2022-2023学年广东省湛江市四校高一年级上册学期第二次联考数学试题

2022~2023学年第一学期第二次大考高一数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.4.本卷主要考查内容：必修第一册第一章~第四章.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则的非空子集的个数为（）A.6 B.7 C.8 D.92.已知，，，则（）A. B. C. D.3.已知，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，且，则 D.若，，则4.设x，y都是实数，则“且”是“且”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.如果函数和都是指数函数，则（）A. B.1 C.9 D.86.若，则（）A.5 B.7 C. D.7.鱼塘中的鱼出现了某种因寄生虫引起的疾病，养殖户向鱼塘中投放一种灭杀寄生虫的药剂，已知该药剂融于水后每立方的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的关系用如图所示的曲线表示.据进一步测定，每立方的水中含药量不少于0.25毫克时，才能起到灭杀寄生虫的效果，则投放该杀虫剂的有效时间为（）A.4小时 B.小时 C.小时 D.5小时8.已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素m都乘再求和，例如，则可求得和为，对P的所有非空子集，这些和的总和为（）A.80 B.160 C.162 D.320二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列既是存在量词命题又是真命题的是（）A.， B.至少有一个，使x能同时被3和5整除C.， D.每个平行四边形都是中心对称图形10.已知函数的图象经过点，则（）A.的图象经过点 B.的图象关于y轴对称C.在定义域上单调递减 D.在内的值域为11.下列说法正确的是（）A.的最大值为 B.的最小值为2C.的最小值为4 D.的最小值为212.已知函数.若互不相等的实数，，满足，则的值可以是（）A.－8 B.－7 C.－6 D.－5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合，，若，则a的值为______.14.函数的定义域为______.15.已知实数，，则的最小值为______.16.已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则m的取值范围为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10分）计算下列各式的值：（1）；（2）.18.（本小题满分12分）为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%.（1）写出第x年（2020年为第一年）该企业投入的资金数y（单位：万元）与x的函数关系式，并指出函数的定义域；（2）该企业从第几年开始（2020年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元？（参考数据，，，）19.（本小题满分12分）已知幂函数，且.（1）求函数的解析式；（2）试判断是否存在正数m，使得函数在区间上的最大值为5？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由.20.（本小题满分12分）已知函数（且）.（1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a的值；（2）解关于x的不等式.21.（本小题满分12分）已知函数的定义域为，对任意的，都有.当时，，且.（1）求的值，并证明：当时，；（2）判断的单调性，并证明；（3）若，求不等式的解集.22.（本小题满分12分）已知函数（a为常数）.（1）当时，判断在上的单调性，并用定义法证明；（2）讨论零点的个数并说明理由.2022~2023学年第一学期第二次大考·高一数学参考答案1.B由已知，非空子集有个.故选B.2.A因为，，所以.3.D当，时，，故A错误；当时，，故B错误；当，时，，故C错误；若，，则，故D正确.故选D.4.A由且，必有且；当且时，如，不满足，故不一定有且.所以“且”是“且”的充分不必要条件.故选A.5.D根据题意可得，，则.故选D.6.C因为，两边平方得，即，所以原式.故选C.7.C由题图可知，因为当时，，得，，得，所以投放该杀虫剂的有效时间为小时.8.B因为元素1，3，4，6，8，9在集合S的所有非空子集中分别出现次，则对S的所有非空子集中元素m执行乘再求和操作，则这些和的总和是.故选B.9.ABA中，当时，满足，所以A是真命题；B中，15能同时被3和5整除，所以B是真命题；C中，因为所有实数的平方非负，即，所以C是假命题；D是全称量词命题，所以不符合题意.故选AB.10.AD将点的坐标代入，可得，则，的图象经过点，A正确；根据幂函数的图象与性质可得B，C错误，D正确.故选AD.11.AC，当且仅当，即时等号成立，故A正确；当时，，故B错误；，当且仅当，即时等号成立，故C正确；，当且仅当时等号成立，又无解，故不能取到等号，故D错误.故选AC.12.CD如图，时，，时，，则.故选CD.13.－2当时，即，当时，，不合，舍去，当时，，满足题意，当时，，不合，舍去，故.14.由，解得，所以函数的定义域为.15.令，（当且仅当，即时，取等号）.16.是幂函数，，∵在上单调递减，经检验，∴，∴在上的值域为，在上的值域为，根据题意有，∴m的范围为.17.解：（1）原式；（2）原式.18.解：（1）第二年投入的资金数为万元，第三年投入的资金数为万元，第x年（2020年为第一年）该企业投入的资金数y万元与x的函数关系式为，其定义域为.（2）由可得，即，即该企业从第9年开始（2020年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元.19.解：（1）由题知，，解得或，当时，，满足，当时，，不满足，所以.（2）.①当时，在区间上单调递增，在上单调递减，所以，解得，不合题意；②当时，在区间上递增，所以，解得.综上所述，存在正数，使得在区间上的最大值为5.20.解：（1）因为在上为单调函数，且函数在区间上的最大值与最小值之差为1，所以，即，解得或；（2）因为函数是上的减函数，所以，即，当时，，原不等式解集为；当时，，原不等式解集为.21.（1）解：令，则，又，所以.证明：当时，，所以，又，所以，所以；（2）在上单调递减.证明：设，则，又，所以，所以，又当时，，当时，，，所以，即，所以在上单调递减；（3）解：因为，所以，所以，即，又在上单调递减，所以，解得，所以不等式的解集为.22.解：（1）当，且时，是单调递减的.证明：设任意，则，∵，∴，∴，∴，故当时，在上是单调递减的；（2）令，可得