圆周角和圆心角的关系(二)

第三节圆周角和圆心角的关系(二)第三章圆建始县民族实验中学吴运涛

http://耐心填一填，一锤定音！ABCO1.如图，∠BOC是

角，∠BAC是

角。若∠BOC=80°

，∠BAC=

。圆心圆周40°

2.如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ABO=65°

，则∠BCA=（）25°B.32.5°

C.30°D.45°

ABCOAhttp://用心想一想，马到功成观察图①，∠ABC，∠ADC和∠AEC各是什么角？它们有什么共同的特征？它们的大小有什么关系？为什么？BAECDO答：∠ABC，∠ADC和∠AEC都是圆周角。它们的共同特征是：它们都对着AC根据圆周角定理，∠ABC，∠ADC，∠AEC都等于圆心角∠AOC的一半。所以这三个角是相等的。由此你得到什么结论？这三个角是相等的。理由是：图①http://用心想一想，马到功成BAECDO结论是：在同圆中，同弧所对的圆周角相等。如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？答：成立。因为等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，所以这些圆周角也相等。对于等圆,情况也一样.因此,我们可以得到：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。问题：若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？请同学们互相议一议。答：结论不成立。请看图。AB12http://用心想一想，马到功成如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小相等吗？为什么？因为这三个角都对着AC，所以它们相等。http://用心想一想，马到功成观察图②，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？ABCO答：直径BC所对的圆周角是直角。因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC=180°

，所以∠BAC=90°

。图②BCAO观察图③，圆周角∠BAC=90°

，弦BC经过圆心吗？为什么？图③答：弦BC经过圆心O。因为连接OC、OB，由∠BAC=90°

可得圆心角∠BOC=180°

。即B、O、C三点在同一直线，也就是BC是⊙O的一条直径。由以上我们可得到：直径所对的圆周角是直角；90°

的圆周角所对的弦是直径。http://放开手脚做一做小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？答：图（2）是半圆形。理由是：90°

的圆周角所对的弦是直径。

http://放开手脚做一做如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB。BD与CD的大小有什么关系？为什么？ABCDO分析：由于AB是⊙O的直径，故连接AD。由直径所对的圆周角是直角，可得AD⊥BC.又因为△ABC中，AC=AB，所以由等腰三角形的三线合一，可证得BD=CD。

解：BD=CD。理由是：连接AD。∵

AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°

，即AD⊥BC。又∵AC=AB。∴BD=CDhttp://教材题变形，拓展延伸船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？http://分析：这是一个有实际背景的问题。由题意可知：“危险角∠ACB”实际上就是圆周角。船P与两个灯塔的夹角为∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O内.当∠α＞∠C时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C时，船位于暗礁区域外。因此,我们可以分情况讨论.http://解：（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域内（即⊙O内）。理由是：连接BE.

假设船在⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外。因此，船只能位于⊙O内。（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？http://（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？解：（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外（即⊙O外）。理由是：假设船在⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α＞∠AEB，即∠α＞∠C，这与∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内。因此，船只能位于⊙O外。http://大胆尝试，练一练1.为什么有些电影院的坐位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性。答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等。2.如图，哪个角与∠BAC相等？ABCD答：∠BDC=∠BAC。http://3.如图,⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点，∠ABC=30°

，求AC的长。ABCO12解：∵AB为⊙O的直径。∴∠ACB=90°

。又∵∠ABC=30°

，∴AC=AB=×10=5（cm）。12http://课时小结1.要理解圆周角定理的推论。2.构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法。3.要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一。4.圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆