运动方程式的线性化

Chap2-6

運動方程式的線性化

1/13/20231中華技術學院航電系歐陽讓教授運動方程式的線性化由前面的推導知六自由度運動方程式為非線性的常微分方程式，其求解甚為費時。非線性方程式適合於描述變數大範圍變化的情形，但在實際上，飛機在大部份的時間下，均保持穩定平衡飛行，因此吾人可將飛機的非線性動態針對平衡點加以展開，然後描述飛機偏離平衡點的微小擾動。1/13/20232中華技術學院航電系歐陽讓教授運動方程式的線性化現將描述飛機運動的六個變量寫成其中有下標”0”的，表示在平衡狀態下的值，小寫字母則代表微小擾動。線性化的方程式則是在描述六個微擾值Δu，Δv，Δw，Δp，Δq，Δr相對於時間的變化。除了將變數展開外，也要把外力和外力矩展開。側滾角速率ｐ偏航角速率ｒ1/13/20233中華技術學院航電系歐陽讓教授運動方程式的線性化設是的非線性函數，Ｆ的變化量可寫成其中，是偏導數的縮寫。1/13/20234中華技術學院航電系歐陽讓教授線性化與氣動力偏導數Ｆ代表飛機所受到的三個外力X，Y，Z及三個外力矩L，M，N，且＝u，v，w，p，q，r→六個變數。因此有六個函數相對於六個自變數的偏導數，故總共可形成36個偏導數。以Ｘ方向的外力Ｘ為例，Ｘ的微擾量可線性展開成另外控制翼面的角度變化，，，也會產生力和力矩的變化，因此會有一些由，，所衍生的偏導數如，等。以下提到u，v，w，p，q，r時，均是指微擾量。1/13/20235中華技術學院航電系歐陽讓教授控制翼面（ControlSurface）一般飛機有三個控制翼面（ControlSurface）,其中控制橫向運動的有兩個,控制縱向運動的有一個：副翼（Aileron）的轉動角：（xi橫向運動的控制面）=δa升降舵（elevator）的轉動角：（eta縱向運動的控制面）=δe方向舵（rudder）的轉動角：（zeta橫向運動的控制面）=δr1/13/20236中華技術學院航電系歐陽讓教授縱向偏導數的物理意義

縱向面的運動包含前進速度u垂直速度w俯仰率q。由u，w，q所產生的偏導數有前進速度u：前向力偏導數Xu垂直力偏導數Zu垂直速度w前向力偏導數Xw垂直力偏導數Zw俯仰力矩偏導數Mw俯仰率q：垂直力偏導數Zq俯仰力矩偏導數Mq垂直速度變化率：垂直力偏導數俯仰力矩偏導數1/13/20237中華技術學院航電系歐陽讓教授Xu，Zu，Xw，Zw的物理意義解釋這四個偏導數是前進速度u及垂直速度w的變化所導致前向力及垂直力的變化。這是因為u和w的變化引起攻角α的改變，而α改變造成升力和阻力的改變，因此升力、阻力在Ｘ方向及Ｚ方向的分量也隨之變化。1/13/20238中華技術學院航電系歐陽讓教授Mw的物理意義解釋

這是指垂直速度w的改變所造成的俯仰力矩的相對變化。注意＝垂直速度／前向速度，因此w改變α改變升力改變對CG的力矩改變俯仰力矩M改變對於穩定飛機而言，，這如同前面所解釋過的，是一樣的道理。1/13/20239中華技術學院航電系歐陽讓教授Zq和Mq的物理意義解釋

這兩項是由於俯仰率q的改變造成垂直力Z及俯仰力矩大小的改變。參考圖，當機身繞CG（重心）有一正向的俯仰角速率q時，（使機頭抬起），此時機尾產生一向下的速度，其中是機尾到CG的距離。此一向下速度使得尾翼和相對風之間形成新增的攻角，這個尾翼的攻角使尾翼產生了正向力注意指每單位q的變化所產生Z的變化（），因此是指q單位q的變化，所生的Z的變化量。1/13/202310中華技術學院航電系歐陽讓教授Zq和Mq的物理意義解釋

這兩項是由於俯仰率q的改變造成垂直力Z及俯仰力矩大小的改變。尾翼和相對風之間形成新增的攻角新的攻角使尾翼產生了新的正向力尾翼所生的垂直力對機身CG又產生一個俯仰力矩，而且其值是負的（即），也就是尾翼所產生的力使機頭向下。相當於說，如果有一陣風使機身產生正的俯仰角速率q（機頭抬起），此q引起的翼尾的向上垂直力，將產生負的俯仰力矩M使得機頭向下。因此尾翼具有阻尼(damping)的效果，可阻止機頭繼續抬起。

1/13/202311中華技術學院航電系歐陽讓教授的物理意義解釋

這是垂直速度的變化率對Z和M的影響。是下洗（down-wash）的作用，而下洗是因氣流流過主翼後，被往下帶，此股氣流由上而下接近尾翼，使得尾翼的有效攻角減小，其所產生的正向力Z和力矩M自然也就隨之改變了。和1/13/202312中華技術學院航電系歐陽讓教授，的物理意義解釋

這二個是屬於因控制翼面（升降舵）偏轉所生成的偏導數。是升降舵（elevator）所打的角度。升降舵往下打，產生向上的升力（對Z的影響），此升力對機身的CG又會造成新的俯仰力矩（對M的影響）。綜合上面的分量，縱方向的二個力X，Z及一個力矩M，可表成如下的線性組合

（eta)1/13/202313中華技術學院航電系歐陽讓教授縱向運動的力與力矩的綜合表示縱方向的二個力X(前向力)，Z(垂直力)及一個俯仰力矩M，可表成如下的線性組合(1)1/13/202314中華技術學院航電系歐陽讓教授橫向偏導數的物理意義此類偏導數在建立側滑速度ｖ，側滾率ｐ，和偏航率ｒ對側向力Ｙ，側滾力矩Ｌ，和偏航力矩Ｎ的影響。側滑速度ｖ：側向力偏導數偏航力矩偏導數側滾力矩偏導數側滾角速率ｐ：側滾力矩偏導數偏航力矩偏導數偏航角速率ｒ：偏航力矩偏導數側滾力矩偏導數1/13/202315中華技術學院航電系歐陽讓教授側滑速度ｖ會產生一側滑角β，此角是相對風速和機身間的夾角，由於風從側面吹來（見右圖），機身兩側的風速不對稱，而產生一側向力。的物理意義

1/13/202316中華技術學院航電系歐陽讓教授這是側滑速度ｖ對偏航力矩Ｎ的影響。參考右圖，當飛機有一向右的側滑速度ｖ時，此時風從右側吹來，打在垂直尾翼（Fin）上，而產生向左的側向力，此側向力對機身ＣＧ產生一偏航力矩，使機頭向右偏，進而降低側滑角，也就是垂直尾翼有使機身朝向風來方向的功能（如果機頭完全對準風，則β＝0）。此功能和測風向的風向雞（weathercock）是一樣的。的物理意義

1/13/202317中華技術學院航電系歐陽讓教授垂直尾翼越大，機身追風的能力就越強，也就是風從那裡來，垂直尾翼所產生的側向力會迫使機頭朝向那一方。所以大→追風強。垂直尾翼所生的偏航力矩Ｎ和垂直尾翼面積成正比，也和垂直尾翼與ＣＧ的距離（力臂）成正比；當然側滑速度愈大，偏航力矩也愈大。的物理意義

1/13/202318中華技術學院航電系歐陽讓教授不過側向風作用在機身上，也會產生一側向力，此側向力（見圖）雖然和垂直尾翼所產生的側向力同方向，但對ＣＧ所產生的偏航力矩，其方向卻相反，機身所生的偏航力矩會使側滑角變大；反之，如前所述，垂直尾翼所生的偏航力矩會使側滑角減小。因此，側滑速度所生成的偏航力矩要考慮機身與垂直尾舵的綜合效應。的物理意義

1/13/202319中華技術學院航電系歐陽讓教授代表由於側滑速度所造成的側滾力矩增量。參考右圖，這是一前視圖，機身有一向右的側滑速度ｖ，此時右翼有下沈，而左翼有上揚的趨勢。因此，右翼的相對風向是由下而上，因此攻角變大；而左翼的風由上而下，攻角變小。右翼攻角大，故升力大，而左翼攻角小，故升力小。由於左右兩翼升力的不平衡，而產生逆時針的側滾力矩，使得右翼上揚而左翼下沈（注意最先的趨勢是右翼下沈而左翼上揚）。因此由於側滑速度產生的側滾力矩有助於機翼恢復到水平的位置。的物理意義

圖：上傾角與側滑的效應

1/13/202320中華技術學院航電系歐陽讓教授LP的物理意義

這是因側滾率ｐ所產生的側滾力矩Ｌ。參考右圖，當飛機有一逆時針的側滾角速度ｐ時，左側機翼下沈，而右側機翼上揚。下沈的機翼端，相對氣流由下而上，攻角變大；上揚的機翼端，相對氣流由上而下，攻角變小。因此左側機翼升力大，而右側機翼升力小，而產生一順時針的力矩，阻止原來逆時針旋轉的運動。亦即，由ｐ所產生的側滾力矩會阻止機體繼續側滾，達到一平衡的姿態。

1/13/202321中華技術學院航電系歐陽讓教授NP的物理意義

參考右圖，機翼的側滾率ｐ使一邊升力變大，另一邊的機翼升力變小；然而升力大者，阻力也大，因此左右兩側機翼的阻力不同，自然就產生了偏航力矩。

1/13/202322中華技術學院航電系歐陽讓教授Nr的物理意義

偏航角速度r所產生的偏航力矩。參考右圖，當飛機有一正的偏航率時，垂直尾翼產生向左lf．r的速度，這個速度改變風對於垂直尾翼的入射角，而在合成速度的垂直方向上，形成升力。這個升力對ＣＧ產生旋轉，其方向和ｒ相反。此即因此對於穩定的飛機而言，機身有偏航的角速度時，縱使不去控制它，也會自動產生一相反的偏航力矩，阻止機身持續地偏航。1/13/202323中華技術學院航電系歐陽讓教授Lr的物理意義

偏航角速度ｒ所產生的側滾力矩，參考右圖，當飛機向右偏航時，左側機翼的相對風速較大，所產生的升力也較大；而右側機翼的相對風速較小，升力也小。由於左右二側升力的不平均，而產生左側翼面上揚，而右側翼面下沈的側滾力矩。因為此力矩的存在，而使得飛機的偏航必定伴隨側滾的發生。1/13/202324中華技術學院航電系歐陽讓教授：副翼的影響

ξ是指副翼（aileron）所打的角度=δa。是每單位角度副翼的偏轉，所產生的側滾力矩。副翼的偏轉一定是一邊往上打，而另一邊往下打；副翼向上打的，升力向下（整側機翼升力減小）；副翼向下打的，升力向上（該側機翼升力增加）。由於兩側升力不同，機體遂生成側滾力矩xi1/13/202325中華技術學院航電系歐陽讓教授：副翼的影響

是指副翼打動時，所產生的偏航力矩Ｎ。前面提到副翼一上一下偏轉後，升力一側大，另一側較小，而升力大者亦伴隨大的阻力，升力小者伴隨小的阻力，阻力的不同，而產生偏航力矩。左右兩翼升力不同→產生側滾左右兩翼阻力不同→產生偏航1/13/202326中華技術學院航電系歐陽讓教授橫向運動的力與力矩可綜合表示

側向力：

側滾力矩：

偏航力矩：(2)（zeta方向舵（rudder）的轉動角）=δr（xi副翼（Aileron）的轉動角）=δa1/13/202327中華技術學院航電系歐陽讓教授飛機的線性化運動方程式平移運動的線性化設飛機的速度為，v，（假設穩定飛行中沒有側滑，即＝0），且設穩定飛行時沒有旋轉動作，即Ｐ＝Ｑ＝Ｒ＝0，但允許有微擾旋轉ｐ，ｑ，ｒ。1/13/202328中華技術學院航電系歐陽讓教授飛機的線性化運動方程式其中下標「ａ」代表由氣動所造成的力。將上面的式子，用連起來，得(3)(3.25)(3.33)參考Table3.1Forceequation1/13/202329中華技術學院航電系歐陽讓教授飛機的線性化運動方程式旋轉運動方程式其中吾人已假設體軸與主軸（principleaxis）重合，故※注意：對於微小擾動而言，體軸的旋轉角速度和尤拉角的變化率可視為相同，即(4)參考Table3.11/13/202330中華技術學院航電系歐陽讓教授飛機的線性化運動方程式現在將（1）式的縱方向的力和力矩（Ｘ，Ｚ，Ｍ），及（2）式的橫方向的力和力矩（Ｙ，Ｌ，Ｎ）代入（3）及（4）的運動方程式中，得縱方向運動方程式(5)1/13/202331中華技術學院航電系歐陽讓教授飛機的線性化運動方程式及橫方向運動方程式(6)1/13/202332中華技術學院航電系歐陽讓教授飛機的線性化運動方程式縱方向運動方程式(5)可表成聯立的一階常係數常微分方程式

(7)1/13/202333中華技術學院航電系歐陽讓教授飛機的線性化運動方程式橫方向運動方程式可表成聯立的一階常係數常微分方程式

(6)(8)1/13/202334中華技術學院航電系歐陽讓教授飛機的線性化運動方程式上面二式可進一步表成標準線性方程式(7)(8)對應課本(2.38)對應課本(2.39)1/13/202335中華技術學院航電系歐陽讓教授飛機的線性化運動方程式Ｘ：狀態變數向量，ｕ，ｖ，ｗ，ｐ，ｑ，ｒ，，Ａ：系統矩陣，由氣動力係數所決定。Ｂ：控制影響矩陣，代表每單位控制翼面的偏轉角，所產生的力或力矩。ｕ：控制翼面的偏轉角。飛行力學：給定ｕ，求ｘ的響應。飛行控制：給定ｘ的響應，求ｕ。

1/13/202336中華技術學院航電系歐陽讓教授飛機的線性化運動方程式通常的通解可寫成但飛機在整個飛行過程中，Ａ，Ｂ矩陣並非完全固定，因此上式的求解，通常採用疊代數值積分：其中，依次類推，為積分間距。

1/13/202337中華技術學院航電系歐陽讓教授空氣動力偏導數在上述的運動方程式中包含了各個氣動力偏導數，整理如下表縱向力與力矩偏導數η1/13/202338中華技術學院航電系歐陽讓教授空氣動力偏導數橫航向力與力矩偏導數1/13/202339中華技術學院航電系歐陽讓教授運動方程式的修正飛機保持平飛姿態，無爬升率W0=0。可以忽略水平尾翼角