《导数的计算》同步练习（） 省赛一等奖

《导数的计算》同步练习一、选择题1．函数f(x)＝eq\f(lnx,x)在点(x0，f(x0))处的切线平行于x轴，则f(x0)＝()A．－eq\f(1,e)\f(1,e)\f(1,e2)D．e2解析：与x轴平行的切线，其斜率为0，所以f′(x0)＝eq\f(\f(1,x0)·x0－lnx0,x\o\al(2,0))＝eq\f(1－lnx0,x\o\al(2,0))＝0，故x0＝e，∴f(x0)＝eq\f(1,e).答案：B2．阅读下图所示的程序框图，其中f′(x)是f(x)的导数．已知输入f(x)＝sinx，运行相应的程序，输出的结果是()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析：f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝cosx，它以4为周期进行变换，故f2022(x)＝f3(x)＝－cosx.答案：D3．已知点P在曲线y＝eq\f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A．[0，eq\f(π,4))B．[eq\f(π,4)，eq\f(π,2))C．(eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)]D．[eq\f(3π,4)，π)解析：设曲线在点P处的切线斜率为k，则k＝y′＝eq\f(－4ex,1＋ex2)＝eq\f(－4,ex＋\f(1,ex)＋2)，因为ex＞0，所以由基本不等式得k≥eq\f(－4,2\r(ex×\f(1,ex))＋2)，又k＜0，∴－1≤k＜0，即－1≤tanα＜0，所以eq\f(3π,4)≤α＜π.答案：D4．有一机器人的运动方程为s＝t2＋eq\f(3,t)(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为()\f(19,4)\f(17,4)\f(15,4)\f(13,4)解析：∵s(t)＝t2＋eq\f(3,t)，∴s′(t)＝2t－eq\f(3,t2)，∴机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝4－eq\f(3,4)＝eq\f(13,4).答案：D5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(1)＝()A．－1B．－2解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，得f′(1)＝－2，选B.答案：B6．已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列{eq\f(1,fn)}的前n项和为Sn，则S2022的值为()\f(2022,2022)\f(2022,2022)\f(2022,2022)\f(2022,2022)解析：f′(x)＝2x＋b，由f′(1)＝2＋b＝3，得b＝1.于是eq\f(1,fn)＝eq\f(1,n2＋n)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，S2022＝eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2)＋…＋eq\f(1,f2022)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2022)－eq\f(1,2022)＝1－eq\f(1,2022)＝eq\f(2022,2022).答案：D二、填空题7．函数y＝sinx＋cosx在x＝π处的切线方程是________________．解析：∵当x＝π时，y＝sinπ＋cosπ＝－1，[切点为(π，－1)．∵y′＝cosx－sinx，∴k＝cosπ－sinπ＝－1，根据点斜式可得此切线的方程为：y＋1＝－1×(x－π)，即y＝－x＋π－1.答案：y＝－x＋π－18．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于x轴的切线，则实数a的取值范围是__________．解析：依题意得f′(x)＝3ax2＋eq\f(1,x)＝0，(x＞0)有实根，∴a＝－eq\f(1,3x3)＜0.答案：(－∞，0)9．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为__________．解析：设P(x0，y0)(x0＜0)．由题意知y′|＝3xeq\o\al(2,0)－10＝2，∴xeq\o\al(2,0)＝4.∴x0＝－2(x0＝2舍去)．∴y0＝15.∴点P的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)三、解答题10．设有抛物线C：y＝－x2＋eq\f(9,2)x－4，通过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．解析：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1①y1＝－xeq\o\al(2,1)＋eq\f(9,2)x1－4②①代入②得xeq\o\al(2,1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(9,2)))x1＋4＝0.∵P为切点，∴Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(9,2)))2－16＝0，得k＝eq\f(17,2)或k＝eq\f(1,2).当k＝eq\f(17,2)时，x1＝－2，y1＝－17.当k＝eq\f(1,2)时，x1＝2，y1＝1.∵P在第一象限，∴所求的斜率k＝eq\f(1,2).(2)由(1)得P点坐标为(2,1)，∴过P点的切线的垂线为y＝－2x＋5.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋5,y＝－x2＋\f(9,2)x－4))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(9,2),y＝－4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝1))(舍)．∴点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，－4)).11．(2022·绍兴调研)设t≠0，点P(t,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．试用t表示a，b，c.解析：因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t)＝0，即t3＋at＝0.因为t≠0，所以a＝－t2.g(t)＝0，即bt2＋c＝0，所以c＝ab.又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线，所以f′(t)＝g′(t)．而f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx，所以3t2＋a＝2bt.将a＝－t2代入上式得b＝t因此c＝ab＝－t3.故a＝－t2，b＝t，c＝－t3.12．设函数f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)求曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解析：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝eq\f(7,4)x－3.当x＝2时，y＝eq\f(1,2).又f′(x)＝a＋eq\f(b,x2)，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故f(x)＝x－eq\f(3,x).(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋eq\f(3,x2)知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋eq\f(3,x\o\al(2,0)))(x－x0)，即y－(x0－eq\f(3,x0))＝(1＋eq\f(3,x\o\al(2,0)))(x－x0)．令x＝0得y＝－eq\f(6,x0)，从而得切线与直线x＝