图可知，直线与函数的图象有三个交点，横坐标为，不妨，则又，所以则，化简得令，，，因为，则，所以，在上单调递增，，即．【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查导数的几何意义，注意分段函数需要分段讨论．本题考查了学生的分析问题解决问题的能力，转化与化归能力，运算求解能力．5．已知函数在定义域内有两个不同的极值点.（1）求的取值范围;（2）设两个极值点分别为：，，证：.【答案】（1）.（2）见解析【解析】【分析】（1）由题得，令，则函数在定义域内有两个不同的极值点等价于在区间内至少有两个不同的零点，再利用导数得到，解不等式即得解；（2）分析得到要证：，只需证明，即证，不妨设，即证，构造函数构造函数，其中，证明即得证.【详解】（1）由题意可知，的定义域为，且，令，则函数在定义域内有两个不同的极值点等价于在区间内至少有两个不同的零点.由可知，当时，恒成立，即函数在上单调，不符合题意，舍去.当时，由得，，即函数在区间上单调递增；由得，，即函数在区间上单调递减；故要满足题意，必有，解得.（2）证明：由（1）可知，，故要证，只需证明，即证，不妨设，即证，构造函数，其中，由，所以函数在区间内单调递减，所以得证.即证.【点睛】本意主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．已知函数．（1）当函数与函数图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合；（2）证明：当时，函数有两个零点，且满足．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先利用导数的几何意义和函数求出公切线方程，再将公切线方程与函数联立，表示，再构造函数利用导数求出其单调区间和值域，可求出a的取值；（2）要证有两个零点，只要证有两个零点即可，而时函数的一个零点，所以只需再利用导数研究此函数的性质即可，由于两个零点，一个是，另一个在区间上，若设则，所以只需利用导数证明即可.【详解】解：（1）设公切线l与函数的切点为，则公切线l的斜率，公切线l的方程为：，将原点坐标代入，得，解得，公切线l的方程为：，将它与联立，整理得．令，对之求导得：，令，解得．当时，单调递减，值域为，当时，单调递增，值域为，由于直线l与函数相切，即只有一个公共点，故实数a的取值集合为．（2）证明：，要证有两个零点，只要证有两个零点即可．，即时函数的一个零点．对求导得：，令，解得．当时，单调递增；当时，单调递减．当时，取最小值，，，必定存在使得二次函数，即．因此在区间上必定存在的一个零点．练上所述，有两个零点，一个是，另一个在区间上．下面证明．由上面步骤知有两个零点，一个是，另一个在区间上．不妨设则，下面证明即可．令，对之求导得，故在定义域内单调递减，，即．【点睛】此题考查切线与导数的关系，利用导数研究函数零点个数，利用导数证明不等式，考查数学转换思想和计算能力，属于难题.7．已知函数.（1）求曲线在处的切线方程，并证明：.（2）当时，方程有两个不同的实数根，证明：.【答案】（1）；证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先求出导函数，利用导数的几何意义以及点斜式方程可求切线方程；构造函数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最小值即证.（2）为方程的两根，不妨设，由在上单调递增，根据零点存在性定理可知，存在，使，由，得，由（1）可得，，然后利用分析法即可证出.【详解】解：（1）因为，所以，，即切线方程：下证：，令在上单调递增，且所以，在递减，在递增，所以.所以.（2），为方程的两根，不妨设，显然在上单调递增.且所以存在，使当，，递减；，，递增.由，得，又由（1）知所以：，要证：，需证：，即证：，，即证：.即：令，在单调递增，且.所以，，在单调递增.所以所以不等式成立.【点睛】本题考查了导数的几何意义、利用导数证明不等式、分析法证明不等式，考查了转化与化归的思想，要求有较高的推理能力，属于难题.8．已知函数有三个极值点，（1）求实数的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）且；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）函数有3个零点等价于有3个变号零点，由于，且，所以可得有两个不为0，－1的实根，再对求导讨论其单调性可得结果；（2）由（1）可知有一个零点为0，所以不妨设，，而，所以，因此要证，即证而，，而在上递减，，所以只需证，即，然后构造函数，只需证此函数值恒大于零即可.【详解】解：（1）利用的极值点个数即为的变号零点个数，，设，由已知，方程有两个不为0，－1的实根，当时，在上递增，至多一个实根，故所以在上递减，在上递增，因为，所以时，有两个实根，解得且（2）由（1）不妨设，，∵，∴.要证，即证而，由在上递减，在上递增，且故只要证，又，故只要证即证设∴∴递增，∴即∴【点睛】此题考查函数的极值点问题，极值点偏移问题，利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立等，考查了数学转化思想，属于较难题.9．已知函数，，，且的最小值为0.（1）若的极大值为，求的单调减区间；（2）若，的是的两个极值点，且，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据的最小值为0分析可得，求导后，利用导数求出函数的极大值，与已知极大值相等列方程，可解得，从而可求得递减区间；（2）将不等式转化为证，对任意恒成立，再构造函数，,利用导数可得到证明.【详解】（1）因为的最小值为0，故对任意，即恒成立，且存在实数使得，即能成立，故关于x的一元二次方程根的判别式，故，故，则，令，则或，故在和上单调递增，令，则，故在上单调递减，故是的唯一极大值点，则，解得，故的单调减区间为.（写成，，均可得分）（2）不妨设，由（1）可知，的极大值点，极小值点，又，，故要证：，即证，即证，即证，对任意恒成立，构造函数，，令，则，故在上单调递减，又，故，故在上单调递增，又，故，即对任意恒成立，即对任意恒成立，特别地，取，则有成立，故原不等式成立.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值和单调性，考查了构造函数并利用导数证明不等式成立，属于较难题.10．已知函数，.（1）求的单调区间；（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；（3）若方程为实数）有两个实数根，，且，求证：.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出原函数的导函数，求和的解，即可求出函数的单调性；（2）设出点的坐标，利用导数求出切线方程，构造函数，利用导数得到对于任意实数，有，即对任意实数，都有；（3）由（2）知，，求出方程的根，由在上单调递减，得到.同理得到，则可证得结果..【详解】（1）解：由，可得.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）证明：设点的坐标为，，则，，曲线在点处的切线方程为，即，令函数，即，则，在R上单调递减.，当时，；当，时，，在上单调递增，在，上单调递减，对于任意实数，，即对任意实数，都有；（3）证明：由（2）知，，设方程的根为，可得.在上单调递减，又由（2）知，因此.类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，对于任意的，有，即.设方程的根为，可得，在上单调递增，且，因此，由此可得.【点睛】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识.考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，属于难题.11．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个不同的零点，，且，求证：.(其中是自然对数的底数)【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到，再分，讨论求解.（2）根据为的零点，有，用导数求得m的范围，再利用零点存在定理得到，令，结合（1）在上的单调性求解.【详解】（1）定义域为，∵，∴，当时，，在单调递增；当时，由，得；由得，∴在上单调递增，在上单调递减.（2）∵为的零点，∴，即，令，则，∴，当时，，单调递增；当时，，单调递减，又∵，∴，∵，，∴，令，则，由（1）知，当时，在上单调递减，∴，∴.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与函数的零点，导数与不等式的证明，还考查了分类讨论，转化化归的思想和推理论证､运算求解能力，属于难题.12．已知函数，其中，，e为自然对数的底数.(1)若，且当时，总成立，求实数a的取值范围；(2)若，且存在两个极值点，，求证：【答案】(1)；(2)见解析.【解析】【分析】(1)由已知可得，只需对与0的大小关系分类讨论，确定函数的单调性，从而确定函数的最小值，即可求出实数a的取值范围；(2)根据，是的根，可得与的关系及其范围，进而可将用含有的式子表示，构造函数即可证出.【详解】(1)若，则，所以，因为，，所以当，即时，，所以函数在上单调递增，所以，符合题意；当，即时，时，；时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意，综上：实数a的取值范围为.(2)若，则，所以，因为存在两个极值点，所以，所以，令，得，所以是方程的两个根，所以，，且，，不妨设，则，所以，令，所以，所以在上单调递增，所以，所以，又，所以.【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查函数的单调性、最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.13．已知函数（自然对数的底数）有两个零点.（1）求实数的取值范围；（2）若的两个零点分别为，证明：.【答案】（1）.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将有两个零点问题，转化为有两个零点，利用研究的单调性和零点，由此求得的取值范围.（2）将所要证明的不等式转化为证明，构造函数，利用证得，由此证得不等式成立.【详解】（1）有两个零点，等价于有两个零点，令，则在时恒成立，所以在时单调递增，所以有两个零点，等价于有两个零点.因为所以①当时，，单调递增，不可能有两个零点；②当时，令，得，单调递增；令，得，单调递减.所以.若，得，此时恒成立，没有零点；若，得，此时有一个零点；若，得，因为，且，，所以在，上各存在一个零点，符合题意.综上，当时，函数有两个零点，即若函数有两个零点，则的取值范围为.（2）要证，只需证，即证，由（1）知，，所以只需证.因为，，所以，，所以，只需证.设，令，则，所以只需证，即证.令，，则，.即当时，成立.所以，即，即.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数证明不等式，属于难题.14．已知函数，其中，，为自然对数的底数.若，，①若函数单调递增，求实数的取值范围；②若对任意，恒成立，求实数的取值范围.若，且存在两个极值点，，求证：.【答案】①；②；证明见解析.【解析】【分析】①问题等价于在上恒成立，即对任意恒成立，由此得解；②分及讨论，容易得出结论；解法一：表示出，令，求导后易证；令，，利用导数可证，进而得证；解法二：不等式的右边同解法一；由当时，可得，由此得出，可得证.【详解】解：①因为单调递增，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，，即；②由①当时，单调递增，故成立，符合题意，当时，令得，在上递减，不合题意；综上，实数的取值范围为.解法一：因为，存在两个极值点，，所以有两个不同的解，故，又，所以，设两根为，，则，，故，令，因为，所以在上递增，所以；又令，，则，令得，又，则，即，记为，则在上递增，在上递减，又，，所以，即，综上：.解法二：不等式的右边同解法一；由当时，恒成立，所以有当时，，所以.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及不等式的恒成立问题，考查不等式的证明，考查推理能力及运算求解能力，属于难题.15．已知函数，其中a为正实数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，，求证：.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）根据函数，求导得到，然后根据，分讨论求解.（2）由（1）得到若函数有两个极值点，，则