《平面向量的数量积的物理背景及其含义》命题方向 省赛一等奖

《平面向量的数量积的物理背景及其含义》命题方向（2）命题方向1计算向量的数量积例1已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积．[分析]a∥b时其夹角为0°或180°，a⊥b时其夹角为90°，将两向量的模及夹角代入数量积公式计算即可．[解析](1)∵a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos90°＝0.(3)当a与b夹角为60°时，a·b＝|a||b|cos60°＝4×5×eq\f(1,2)＝10.命题方向2求一个向量在另一个向量方向上的投影例2已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为eq\f(2π,3)，则a在e方向上的投影是____________；e在a方向上的投影是____________．[分析]将已知量代入a在b方向上的投影公式|a|cosθ中计算即可．[答案]－2－eq\f(1,2)命题方向3待定系数法求抛物线的标准方程例3已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．[分析]根据模长的关系，利用两向量的夹角公式计算．[解析]根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，∴a·b＝eq\f(1,2)|a|2.而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，∴|a＋b|＝eq\r(3)|a|.设a与a＋b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·a＋b,|a||a＋b|)＝eq\f(|a|2＋\f(1,2)|a|2,|a|·\r(3)|a|)＝eq\f(\r(3),2).又0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.命题方向4求向量的模例4已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为eq\f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|的值．[分析]先分别求|a＋b|2、|a－b|2，将模的计算转化为数量积的问题．[解析]因为a2＝|a|2＝25，b2＝|b|2＝25，a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×coseq\f(π,3)＝eq\f(25,2)，所以|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋b2＋2a·b)＝eq\r(25＋25＋25)＝5eq\r(3)，|a－b|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(a2＋b2－2a·b)＝eq\r(25＋25－25)＝5.命题方向5判断平面图形的形状例5在△ABC中，eq\o(AB,\s\up15(→))＝c，eq\o(BC,\s\up15(→))＝a，eq\o(CA,\s\up15(→))＝b，且a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC的形状．[分析]易知a＋b＋c＝0，分别将a、b、c移至等号右边，得到三个等式，分别平方可得a·b、b·c、c·a，选取两个等式相减即可得到a、b、c中两个向量的长度之间的关系．[解析]在△ABC中，易知eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝0，即a＋b＋c＝0，因此a＋c＝－b，a＋b＝－c，从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b2＝－c2，,a＋c2＝－b2，))两式相减可得b2＋2a·b－c2－2a·c＝c2－b2，则2b2＋2(a·b－a·c)＝2c2，因为a·b＝c·a＝a·c，所以2b2＝2c2，即|b|＝|c|.同理可得|a|＝|b|