采样数据的处理解析教案资料

采样数据的处理解析12.2.1.1相似性根据相似定理：且时（空）域乘对应频域除因此III(x)的频谱为沿s轴间隔为1/的冲激序列。s1/0III(s)令a=1/

：2设f(x)带宽为s0（当频率s超过s0时，f(x)便为0），即F(s)=0，当|s|

s0时。12.2.2使用Shah函数采样以等间隔对f(x)采样，则仅在x=n处取得f(x)的样本值，在其他地方，f(x)被破坏了，这个过程相当于用III(x/)乘以f(x)，得到g(x)。xf(x)s0sF(s)-s0x1/s0s-s0-1/312.2.3采样及其频谱

时域相乘对应频域卷积，即III(x/)乘f(x)对应F(s)卷

III(s)。由于与冲激函数的卷积产生了函数本身的复制品。因此，频域卷积在s轴上每隔1/复制了一个F(s)，也就是说，G(s)是一个以F(s)重复的周期函数。412.2.4采样定理由上可见，只要从G(s)中得到F(s)，即可从g(x)中获得f(x)。方法：保留中心处于原点的F(s)，消除其复制品，即用矩形(s/2s1)去乘G(s)。其中可见，用采样后的函数与一个形式为的内插函数做卷积，即可从g(x)重构f(x)。5上述推导的两个限制：1)f(x)的谱＜s0。2)奈奎斯特采样定理：612.2.5内插

g(x)与内插函数卷积，等于在每个采样点上复制一个窄的sinc(x)函数，而互相重叠的sinc(x)函数的总和可准确地恢复出原函数。712.2.6欠采样与混叠（Aliasing）当采样间隔不够密，即时，F(s)的复制品就会部分地重叠，此时就不能准确地恢复出原函数了。因为此时sG(s)01/21/

频率s1以上的能量被折叠返回到s1以下，并被加到频谱上，称为混叠。f(x)和内插所得的函数的差别称为混叠误差。当f(x)是偶函数时，F(s)也是偶函数，混叠的效果是提高了频谱中的能量；奇函数与之相反；非奇非偶函数及谱则因此比实际更趋向于偶函数。812.2.7采样举例函数：频谱：以等间隔t对f(t)采样。f(t)的周期是1/f0。过采样：临界采样：欠采样：严重欠采样：对正弦信号的临界采样：见后面图示91、过采样：102、临界采样：113、欠采样：变成低频了124、严重欠采样：变成直流了零频！135、另一种情况：相邻频域复制区间重叠的奇冲激对在s=fN处重叠并抵消。结果内插后的函数为0。它其实相当于在正弦函数的过零点进行了采样，每次采到的都是0。1412.2.7.1图像数字化中的混叠聚焦可有效保留信号的高频成分，而散焦则相当于信号的高频成分减少，带宽变窄，因而图像变得模糊些，但不再混叠了。像素宽度小于像素间距像素宽度等于像素间距等效于

结论：空间采样点太稀疏，虽然像素很细小，但只能当粗点用，否则会出现高频混叠。151612.3.1时域中的截取12.3频谱计算对离散的f(t)样值计算F(s)，N个时域采样点将对应N个频谱上的点。通常频域上的点在s轴上等距分布。频域采样间隔与时域中的截取窗口宽度成反比最高频率与时域采样间隔成反比假定一个信号f(t)用间距为t的N个采样点来代表，则总的采样区间宽度T＝Nt。（T为截取窗口的宽度，T外部的信号的采样被忽略了，相当于将截取窗口外的信号置0了）1712.3.2频域上的截取离散f(t)的频谱是周期的，周期2sm=1/t

，只需计算覆盖F(s)的一个周期即可。常用的方法是将N个采样点均匀地散布在中心位于原点的F(s)的一个周期上，即当在F(s)的一个周期上取N个等间隔的采样点，则Ns

＝

1/t

。其中s

＝

1/Nt＝1/T是频域中的采样间隔。因此计算f(t)频谱的最好做法是按s

＝

1/T等间隔取，即从-sm到sm。Sm=

1/2t

1812.3.3频谱计算由上可见，一个域中的采样间隔决定了另一个域中的截取窗口宽度。要计算频谱中的高频成分（sm

），必须在时域中细密地采样（t

）。而要频谱中的高分辨率（s

），必须在时域中采用大的截取窗口（T

）。19采样和截取参数小结参数域关系采样点数时频采样间隔时采样间隔频截断窗口宽度时最大可计算频率频

当f(t)是复数，有N个实部和N个虚部，变换后产生频谱中的N个实值和N个虚值。

当f(t)是实数，有N个实部和N个0（虚部），变换后在频谱的右半部产生N/2个偶实值和N/2个奇虚值。由于实函数的F(s)是Hermite型的，频谱的左半部是右半部的镜像。2012.4.1混叠的不可避免性12.4混叠根据采样定理，对带宽有限的函数采样时，只要选择合适的采样间距就可完全避免混叠。但是，如果带宽有限的函数被截取了一段有限长度T，这个过程即模型化为将函数与宽度为T的矩形脉冲相乘，等价于将其频谱与无限持续的sinc(x)函数在频域卷积。两个函数的卷积结果不可能比其中任意一个窄，因此，经截取的函数的谱在频域内无限延伸。截取破坏了带宽的有限性，注定了数字处理在任何情况下都造成混叠。因而我们只能限定其误差。带宽有限带宽无限时域截取2112.4.2混叠误差的上界因为t有限，不能无限小，因此F(s)被无限展宽。F(s)在形式为1/s的包络线内，保证了函数的峰值随着频率升高而下降并趋于0。22如果忽略函数的正弦波动，仅考虑F(s)的包络线，并注意可能混叠的最大频谱强度在频率sm处出现，则可以认为这是混叠的最坏情况。定义混叠误差＝F(sm)/F(0)，由于F(0)＝1，F(s)的包络为1/2as，因而混叠上界为混叠误差的上界与t成正比，与T无关。因此，当t<<2a脉冲宽度时，混叠误差即可小到所需的程度。2312.4.3频谱分辨率

F(s)具有频率为a的正弦波动（周期为1/a）。用M表示在所计算的频谱F(s)上每个周期的采样点数，并用它作为频谱分辨率的量度，则这就是说，如果使采样周期T与脉冲的半宽度a相比足够大，即可在F(s)的一个周期中取得足够多的采样点。2412.5.1计算一个边缘的频谱12.5截取用宽度为T的截取窗口对f(x)截取截取会使计算得到的谱与实际的谱不同。需认真选择截取窗口的宽度。xf(x)=sign(x)-110sF(s)=-j/s0j-jxg(x)-110T/2-T/2奇矩形脉冲对25对g(x)进行FT：G(s)与F(s)不一样了，仅在几个点处两者值相等，也就是cos(sT)=0时。或者sT=i/2时（i为奇数）。对应s=i/2T。此时G(s)＝F(s)。26如果令si=i/T，＝0,1,2,…,N/2，则G(si)＝2F(si)（当i为奇数）0（当i为偶数）2712.5.2截取效应上例i奇数时是正确的（是正常大小的两倍），而偶数时为0。这表明截取在奇数号点和偶数号点之间重新分配了能量。将G(is)即G(si)与一个窄的三角形局部平均滤波器[1/4,1/2,1/4]相卷积，可获得期望结果。2812.6数字处理以下考虑对连续信号（见下图）或图像进行截取、采样、内插等进行数字处理后的影响。2912.6.1截取3012.6.2采样孔径在采样点上有一有限宽度的采样孔径，信号在该孔径中被平均。采样孔径是宽度为的窄矩形脉冲，则截取后的信号再与采样孔径函数卷积，相当于将其谱与sinc(s)相乘。如果采样窗口是高斯脉冲，则输出谱将与高斯谱相乘。上述采样孔的作用是降低了信号中的高频能量，频率超过s=1/时能量极性反转。3112.6.3采样上述经采样孔径平滑后的截取后的信号再与III(t/t)相乘，得到采样结果。于是采样后的谱有了周期性（以1/t复制原来的谱）。3212.6.4内插对采样后的信号插值，以尽可能好地恢复f(t)。用三角脉冲与采样后的函数卷积来实现插值。由于[sinc(st0)]2随频率增加而减小，使得除了位于s=0处的主复制品外，其余所有复制品趋向于0。33用h(t)表示对采样后函数进行内插得到的结果函数：3412.6.5数字处理的影响数字处理对信号的影响是显然的，那么，究竟有多大？采样孔径与内插函数之间一般都有适当的关系，如采样孔径宽度与采样间距t相等。对于线性插值，t0=t。若截取窗口宽，则其频谱窄，接近于一个脉冲，其影响就会减小。如果截取窗口外的原函数值已经为0，截取就不会产生影响了。采样孔径相当于低通滤波，降低的频谱中的高频能量，因而减少了混叠。如果采样孔径的传递函数有负值，会改变高频能量的极性。用sinc(x)函数进行内插最理想。其它内插函数不能完全消除其余复制品，且还会减少主复制品的高频能量。数字化参数取决于数字化设备的设计。截取窗口代表图像数字化器的最大视野。采样孔径是扫描点的灵敏度，采样间距可调节，并与采样点直径相联系。对于显示图像，其内插函数就是显示点本身。3512.7混叠误差的控制用采样孔径和采样间隔来控制。12.7.1抗混叠滤波器孔径宽度是采样间距的两倍，使其传递函数的第一个过0点位于fN=1/2t。则fN以上的频率被大大削减。36三角孔径宽度为4个样点宽，其传递函数的第一个过0点也位于fN=1/2t。相对于矩形脉冲的谱，三角脉冲的谱下降得更快，因此可更有效地减少混叠。与矩形脉冲同样的是，它也降低了F(s)中低于fN部分的能量。3712.7.2过采样用小的采样间隔使折返频率fN远远落在高边带。这样，即使混叠污染了频谱的高频部分，对我们感兴趣的数据也基本上无影响。截取窗口足够大，对信号频谱造成的影响最小。sG(s)0这部分高频折叠部分不要了3812.8线性滤波的数字实现可以在时（空）域或频域（变换域）来实现。线性系统输入f(t)输出g(t)响应h(t)输入F(s)输出G(s)传递函数H(s)12.8.1卷积滤波对f(t)和h(t)采样使其频谱变成周期性的。若两个信号都以同样间距t进行采样，它们的频谱将具有相同的周期1/t。采样后信号的卷积，使频域中两个频谱相乘得到G(s)，那么G(s)也是频率为t的周期函数。当对g(t)内插时，它的频谱减为位于原点的一个复制品。如果f(t)或h(t)带宽有限（假定在s=1/2t

以外截止），则g(t)的谱也带宽有限，通过内插可精确恢复。但是，截取破坏了频谱