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6.4.3余弦定理、正弦定理第2课时正弦定理第六章平面向量及其应用余弦定理

三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．复习回顾推论：

在直角三角形ABC中，由锐角三角函数，再根据正弦函数的定义，ABCabc探究：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角，已知三边直接解三角形的公式。如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？思考：那么对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成立？?可分为锐角三角形，钝角三角形两种情况分析.

思考：向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？证明：过A作单位向量垂直于∴asinC=csinA.则两边同乘以单位向量BCA

同理，过点C作与垂直的单位向量，可得

当是钝角三角形时，不妨设A为钝角。如图同理可得与的夹角为过点A作与垂直的单位向量，则与的夹角为思考：还有证明正弦定理的其它方法吗？∵BACDabc而∴同理∴ha另证1：用“三角形面积公式”证明（等积法）证明：证明：OC/cbaCBA作外接圆O,过B作直径BC’,连AC',另证2：用“外接圆”法证明（R为△ABC外接圆半径）正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即变式公式:其中R为△ABC外接圆半径

思考：

利用正弦定理可以解决一些怎么样的解三角形问题呢？正弦定理可用于两类：（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边与另一角；（2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角，计算其他的角与边.例1.在中，已知解这个三角形。解：由三角形内角和定理，得

由正弦定理，得

例2.在中，已知，解这个三角形。解：由正弦定理，得

所以

此时

因为

于是或

（1）当时，

此时

（2）当时，

为什么角C有两个角？探求：在△ABC中，已知a，b和A解三角形时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式无解一解二解一解一解无解a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b“已知两边和其中一边的对角”解三角形问题。则问题无解则问题有一解则问题有两解或一解“三角形内角和定理”或“大边对大角”性质判断解的个数正弦定理：利用正弦定理可以解决的问题：1、已知三角形的任意两角与一边，求其他两边和另一角

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