2022-2023学年贵州省毕节地区普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022-2023学年贵州省毕节地区普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.微分方程y'+y=0的通解为()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

2.用待定系数法求微分方程y"-y=xex的一个特解时，特解的形式是(式中α、b是常数)。A.(αx2+bx)ex

B.(αx2+b)ex

C.αx2ex

D.(αx+b)ex

3.

设f(x)=1+x，则f(x)等于（）。A.1

B.

C.

D.

4.设在点x=1处连续，则a等于()。A.-1B.0C.1D.2

5.

6.微分方程y"-y=ex的一个特解应具有的形式为(下列各式中α、b为常数)。A.aex

B.axex

C.aex+bx

D.axex+bx

7.

8.在空间直角坐标系中，方程x2-4(y-1)2=0表示()。A.两个平面B.双曲柱面C.椭圆柱面D.圆柱面9.微分方程y'＋x=0的通解（）。A.

B.

C.

D.

10.过曲线y=xlnx上M0点的切线平行于直线y=2x，则切点M0的坐标是()．A.A.(1，0)B.(e，0)C.(e，1)D.(e，e)11.f(x)在x=0有二阶连续导数，则f(x)在x=0处()。A.取极小值B.取极大值C.不取极值D.以上都不对12.设曲线y=x-ex在点(0，-1)处与直线l相切，则直线l的斜率为()．A.A.∞B.1C.0D.-113.A.f(x)+CB.f'(x)+CC.f(x)D.f'(x)14.（）。A.

B.

C.

D.

15.曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为()

A.-1B.-2C.-3D.-4

16.

17.A.A.

B.

C.

D.

18.当x→0时，2x+x2是x的A.A.等价无穷小B.较低阶无穷小C.较高阶无穷小D.同阶但不等价的无穷小

19.

20.设f(x)为连续函数，则等于()A.A.

B.

C.

D.

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.

25.设y=-lnx/x，则dy=_________。

26.广义积分．27.交换二重积分次序=______．

28.

29.幂级数

的收敛半径为________。

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.幂级数的收敛半径为______．38.设，则f'(x)=______．

39.40.三、计算题(20题)41.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．42.证明：43.求曲线在点(1，3)处的切线方程．44.45.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．46.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

47.

48.

49.50.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．51.52.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

53.

54.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

55.

56.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

57.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．58.求微分方程的通解．59.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

60.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

四、解答题(10题)61.计算，其中D是由x2+y2=1，y=x及x轴所围成的第一象域的封闭图形．62.求直线y=2x+1与直线x=0，x=1和y=0所围平面图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。63.的面积A。

64.求∫xsin(x2+1)dx。

65.

66.

67.

68.

69.(本题满分10分)将f(x)＝ln(1＋x2)展开为x的幂级数．70.计算五、高等数学(0题)71.微分方程xdy—ydx=0的通解是________。

六、解答题(0题)72.设D是由曲线x=1-y2与x轴、y轴,在第一象限围成的有界区域.求:(1)D的面积S;(2)D绕x轴旋转所得旋转体的体积V.

参考答案

1.D可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解。解法1将方程认作可分离变量方程。分离变量

两端分别积分

或y=Ce-x解法2将方程认作一阶线性微分方程．由通解公式可得解法3认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解：特征方程为r+1=0，特征根为r=-1，方程通解为y=Ce-x。

2.Ay"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根为r1=1，r2=-1

y"-y=xex中自由项f(x)=xex，α=1是特征单根，应设y*=x(ax+b)ex=(αx2+bx)ex。

所以选A。

3.C本题考查的知识点为不定积分的性质。可知应选C。

4.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。

由于y为分段函数，x=1为其分段点。在x=1的两侧f(x)的表达式不同。因此讨论y=f(x)在x=1处的连续性应该利用左连续与右连续的概念。由于

当x=1为y=f(x)的连续点时，应有存在，从而有，即

a+1=2。

可得：a=1，因此选C。

5.B

6.B方程y"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根为r1=1，r2=-1。

方程y"-y=ex中自由项f1(x)=ex，α=1是特征单根，故应设定y*=αxex，因此选B。

7.D

8.A

9.D所给方程为可分离变量方程．

10.D本题考查的知识点为导数的几何意义．

由导数的几何意义可知，若y=f(x)在点x0处可导，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且切线的斜率为f'(x0)．

由于y=xlnx，可知

y'=1+lnx，

切线与已知直线y=2x平行，直线的斜率k1=2，可知切线的斜率k=k1=2，从而有

1+lnx0=2，

可解得x0=e，从而知

y0=x0lnx0=elne=e．

故切点M0的坐标为(e，e)，可知应选D．

11.B；又∵分母x→0∴x=0是驻点；；即f""(0)=一1<0，∴f(x)在x=0处取极大值

12.C本题考查的知识点为导数的几何意义．

由于y=x-ex，y'=1-ex，y'|x=0=0．由导数的几何意义可知，曲线y=x-ex在点(0，-1)处切线斜率为0，因此选C．

13.C

14.C由不定积分基本公式可知

15.C由导数的几何意义知，若y=f(x)可导，则曲线在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且该切线的斜率为f"(x0)。由于y=x-3，y"=-3x-4，y"|x=1=-3，可知曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为-3，故选C。

16.A

17.D

18.D

19.D

20.D本题考查的知识点为定积分的性质；牛-莱公式．

可知应选D．21.0

22.-ln(3-x)+C-ln(3-x)+C解析：

23.

解析：

24.-2sin2-2sin2解析：

25.26.1本题考查的知识点为广义积分，应依广义积分定义求解．

27.本题考查的知识点为交换二重积分次序．

积分区域D：0≤x≤1，x2≤y≤x

积分区域D也可以表示为0≤y≤1，y≤x≤，因此

28.2m29.所给幂级数为不缺项情形，可知ρ=1，因此收敛半径R==1。

30.31.本题考查的知识点为二重积分的直角坐标与极坐标转化问题。

32.0＜k≤10＜k≤1解析：

33.00解析：

34.

35.(01]

36.00解析：

37.

；

38.本题考查的知识点为复合函数导数的运算．

39.

40.本题考查的知识点为重要极限公式．

41.

42.

43.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

44.

45.由二重积分物理意义知

46.由等价无穷小量的定义可知

47.

48.由一阶线性微分方程通解公式有

49.

50.函数的定义域为

注意

51.

52.

列表：

说明

53.

54.

55.

则

56.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

57.

58.

59.

60.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％61.在极坐标系中，D可以表示为0≤θ≤1/