必修五2.3.1等差数列的前n项和公式(3课时)

高斯（Gauss,1777—1855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”.问题1:怎样才能快速地计算出一堆钢管有多少根？5+9=146+8=147+7=148+6=149+5=14先算出每层的根数------每层都是14根!再计算层数------共5层!所以共(14×5)/2=35根.问题2：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？

问题就是求“1+2+3+4+…+100=？”

S=1+2+3+…+98+99+100

S=100+99+98+…+3+2+1

∴2S=(1+100)×100=10100∴S=5050.

高斯

Gauss.C.F

（1777~1855）德国著名数学家高斯的算法计算：1＋

2＋

3＋…＋

99＋100高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：第一个数与最后一个数一组；第二个数与倒数第二个数一组；第三个数与倒数第三个数一组，……每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾配对相加法中间的一组数是什么呢？

泰姬陵坐落于印度距首都新德里200多公里外的北方邦的阿格拉市，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑令人心醉神迷，陵寝以宝石镶嵌，图案细致,绚丽夺目、美丽无比，令人叫绝.成为世界八大奇迹之一.问题呈现

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题3:求和:1+2+3+4+…+n=?记:S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1上述求解过程带给我们什么启示？(1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示；(2)等差数列中任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和。问题4：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，如何求等差数列的前n项和Sn=a1

+a2+a3+…+an?解：因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…

两式左右分别相加，得倒序相加S=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+anS=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a12Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)=n(a1+an)变式：能否用a1,n,d表示Sn？an=a1+(n-1)d问题4：求和公式等差数列的前n项和的公式：公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式.na1an公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式.a1(n-1)dna1an将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.数列前n项和的意义数列｛an

｝：a1，a2，a3，…，an

，…我们把a1＋a2＋

a3＋

…＋

an叫做数列｛an

｝的前n项和，记作Sn这节课我们研究的问题是：(1)已知等差数列｛an

｝的首项a1，项数n，第n项an，求前n项和Sn的计算公式；(2)对此公式进行应用。设若a1、d是确定的，那么上式可写成Sn=An2+Bn若A≠0（即d≠0）时，Sn是关于n的二次式且缺常数项。等差数列的前n项和公式的其它形式分析公式的结构特征

例1:根据下列条件，求相应的等差数列的公式应用750080008500900095001000010500例１某长跑运动员７天里每天的训练量（单位：m）是：这位长跑运动员７天共跑了多少米？本例提供了许多数据信息，学生可以从首项、尾项、项数出发，使用公式1，也可以从首项、公差、项数出发，使用公式2求和。达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的。通过两种方法的比较，引导学生应该根据信息选择适当的公式，以便于计算。选用公式例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？分析：①找关键句；②求什么，如何求；解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列{an}，且a1=500,d=50,n=10.故，该市在未来10年内的总投入为：答例1

如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为{an},其中a1=1,a120=120.根据等差数列前n项和的公式，得答：V形架上共放着7260支铅笔。例2

等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？解：设题中的等差数列为{an}，前n项和是Sn，

则a1=-10，d=-6-(-10)=4,设Sn=54，根据等差数列前n项和公式，得

n1=9，n2=-3(舍去)等差数列-10，-6，-2，2，…前9项的和是54。例3

已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.

求前16项的和?解:由等差数列的性质可得:a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18

sn=（16/2）×18=144

答:前16项的和为144。分析：可以由等差数列性质，直接代入前n项和公式例3求集合的元素个数，并求这些元素的和.解：所以集合M中的元素共有14个.将它们从小到大列出，得即7，14，21，28，…，98这个数列是成等差数列，记为答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.…例1、计算：

（1）1+2+3+…+n=________.（2）1+3+5+…+(2n-1)=________.（3）2+4+6+…+2n=__________.（4）

例2在等差数列{an}中，已知，求S7.例题讲解变式练习一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列{an}，且a1=21，d=1，n=19.于是，屋顶斜面共铺瓦片：答：屋顶斜面共铺瓦片570块.例4、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？解：由于S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式可得所以例4、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？另解：

两式相减得两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,求这个新数列的各项之和.解法：通项公式分别是an=2+(n－1)·4

bn=2+(n－1)·6观察：

2，6，10，14，18，22，26，30，34，38，42，46，50，…

2，8，14，20，26，32，38，77，50，39，43，47，51，…因此，这两个数列相同项组成一个首项c1=2,

公差

d=12的等差数列｛cn｝因为，相同的项不大于190和200中的较小者，所以，cn=2+(n－1)·12≤190得n≤16又n∈N*

故这两个数列中相同的项共有16个。从而这个新数列的各项之和为

31练习1、计算（1）5+6+7+…+79+80（2）1+3+5+…+（2n-1）（3）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n-nn23230提示：n=76法二：练习2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4+a5=18，则S8等于（）A.18B.36C.54D.72D课堂小结1．等差数列前n项和的公式；2．等差数列前n项和公式的推导方法——倒序相加法；3.公式的应用(知三求二)。（两个）1.教材P52A组1(3)(4),2,3,4,5,62.

在等差数列{an}中，（1）已知a2+a5+a12+a15=36,求a16;（2）已知a6=20,求S11.3.在等差数列{an}中，(1)若a1+a2=p，a3+a4=q．求其前6项的和S6;(2)若a2+a4=p，a3+a5=q．求其前6项的和S6.2.(1)18(2)2203.(1)2p+2q(2)3(p+q)/2适用于任意数列注意:探索探究:结论:说明:说明:归纳总结解法：解法：探究：可以推广

本节课学习的主要内容有：1、如何利用数列的前n项和求通项公式2、等差数列前n项和最值求解3、等差数列简单性质.

返回返回返回2.求1000以内能被11整除的所有自然数之和。3.求一切被7除余1的三位数之和。1.已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?nSnO6四、Sn的深入认识nanOan=4n-14Sn

=2n2-12n公式应用横用公式例4在等差数列中这一题组是对等差数列的概念、性质以及求和公式的横向综合应用，培养学生综合解决问题的能力。利用sn,判断一个数列是否为等差数列例5根据数列{an}前n项和公式,判断下列数列是否为等差数列.(1)sn=2n2–n(2)sn=2n2–n+1课外探索已知等差数列16，14，12，10，…

(1)前多少项的和为72？

(2)前多少项的和为0？

(3)前多少项的和最大？

1.已知a、b、c的倒数成等差数列，如果a、b、c互不相等，则为（）A.B.C.D.C

2.已知等差数列{an}的公差d＝1，且a1+a2+a3+···+a98=137,那么a2+a4+a6+···+a98的值等于（）A.97B.95C.93D.91C

1.已知a、b、c的倒数成等差数列，如果a、b、c互不相等，则为（）A.B.C.D.二、选择题：解：思考感悟2．等差数列前n项和的最值(1)若a1＜0，d＞0，则数列的前面若干项为_____项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最___值；(2)若a1＞0，d＜0，则数列的前面若干项为_____项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最___值．特别地，若a1＞0，d＞0，则___是{Sn}的最___值；若a1＜0，d＜0，则___是{Sn}的最___值．负数小正数大S1小S1大例2【解】根据Sn＝a1＋a2＋…＋an与Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)，可知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1变式训练2若数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.等差数列前n项和的性质考点三(2)项的个数的“奇偶”性质：等差数列{an}中，公差为d：①若共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；S偶∶S奇＝an＋1∶an；②若共有2n＋1项，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；S偶－S奇＝－an＋1；S偶∶S奇＝n∶(n＋1)；(3)“片断和”性质：等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，Smk－S(m－1)k，…构成公差为k2d的等差数列．在等差数列{an}中：(1)若a4＋a17＝20，求S20；(2)若S4＝1，S8＝4，求S20.【思路点拨】

(1)利用a1＋a20＝a4＋a17.(2)利用S4，S8－S4，S12－S8，…成等差数列．例3等差数列前n项和的最值考点四在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值．【思路点拨】建立Sn关于n的二次函数式，利用二次函数求最小值，也可确定an≥0，an＋1＜0时的n值，从而确定最大值．例4【名师点评】综合上面的解法我们可以得到求数列前n项和的最值问题的解法：(1)运用配方法转化为二次函数，借助函数的单调性以及数形结合，从而使问题得解；(2)通项公式法：求使an≥0(或an≤0)成立的最大n即可．这是因为：当an＜0时，Sn＜Sn－1，即单调递减．变式训练3数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2.(1)求证：{an}是等差数列；(2)问{an}的前多少项和最大．解：(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n.故{an}的通项为an＝34－2n.所以an＋1－an＝34－2(n＋1)－(34－2n)＝－2.故数列{an}是以32为首项，－2为公差的等差数列．(2)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故数列{an}的前17项大于或等于零．又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．3．公式an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N*都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．4．求等差数列前n项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．练习3已知一个共有n项的等差数列前4项之和为26,末四项之和为110,且所有项的和为187，求n.课堂练习n=11提示：a1+a2+a3+a4=26an+an-1+an-2+an-3=110a1+an=34课堂练习-110等差数列的前n项和公式：4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:(1)利用：由(2)利用:当>0，d<0，前n项和有最大值。可由，求得n的值。，求得n的值。当<0，d>0，前n项和有最小值。可由利用二次函数配方法求得最值时n的值

例2、已知数列是等差数列，重要性质：的应用：（1）若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列项数.（3）两个等差数列，它们的前n项和之比为,求这两个数列的第九项的比（2）、已知为等差数列,前10项的和为前100项的和,求前110项的和性质2.若{an}{bn}