辽宁省沈阳市第七十六中学2022高一数学理下学期期末试题含解析

辽宁省沈阳市第七十六中学2022高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的定义域是（）A． B．[1，+∞） C． D．（﹣∞，1]参考答案：C【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】欲使函数有意义，须，解之得函数的定义域即可．【解答】解：欲使函数的有意义，须，∴解之得：故选C．【点评】对数的真数必须大于0是研究对数函数的定义域的基本方法，其中，若底数含有参数，必须分类讨论，结论也必须分情况进行书写．2.已知数列1,

,3,

,…,则5在这个数列中的项为(

)A．5

B．6

C．7

D．8参考答案：C略3.已知，，则的最大值为（）A.9 B.3 C.1 D.27参考答案：B【分析】由已知，可利用柯西不等式，构造柯西不等式，即可求解．【详解】由已知，可知，，利用柯西不等式，可构造得，即，所以的最大值为3，故选B．【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，其中解答中熟记柯西不等式，合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．4.

袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（

）（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：B5.在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长为3的正三角形，侧棱SA⊥底面ABC，若三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的体积为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出三棱锥的外接球的半径R=3，过A作AE⊥BC，交BC于E，过球心O作OD⊥ABC于D，则D∈AE，且E是△ABC的重心，三棱锥的外接球的半径R=OS=OD=3，AD=，求出PA=2，由此能求出该三棱锥的体积．【解答】解：如图，∵在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长为3的正三角形，侧棱SA⊥底面ABC，三棱锥的外接球的体积为36π，∴三棱锥的外接球的半径R=OS=OD=3，过A作AE⊥BC，交BC于E，过球心O作OD⊥ABC于D，则D∈AE，且E是△ABC的重心，∴AD===，∴OD==，O到PA的距离为AD=，∴PA=OD+=2，∴该三棱锥的体积：V===．故选：C．6.

参考答案：C7.以下六个关系式：①0∈{0}，②{0}??，③0.3?Q，④0∈N，⑤{a，b}?{b，a}，⑥{x|x2﹣2=0，x∈Z}是空集，其中错误的个数是（）A．1 B．3 C．2 D．4参考答案：A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】依次对六个关系式判断，注意集合符号的应用．【解答】解：①0∈{0}，正确；②{0}??，正确；③Q指有理数集，故0.3?Q不正确；④0∈N，正确；⑤{a，b}?{b，a}，正确；⑥{x|x2﹣2=0，x∈Z}是空集，正确；故选A．【点评】本题考查了元素与集合的关系应用，注意常见数集的记法与应用．属于基础题．8.已知等差数列项和为

等于（

）A

B

C

D

参考答案：C9.在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）A．40 B．42 C．43 D．45参考答案：B【分析】先根据a1=2，a2+a3=13求得d和a5，进而根据等差中项的性质知a4+a5+a6=3a5求得答案．【解答】解：在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，得d=3，a5=14，∴a4+a5+a6=3a5=42．故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．10.已知，则函数的最小值是A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：C分析：根据配凑法结合基本不等式求解即可.详解：由题可知：当x=2时取得最小值，故最小值为3故选C.点睛：考查基本不等式求最值的简单应用，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数定义为中较小者，则的最大值为

参考答案：3略12.已知函数，f(x)的最小正周期是___________.参考答案：【分析】先化简函数f(x)，再利用三角函数的周期公式求解.【详解】由题得，所以函数的最小正周期为.故答案为：【点睛】本题主要考查和角的正切和正切函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.13.对于函数＝，给出下列四个命题：①该函数是以为最小正周期的周期函数；②当且仅当(k∈Z)时，该函数取得最小值－1；③该函数的图象关于(k∈Z)对称；④当且仅当(k∈Z)时，0＜≤.其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)参考答案：③、④14.已知函数且则参考答案：7略15.__________．参考答案：原式，故答案为．16.如果＝，且是第四象限的角，那么＝

．参考答案：17.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则A=

．参考答案：分别是的三个内角所对的边，若，，，,由正弦定理得，解得，，故答案为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知a＞0且a≠1，函数，（1）求函数f（x）的定义域；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移两个单位后得到函数y=g（x）的图象，若实数x满足g（x）≥0，求x的取值范围．参考答案：【考点】函数与方程的综合运用；函数的定义域及其求法．【分析】（1）利用对数的真数大于0，列出不等式组求解即可得到函数的定义域．（2）利用函数的图象变换，以及对数的性质列出不等式求解即可．【解答】（本小题满分16分）解：（1）要使函数有意义，则…解得x＞﹣1；所以函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）…（2）因为函数y=g（x）的图象可由函数y=f（x）的图象向右平移两个单位后得到，所以g（x）=f（x﹣2）即g（x）=loga（x﹣1）﹣loga（1+x），…又因为g（x）≥0，所以loga（x﹣1）≥loga（1+x），…当a＞1时，则，解得x∈?；…当0＜a＜1时，则，解得x＞1…综上：当a＞1时，x的取值范围为?；当0＜a＜1时，x的取值范围为（1，+∞）…19.设函数f（x）=x2﹣ax+b（a，b∈R）（Ⅰ）若函数f（x）在[0，1]上不单调，求a的取值范围（Ⅱ）对任意x∈[﹣1，1]，都存在y∈R，使得f（y）=f（x）+y成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】二次函数的性质；抽象函数及其应用．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的对称轴，解关于a的不等式即可；（Ⅱ）方法1：问题转化为4x2﹣4ax+（a+1）2对任意x∈[﹣1，1]恒成立，记g（x）=4x2﹣4ax+（a+1）2，x∈[﹣1，1]，通过讨论对称轴的位置，得到g（x）的最小值，从而求出a的范围即可；方法2：根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）在[0，1]上不单调，∴0＜＜1，即0＜a＜2；（Ⅱ）解法1：由已知，对任意的实数x∈[﹣1，1]．，关于y的方程f（y）=f（x）+y有解，即对任意的实数x∈[﹣1，1]关于y的方程y2﹣（a+1）y﹣（x2﹣ax）=0有解，∴△1=（a+1）2+4（x2﹣ax）≥0，对任意x∈[﹣1，1]恒成立，即4x2﹣4ax+（a+1）2对任意x∈[﹣1，1]恒成立，记g（x）=4x2﹣4ax+（a+1）2，x∈[﹣1，1]，①当≤﹣1时，g（x）min=g（﹣1）=a2+6a+5≥0，故a≤﹣5，②当﹣1＜＜1时，△2=16a2﹣16（a+1）2≤0，故﹣≤a＜2，③当≥1时，g（x）min=g（1）=a2﹣2a+5≥0，故a≥2，综上，a的范围是a≤﹣5或a≥﹣；解法2：即对任意的实数x∈[﹣1，1]关于y的方程f（y）=f（x）+y有有解，即对任意的实数x∈[﹣1，1]，都存在关于y的方程y2﹣（a+1）y=x2﹣ax成立，记A={z|z=y2﹣（a+1）y，y∈R}=[﹣，+∞）；B={z|z=﹣x2﹣ax，x∈[﹣1，1]}，即A?B，记g（x）=x2﹣ax，x∈[﹣1，1]，①当≤﹣1时，B=[1+a，1﹣a]，由A?B得﹣≤1+a，化简得：a≤﹣5，②当﹣1＜＜1时，B=[﹣，max{1+a，1﹣a}]，由A?B得﹣≤﹣，化简得﹣≤a＜2，③当≥1时，B=[1﹣a，1+a]，由A?B得﹣≤1﹣a，化简得a≥2，综上，a≤﹣5或a≥﹣，故a的范围是（﹣∞，﹣5]∪[﹣，+∞）．【点评】本题考察了二次函数的性质，考察函数的单调性、最值、函数恒成立问题以及分类讨论思想，是一道中档题．20.已知tanx=2，（1）求的值（2）求2sin2x﹣sinxcosx+cos2x的值．参考答案：考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：（1）原式分子分母除以cosx，利用同角三角函数间基本关系化简，把tanx的值代入计算即可求出值；（2）原式分母看做“1”，利用同角三角函数间基本关系化简，把tanx的值代入计算即可求出值．解答： 解：（1）∵tanx=2，∴===；（2）∵tanx=2，∴2sin2x﹣sinxcosx+cos2x====．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．21.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程．

参考答案：略22.已知定义域为R的函数是奇函数(1)求a，b的值；(2)用定义证明在(－∞,+∞)上为减函数；(3)若对于任意，不等式恒成立，求k的范围。

参考答案：（1）∵为上的奇函数，∴，可得-------------------------------2分

又∵

∴，解之得

--------------------------------------4分（2）由（1）得：---------------------------5分

则,且

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