高二数学人教A版选修12全套课件

1．1回归分析的基本思想及其初步应用

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典例精析

栏目链接1．了解随机误差、残差、残差图的概念．2．会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果．3．掌握建立回归模型的步骤．4．了解回归分析的基本思想方法和初步应用．

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栏目链接题型一

线性回归模型的求解及应用

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栏目链接例1一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，收集的数据如下：零件个数x/个1234加工时间y/小时2358

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栏目链接分析：解答过程如下：解析：(1)根据表中提供的数据可作出散点图如下：

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栏目链接►变式训练1．某种产品的广告费用支出x与销售额y之间有如下的对应数据(单位：万元)：x/万元24568y/万元3040605070(1)画出散点图；(2)求回归方程；(3)据此估计广告费用支出为10万元时销售额y的值．

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栏目链接题型二

模型拟合效果的分析

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栏目链接例2一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得数据如下：零件数x/个102030405060708090100加工时间y/分钟626875818995102108115122(1)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程．(2)根据求出的回归直线方程，预测加工200个零件所用的时间为多少？(3)求出相关指数R2，作出残差图，并对模型拟合效果进行分析．

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栏目链接解析：(1)列出下表：i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi62013602250324044505700714086401035012200

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栏目链接yi626875818995102108115122i61.668.375.081.788.495.0101.7108.4115.1121.8yi－－29.7－23.7－16.7－10.7－2.73.310.316.323.330.3yi－i0.40－0.300－0.700.6000.30－0.40－0.100.20

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栏目链接注：横坐标为零件个数，纵坐标为残差．由R2≈0.99962非常接近于1，可知回归直线模型拟合效果较好．残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，也说明选用的线性回归模型较为合适，带状区域的宽度比较狭窄，说明了模型拟合精度较高．点评：解决本题的关键在于公式的运用．

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栏目链接►变式训练2．关于x与y有如下数据：x24568y3040605070

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栏目链接题型三

非线性回归分析

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栏目链接例3在化学反应过程中某化学物质的反应速率y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关，现收集了8组数据列于下表中，试建立y与x之间的回归方程.x1518212427303336y6830277020565350

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解析：根据收集的数据作散点图如下图所示，根据样本点分布情况可选用两种曲线模型来拟合．(1)可认为样本点集中在某二次曲线y＝c1x2＋c2的附近，令t＝x2，则变换后样本点应该分布在直线y＝bt＋a，a＝c2)的周围．由题意得变换后t与y样本数据表：

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栏目链接t22532444157672990010891296y6830277020565350作y与t的散点图如下：

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栏目链接由y与t的散点图可观察到样本数据点并不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程y＝bt＋a(b＝c1，)来拟合，也不宜用二次曲线y＝c1x2＋c2来拟合y与x之间的关系．(2)根据x与y散点图也可以认为样本点集中在某一条指数型函数y＝c1ec2x的周围．令z＝lny，则z＝c2x＋lnc1.即变换后样本点应该分布在直线z＝bx＋a(a＝lnc1，)的周围．由y与x的数据表可得z与x的数据表：x1518212427303336z1.7922.0793.4013.2964.2485.3234.1745.858

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栏目链接作出z与x的散点图：

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栏目链接►变式训练3．下表为收集到的一组数据：x21232527293235y711212466115325(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立y与x的关系式，并利用所得模型，预报x＝40时的值．

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栏目链接解析：(1)利用表中数据，作出散点图如下：从散点图可以看出x与y不是线性相关关系，根据所学知识可以发现样本点分布在一条指数函数曲线y＝aebx的周围，其中a，b为常数．(2)对y＝aebx取自然对数，lny＝lna＋bx，令u＝lny，c＝lna，则变换为线性回归模型，u＝c＋bx.数据可转化为：

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栏目链接x21232527293235u1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784散点图如下图所示：

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栏目链接1．2独立性检验的基本思想及其初步应用

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栏目链接1．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想，记住K2的计算公式．2．了解实际推断原理和假设检验的基本思想及其初步应用．3．通过实际问题培养学生的学习兴趣，激发学生学习的积极性和主动性，增强社会实践能力，培养分析问题、解决问题的能力．

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栏目链接题型一利用图形分析两分类变量的相关性

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栏目链接例1打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关，下表是一次调查所得的数据，试问：每晚都打鼾与患心脏病有关吗？用图加以分析.患心脏病未患心脏病合计每晚都打鼾30224254不打鼾2413551379合计5415791633

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解析：利用等高条形图定性分析两个分类变量之间是否有关系，图形如下：

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栏目链接►变式训练1．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表：患病未患病总计服用药104555没有服用药203050总计3075105试用图形判断服用药和患病之间是否有关系．

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栏目链接解析：相应的等高条形图如下：从图形可以看出，服用药的样本中患病的比例明显低于没有服用药的样本中患病的比例，因此可以认为：服用药和患病之间有关系．题型二

独立性检验方法——K2公式

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例2调查者询问了72名大学生在购买食品时是否看营养说明得到下表所示的数据，从表中数据分析看不看说明书与大学生的性别之间有没有关系.看营养说明不看营养说明合计男大学生28836女大学生132036合计442872

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栏目链接►变式训练2．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行长期的调查，得到的统计数据如下表所示：

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(1)如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太积极参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为学生的积极性与对待班级工作的态度有关系？题型三

独立性检验的实际应用

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栏目链接例3下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：得病不得病合计干净水52466518不干净水94218312合计146684830(1)这种产染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理由；(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人，饮用不干净水得病9人，不得病22人．按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．

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栏目链接得病不得病合计干净水55055不干净水92231合计147286

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栏目链接►变式训练3．现有两种治疗运动员膝关节损失的药方，为了比较两药方的疗效收集的数据如下表；药方再发病人不再发病人药方12504750药方21004900(1)试判断药方的选择对疗效是否有关；(2)哪种药方疗效好？

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栏目链接第二章推理与证明2．合情推理

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栏目链接归纳推理点评：这是典型的归纳推理模式，应该认真把握．只是在取特殊值时，要多验证几个，力求探寻到一般性的规律，以免因为片面而导致错误．

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栏目链接两条直线最多有一个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，5条直线最多有10个交点，……，试归纳n条直线最多有多少个交点．

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栏目链接点评；在几何问题中，经常由n＝2，3，4，…，归纳出f(n)的表达式，关键是寻找递推关系．

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栏目链接►变式训练3．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数，求f(4)及f(n)．分析：f(4)可以具体求出，求f(n)可由f(3)，f(4)，f(5)，…中归纳得出．

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栏目链接类比推理如右图，在三棱锥S­ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为θ1，θ2，θ3，三侧面SBC，SAC，SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出三棱锥S­ABC的一个猜想．

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栏目链接点评：从本例可以看出，在从平面三角形到空间四面体的类比过程中，三角形的三条边对应于四面体的三个侧面，边长对应于面积，三个内角对应于四面体的三条侧棱与底面所成的角．

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栏目链接►变式训练4．过棱锥各侧棱中点的截面叫做中截面，类比三角形中位线定理“A1B1∥AB且A1B1＝AB”，可得三棱锥中截面的性质定理：________________________________________.答案：平面A1B1C1∥平面ABC，且S△A1B1C1＝S△ABC

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栏目链接在等差数列{an}中，有am＋an＝ar＋as(其中m＋n＝r＋s)，类比以上结论得等比数列中的类似结论，并证明之．分析：等比数列中的乘法、乘方类比等差数列中的加法、乘法．解析：类比等差数列中的结论可得在等比数列{bn}中，bmbn＝brbs(其中m＋n＝r＋s)．证明如下：∵bm·bn＝b1·qm－1·b1·qn－1＝bqm＋n－2，br·bs＝b1·qr－1·b1·qs－1＝b·qr＋s－2(其中q为公比)，又∵m＋n＝r＋s，∴bmbn＝brbs.

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栏目链接点评：等差数列和等比数列是一对很好的类比对象，它们在很多方面可以进行类比．等差数列中的加、减、倍数通常与等比数列中的乘、除、乘方相对应．

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栏目链接►变式训练5．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为(D)A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9

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栏目链接解析：对向量a，b，有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a2＋b·a＋a·b＋b2＝a2＋2a·b＋b2.(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a2＋b·a－a·b－b2＝a2－b2.对象归纳整理，便于记忆与运用。在实数运算中有公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)(a＋b)＝a2－b2.类比以上结论得向量的运算公式并证明．

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栏目链接点评：类比是对知识进行串接梳理的好方法，在平时的学习与复习时，常常把有类比关系的对象归纳整理，便于记忆运用。

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栏目链接►变式训练6．类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.答案：a＋b＝b＋a

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

a＋0＝a第二章推理与证明2．演绎推理

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栏目链接“三段论”模式及其理解将下列的演绎推理写成“三段论”的形式．(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直；(2)奇数不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；(3)一次函数的图象是直线，y＝2x＋1是一次函数，所以y＝2x＋1的图象是直线．解析：根据“三段论”的概念，可以得到：(1)每个菱形的对角线都相互垂直，大前提正方形是菱形，小前提所以正方形的对角线相互垂直．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提(2100＋1)是奇数，小前提所以(2100＋1)不能被2整除．结论(3)所有的一次函数的图象是直线，大前提y＝2x＋1是一次函数，小前提所以y＝2x＋1的图象是直线．结论点评：这些基本问题有助于准确理解“三段论”的表述形式，应该重点掌握．

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栏目链接►变式训练1．将下列的演绎推理写成“三段论”的形式．(1)三角形内角和为180°，所以正三角形的内角和是180°；(2)0.332·是有理数；(3)两直线平行，同旁内角互补．∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°.

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栏目链接给定一个推理：因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提而菱形是所有边长都相等的凸多边形，小前提所以菱形是正多边形．结论(1)上面的推理形式正确吗？(2)推理的结论正确吗？为什么？

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栏目链接解析：上述推理的形式正确，但大前提是错误的(因为所有边长都相等，内角也相等的凸多边形才是正多边形)，所以所得的结论是错误的．点评：这道题要求在准确理解“三段论”的形式基础上，进一步学会判断推理形式是否为“三段论”以及“三段论”的各组成部分是否正确．

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栏目链接►变式训练2．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.”这个推理的结论显然是错误的，这是因为(A)A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：直线平行于平面，并不平行于平面内所有直线．

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栏目链接演绎推理在证明几何问题中的应用如图，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，用“三段论”证明：ED＝AF.

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栏目链接证明：∵同位角相等，两直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提∴FD∥AE.结论∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提∴四边形AFDE是平行四边．结论∵平行四边形的对边相等，大前提ED和AF是平行四边形AFDE的对边，小前提∴ED＝AF.结论

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栏目链接►变式训练3．如图，在梯形ABCD中，AB＝DC＝DA，AC和BD是梯形的对角线，用“三段论”证明：AC平分∠BCD，DB平分∠ABC.

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栏目链接分析：理清图形中的线段关系，角度关系，由△ADC是等腰三角形知，∠1＝∠2，又AD∥BC，知∠1＝∠3，等量代换得∠2＝∠3，结论得证．证明：∵等腰三角形两底角相等，大前提△ADC是等腰三角形，小前提∴∠1＝∠2.结论∵两条平行线段被第三条直线所截，内错角相等，大前提∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角小前提∴∠1＝∠3结论

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栏目链接∵等于同一个角的两个角相等，大前提∠2＝∠1，∠3，＝∠1，小前提∴∠2＝∠3，即AC评分∠BCD.结论同理可证：DB平分∠ABC.

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栏目链接演绎推理在代数问题中的应用设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∈A，且k＋1∈A，那么称是k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．

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解析：设A＝{a，b，c}是集合S的3个元素构成的不含“孤立元”的集合，则由“孤立元”的定义可知，a，b，c是三个连续整数．“孤立元”的定义大前提给定A＝{1，2，3}，小前提所以集合A不含“孤立元”结论同理可得不含“孤立元”的集合还有{2，3，4，}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，故不含“孤立元”的集合共有6个．答案：6

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栏目链接►变式训练4．已知lg3＝m，用“三段论”计算lg的值．解析：∵lgan＝nlga(a＞0)，大前提，lg9＝lg32，小前提∴lg9＝2lg3，结论又∵lg＝lga－lgb(a＞0，b＞0)，大前提lg＝lg.小前提∴lg＝lg9－lg10＝2lg3－1＝2m－1结论第二章推理与证明2．综合法和分析法

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栏目链接用综合法、分析法证明代数问题已知：a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.证明：证法一(分析法)

要证a3＋b3＞a2b＋ab2，即证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，因为a＋b＞0，故只需证a2－ab＋b2＞ab，即证a2－2ab＋b2＞0，即证(a－b)2＞0，因为a≠b，所以(a－b)2＞0成立，所以a3＋b3＞a2b＋ab2成立．证法二(综合法)

由a≠b，知(a－b)2＞0，即a2－2ab＋b2＞0，则a2－ab＋b2＞ab，又a＋b＞0，则(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，即a3＋b3＞a2b＋ab2.

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栏目链接用综合法、分析法证明几何问题如下图，在三棱柱ABC­A1B1C1

中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC

的中点．求证：AB1∥平面BC1D.

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栏目链接证明：连接B1C(如下图)，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，

∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1又∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.

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栏目链接(2014·肇庆一模)如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，D是AC的中点，已知AB＝2，VA＝VB＝VC＝2.(1)求证：OD∥平面VBC；(2)求证：AC⊥平面VOD；

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栏目链接证明：(1)∵O、D分别是AB和AC的中点，∴OD∥BC.又OD⊄平面VBC，BC⊂平面VBC，∴OD∥平面VBC.(2)∵VA＝VB，O为AB中点，∴VO⊥AB.连接OC，在△VOA和△VOC中，OA＝OC，VO＝VO，VA＝VC，∴△VOA≌△VOC，∴∠VOA＝∠VOC＝90°，∴VO⊥OC.

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栏目链接∵AB∩OC＝O，∴VO⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥VO.又∵VA＝VC，D是AC的中点，∴AC⊥VD.∵VO∩VD＝V，∴AC⊥平面VOD.

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栏目链接►变式训练3．如右图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，证明：平面A1BD∥平面CB1D1.

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栏目链接证明：因为ABCD­A1B1C1D1为长方体，所以有A1D1綊BC，即四边形A1BCD1为平行四边形，从而有A1B∥CD1.又已知A1B⊄平面CB1D1，CD1⊂平面CB1D1，进而有A1B∥平面CB1D1；同理有A1D∥B1C，从而有A1D∥平面CB1D1.又已知A1B∩A1D＝A1，所以有平面A1BD∥平面CB1D1.

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栏目链接4．(2014·珠海一模)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，∠A1AB＝45°，四边形BCC1B1为矩形，若AC＝5，AB＝4，BC＝3.(1)求证：BC∥平面A1B1C1；(2)求证：AB1⊥平面A1BC.

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栏目链接解析：(1)证明：∵四边形BCC1B1为矩形，∴BC∥B1C1.∵BC⊄平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，∴BC∥平面A1B1C1.(2)在△ABC中，AC＝5，AB＝4，BC＝3，∴AC2＝AB2＋BC2，∴∠ABC＝90°，即CB⊥AB.又∵四边形BCC1B1为矩形，∴CB⊥BB1.

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栏目链接∵BB1∩AB＝B，∴CB⊥平面AA1B1B.又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴CB⊥AB1.∵四边形A1ABB1为菱形，∴AB1⊥A1B.∵CB∩A1B＝B，∴AB1⊥平面A1BC.第二章推理与证明2．反证法

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栏目链接用反证法证明否定性命题

设{an}，{bn}分别是公比为p，q(p，q∈R，且p≠q)的两个等比数列，如果cn＝an＋bn，证明数列{cn}不可能是等比数列．分析：因为结论是否定的，所以用反证法证明．证明：假设{cn}是等比数列，则c＝c1c3，即(a1p＋b1q)2＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)，展开并整理得a1b1(p－q)2＝0.由于a1，b1是等比数列中的项，所以a1≠0，b1≠0，那么p＝q，这与已知条件矛盾，所以，数列{cn}不可能是等比数列．点评:本题很好地体现了反证法证明否定性数学命题的巨大作用，同时也十分清晰地展示了反证法的证明步骤．►变式训练1．如图，设SA，SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．证明：假设AC⊥平面SOB，∵直线SO在平面SOB中，∴SO⊥AC.∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB.又AB∩AC＝A，∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圆O，这显然出现矛盾．∴假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．

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栏目链接用反证法证明“至少、至多”问题

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栏目链接证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝(x－1)2＋(y－2)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3＞0，即a＋b＋c>0，与假设矛盾，所以a，b，c中至少有一个大于0.点评：采用反证法证明结论中至少或至多形式时，可以使得推证方向明确、推证过程清晰，有利于问题的整体解决．

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栏目链接►变式训练2．已知x＞0，y＞0，且x＋y＞2.试证：，中至少有一个小于2.分析：如果从正面证明，需要对某一个分式小于2或两个分式都小于2等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证明两个分式都不小于2是不可能的．于是考虑采用反证法．

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栏目链接用反证法证明唯一性命题

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栏目链接►变式训练3．求证：方程2x＝3有且只有一个根．证明：∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程至少有一个根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．假设方程2x＝3有两个根x1，x2(x1≠x2)，则2x1＝3，2x2＝3，两式相除得，2x1－x2＝1，如果x1－x2＞0，则2x1－x2＞1，这与2x1－x2＝1相矛盾；如果x1－x2＜0，则2x1－x2＜1，这也与2x1－x2＝1相矛盾，因此，x1－x2＝0，即x1＝x2，这与x1≠x2矛盾，所以方程2x＝3有且只有一个根．

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栏目链接当正面入手较困难时宜用反证法已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0.证明：假设a，b，c不全是正数，即至少有一个小于或等于0.又abc＞0，不妨假设a＜0，则bc＜0，∴b＋c＞－a＞0，∴－a(b＋c)＞0，∴a(b＋c)＜0，又bc＜0，∴ab＋bc＋ac＜0，这与已知相矛盾．∴假设不成立，故a＞0，b＞0，c＞0.

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栏目链接点评：当一些问题直接证明比较难时，可以考虑用反证法，它是从否定结论出发，利用已知、公理、定理、性质等，进行推理，直至产生矛盾(与已知、假设或明显成立的事实相矛盾，或自相矛盾)．

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栏目链接►变式训练4．若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.分析：本题若直接证明，难度较大．而本题结论的反面更简单，所以宜用反证法．证法一

假设a＋b＞2，则a＞2－b，∴2＝a3＋b3＞(2－b)3＋b3，即2＞8－12b＋6b2，即(b－1)2＜0，这是不可能的．∴a＋b≤2.

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栏目链接3．数系的扩充和复数的相关概念

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栏目链接1．了解引入复数的必要性，了解数系的扩充过程．2．理解复数的基本概念．3．理解复数相等的充要条件．4．了解“虚数不能比较大小”的确切含义．5．了解复数的代数表示法．

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栏目链接题型一

复数的基本概念

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栏目链接例1判断下列命题是否正确．(1)1－ai(a∈R)是一个复数．(2)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．(3)若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i.(4)若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1.

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栏目链接题型二

复数相等的充要条件

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栏目链接3．复数的几何意义

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栏目链接1．理解复数的几何意义．2．能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量．

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栏目链接题型一

复数的几何意义

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栏目链接题型二

复数的模

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