弹性力学的有限元求法

§6.1有限元网格(FiniteElementNetwork)1.常用单元(1)线性单元(linearelements)：三角形、矩形或其他四边形。形函数是线性函数，即单元内任一点的坐标可用单元节点坐标的线性函数来表示。(2)抛物形单元(parabolaelements)：除了角上有节点（主外节点），边缘上也有节点（副外节点）的单元。有时在内部也有节点（内节点），直边或曲边均可。单元内任一点的坐标，可用一个抛物线内插法来求得。121231234图5.3线形单元及节点位置2.单元划分要注意的几个问题

(1)相邻两个单元的节点要与节点重合（外节点与外节点、内节点与内节点），不能与无节点边重合。

(2)单元不必是相同尺寸，应力有突变的地方，单元划分应较小。

(3)任何一个单元必须只能在一种材料区，即它不能跨越两种材料区。

(4)同一单元的各个边长，一般不要相差太大。5216436312456783124578125463图5.4抛物线形单元及节点位置位移函数构造和收敛性要求单元中的位移模式采用待定系数的有限多项式做为近似函数，有限多项式选取的原则：－待定系数是由结点位移条件确定的，三角形6结点位移，矩形单元待定系数8结点位移。－在选择多项式时，必须要选择常数项和完备的一次项。因为这两项可以反映单元刚体位移和常应变的特性。－选择多项式应由低阶到高阶，并具有坐标对称性。6.2单元位移函数

弹性体内的实际位移分布可以用单元内的位移分布函数来分片近似地表示。在单元内的位移变化可以假定一个函数来表示，这个函数称为单元位移函数、或单元位移模式。单元位移函数可以用多项式表示，

1常数项1

xy线性项3x2

xyy2二次项6x3x2yxy2y3立方项10

x4x3yx2y2xy3y4

四次项15

3结点三角形单元内位移由结点的6个位移分量来确定。六个位移分量只能确定六个多项式的系数，所以3结点三角形单元的位移函数如下，(2-6)将3个结点上的坐标和位移分量代入公式（2-6）就可以将六个待定系数用结点坐标和位移分量表示出来。首先计算位移分量u的系数，(2-7)A为三角形单元的面积(2-8)[T]的伴随矩阵为，(2-9)(2-10)i,j,m坐标轮换(2-11)(2-12)同样，将垂直位移分量与结点坐标代入公式（2-6）中的第二式，可得，将（2-11）、（2-12）代回（2-6）整理后可得，（下标i，j，m轮换）令(2-13)单元内的位移记为单元的结点位移记为单元内的位移函数可以简写成，(2-14)把[N]称为形态矩阵，Ni称为形态函数。例2.1、3结点三角形单元如图所示，求其形态矩阵[N]。结点坐标为，三角形积为形态函数为形态矩阵为用来计算三角形面积时，要注意单元结点的排列顺序。当三个结点i，j，m取逆时针顺序时，用行列式计算出的三角形面积为正值。如果把三个结点按顺时针方向排列，即i(a,0)、j(0,0)、m(0,a)，行列式的计算结果为负值。例2.2、3结点三角形单元如图所示。结点位移如下，ui=0.1a,vi=0.05a,uj=0.15a,vj=0.1a,um=0.05a,vm=0。单元内一点p的坐标为(0.25a,0.5a)，求p点的位移。形态函数Ni具有以下性质：1）在单元结点上形态函数的值为1或为0。2）在单元中的任意一点上，三个形态函数之和等于1。对于任意一点p(x,y)，假定结点位移：按照上面给出的结点位移，单元实际上产生了刚体位移，对于单元中的任意一个点u(x,y)=1。所以，形态函数的几何意义任意一点P的形态函数Ni是点P与结点I的对边所构成的三角形面积与整个单元面积之比。2.3单元载荷移置

有限元法的求解对象是单元的组合体，待求解的未知变量都定义在单元的结点上，因此作用在弹性体上的外力，需要移置到相应的单元结点上成为结点载荷。 载荷移置要满足静力等效原则。静力等效是指原载荷与结点载荷在任意虚位移上做的虚功(virtualwork)相等。结点的虚位移单元的虚位移令结点载荷为处于平衡状态的弹性体，真实位移分量发生了位移边界条件所允许的微小改变，这个微小的改变就是虚位移(virtualdisplacement)。1）集中力的移置在单元内任意一点p作用集中力由于虚位移是任意的，(2-16)例2.3、在均质，等厚的三角形单元ijm的一点p（0.25a,0.5a）上作用有集中载荷Px,Py。2）体力的移置令单元所受的均匀分布体力为，(2-17)虚功相等，例题2.4、设有均质等厚的三角形单元ijm，受到沿y方向的均布载荷qy的作用。求均布体力移置到各结点的载荷。三角形中的一点P可以用子三角形面积定义的自然坐标来确定。面积坐标定义为，点P表示为，3）分布面力的移置设在单元的边上分布有面力，虚功相等，面积坐标在三角形全面积上的积分为例题2.5、在均质、等厚的三角形单元ijm的ij边上作用有沿x方向按三角形分布的载荷，求移置后的结点载荷。取局部坐标s，在i点s=0，在j点s=l，L为ij边的长度。在ij边上，以局部坐标表示的插值函数为，载荷为设ij边的长度为L，先把分布面力等效为作用在距i结点2/3L处P点的集中力，再移置到结点上。4.4单元刚度矩阵的求解过程

4.4.1单元刚度矩阵由几何方程可以得到单元的应变表达式，(2-19)记为[B]矩阵称为几何矩阵。[B]矩阵可以表示为分块矩阵的形式，(2-20)由物理方程，可以得到单元的应力表达式，[D]称为弹性矩阵，对于平面应力问题，应力矩阵应用虚功原理可以建立单元结点位移与结点力的关系矩阵，即单元刚度矩阵。虚功原理：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，则所有外力在虚位移上做的虚功等于内应力在虚应变上做的虚功。单元的结点力单元的虚应变单元结点力虚功单元的内力虚功用结点位移表示应力单元刚度矩阵在3结点等厚三角形单元中[B]和[D]的分量均为常量，则单元刚度矩阵可以表示为，（2-24）（2-25）单元刚度矩阵表示为分块矩阵：单元刚度矩阵的分块为例2.6、属于平面应力问题的弹性体被划分成3个单元、5个结点。