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文档简介
中国药科大学数学教研室杨访第六节二阶常系数非齐次线性微分方程和齐次线性方程的性质相类似，非齐次线性方程的解法源于其通解结构理论。非齐次线性方程的通解可归结为对应齐次方程的通解及其自身的一个特解的计算。非齐次线性方程的特解依赖于方程右端已知函数项的形式，故讨论非齐次线性方程的特解实际是研究特解与已知函数项的对应关系。本节概要0．二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为
y
+
p
y
+
q
y
=f(
x
)．
设
y
*(
x
)是二阶非齐次线性方程
y
+
P(
x
)y
+
Q(
x
)y
=f(
x
)
的一个特解，Y(
x
)是对应二阶齐线性方程
y
+
P(
x
)y
+
Q(
x
)y
=
0的通解，则
y
=
Y(
x
)+
y
*(
x
)是二阶非齐次线性方程的通解。1.二阶常系数齐线性方程的通解形式定理
非齐线性方程的通解结构
由于
Y(
x
)是对应二阶齐线性方程y
+
P(
x
)y
+
Q(
x
)y
=
0的通解，故有
Y
(
x
)+P(
x
)Y
(
x
)+
Q(
x
)Y(
x
)=
0
,且
Y(
x
)中必含有两个任意常数。因此，要说明
y
=
Y(
x
)+
y
*(
x
)是非齐次线性方程
y
+
P(
x
)y
+
Q(
x
)y
=f(
x
)
的通解，只需验证其满足方程即可。分析验证
y
=
Y(
x
)+
y
*(
x
)
是非齐次方程的解证因为
y
*(
x
)是二阶非齐次线性方程的一个特解，即
(
y*)
+
P(
x
)(
y*)
+
Q(
x
)y*=f(
x
).
将
y
=
Y
(
x
)+
y
*(
x
)代入二阶非齐次方程有
[
Y(
x
)+
y
*(
x
)]
+
P(
x
)[
Y(
x
)+
y
*(
x
)]
+
Q(
x
)[
Y(
x
)+
y
*(
x
)]=
[
Y
(
x
)+P(
x
)Y
(
x
)+
Q(
x
)Y(
x
)]
+[(
y*)
+
P(
x
)(
y*)
+
Q(
x
)y*]=
0
+
f(
x
)=
f(
x
).故y=Y(
x
)+
y
*(
x
)是二阶非齐线性方程的通解。该定理称为二阶非齐次线性方程的通解结构定理,这一定理不仅指出了二阶非齐次线性方程通解的结构,也给出了求二阶非齐次线性方程通解的一般方法。根据二阶非齐次线性方程的通解结构，为求方程的通解，可先设法找出对应齐次线性方程的通解
Y，再设法找出非齐次线性方程的一个特解
y
*，通过解的叠加便可写出非齐次线性方程的通解。由于齐次线性方程的通解计算问题已经解决，因此二阶非齐次线性方程的通解的计算问题便归结为如何求非齐次线性方程的一个特解
y
*.
结果说明由非齐次线性微分方程通解结构理论，在已求得了对应齐线性方程通解的条件下，求非齐线性方程的通解关键是设法求出其一个特解。然而，即使对于最简单的高阶非齐次线性方程，求其特解也是困难的。研究发现，若线性方程的系数是常数，则其特解与方程右端已知函数项有着确定的对应关系，因此可考虑通过对已知函数项的分析确定其特解形式，并根据特解形式求出特解。2.二阶常系数齐线性方程的特解形式
对于二阶常系数非齐次线性微分方程
y
+
p
y
+
q
y
=f(
x
)．考虑已知函数项
f(
x
)的形式与相应特解的关系。
由于方程系数均为常数，故方程左端相当于对函数y
,y
,
y
作线性组合。
对初等函数而言，当
y
为某些特定函数类时，这种组合不会改变函数所属的函数类。因而特解的存在性及特解形式均取决于方程右端的已知函数项
f(
x
)，于是可由
f(
x
)的形式推断方程特解形式。(1)对非齐线性方程特解的直观认识
求解方程首先要考虑的问题是方程解的存在性。因此，求常系数非齐次线性微分方程特解的一个最基本的问题是：是否对于任意的初等函数
f(
x
)，方程总存在初等函数特解
y
*(
x
)？
对这一问题的回答显然是否定的。因为此时求微分方程的特解
y
*(
x
)相当于求某个初等函数的原函数，而由积分理论可知，即使是对于最简单的初等函数，其原函数也未必是初等函数。于是问题就应转化为考虑，对于怎样的函数
f(
x
)方程能够有初等函数特解
y
*(
x
)？(2)对特解存在性的一般考察
不妨从最简单的基本初等函数出发进行考察：
f(
x
)=
x
n
,sin
x
,arcsin
x
,e
x,ln
x
．
不难想到应先排除
arcsin
x
,
ln
x
，因为任何基本初等函数的导数都不可能是这两类函数。由幂函数、指数函数及三角函数的导数性质知，这三类函数的导数都可表为自身的线性组合，且其和或积的导数仍是这三类函数的和或积。因此猜测当
f(
x
)是这三类函数的和或乘积的组合时，方程特解可能存在。于是求常系数非齐次方程特解问题归结为考察：当
f(
x
)为
x
n,sin
x,
cos
x
,e
x
和或积时的特解形式。(3)怎样的
f(
x
)能使得非齐次方程有初等函数特解
?
为讨论方便，对于由幂函数
x
n
，指数函数e
x
，三角函数sin
x
，cos
x
的和或乘积组成的函数类，可将其优化表达为如下两种基本形式：
f(
x
)=e
x
Pm(
x
),f(
x
)=e
x[
Acos
x
+
Bsin
x
].
于是求常系数非齐次线性方程
y
+
p
y
+
q
y
=f(
x
)特解的问题就归结为考虑，当f(
x
)为这样两种形式时其特解对应形式的确定及计算。(4)
对
f(
x
)表达形式的优化
一．的情形设有方程
y
+
p
y
+
q
y
=
e
x
Pm(
x
)．考察其特解y
*
与f(
x
)=
e
x
Pm(
x
)的对应关系。
f(
x
)可能衍生的形式相应特解形式：
若
=
0，f(
x
)=Pm(
x
)，即有
y
+
p
y
+
q
y
=
Pm(
x
)．
此时
y
*
也应是一个多项式，即应有
y
*
=
Q
n(
x
)，且此多项式的次数
n
应不低于
m
+
2
，即
0
n
m
+
2
．(1)
特解形式与
f(
x
)的对应关系
1.对应特解形式的讨论若
m
=
0，f(
x
)=
a
e
x，即有
y
+
p
y
+
q
y
=
a
e
x．
此时
y
*
也应是指数函数，且具有形式
y
*
=
b
e
x．若
0，m
0
，f(
x
)=
e
x
P
m(
x
)，即有
y
+p
y
+
q
y
=
e
x
P
m(
x
)．
此时
y
*
应是多项式与指数函数乘积，且具有形式
y
*
=
Q
n(
x
)
e
x，并满足
0
n
m
+
2
．
归纳为一般结果就是：
f(
x
)=
e
x
P
m(
x
)
y
*
=
Qn(
x
)e
x．(2)
形式特解中的系数问题
确定了特解形式
y
*
=
Q
n(
x
)e
x，特解还不能完全确定，还必需确定该形式特解中的多项式
Q
n(
x
)=
b
0x
n
+
b
1x
n-
1
+
…
+
b
n-
1x
+
b
n的次数
n
及各项系数
b
i
.
为此将形式特解
y
*
=
Q
n(
x
)e
x代入方程进行考察:
y
*
=[
Q
n(
x
)e
x]=
Q
n(
x
)e
x
+
Q
n(
x
)e
x，
y
*
=[
Q
n(
x
)e
x]
+
[
Q
n(
x
)e
x]
=[
Q
n(
x
)e
x
+
Q
n(
x
)e
x]
+
[
Q
n(
x
)e
x
+
Q
n(
x
)e
x]=[
Q
n(
x
)+
2
Q
n(
x
)+
2
Q
n(
x
)]e
x.
将
y
*,y
*
,y
*
代入方程
y
+
p
y
+
q
y
=
e
x
Pm(
x
)有
y
*
+
p
y
*
+
q
y
*
=[
Q
n(
x
)
e
x]+
p[
Q
n(
x
)
e
x]+
q[
Q
n(
x
)
e
x]=
[
Q
n(
x
)
+
2
Q
n(
x
)+
2
Q
n(
x
)]e
x+
p[Q
n(
x
)
+
Q
n(
x
)]e
x+
q[
Q
n(
x
)
e
x]=[
Q
n(
x
)+(
2
+
p
)Q
n(
x
)+(
2
+
p
+
q
)Q
n(
x
)]e
x=
e
x
Pm(
x
).
由于恒有
e
x
0
，故方程等价于Q
n(
x
)+(
2
+
p
)Q
n(
x
)+(
2
+
p
+
q
)Q
n(
x
)=
Pm(
x
).
于是可通过比较系数法确定
Q
n(
x
)的各项系数。
Q
n(
x
)+(
2
+
p
)Q
n(
x
)+(
2
+
p
+
q
)Q
n(
x
)=
Pm(
x
).
上式右端
P
m(
x
)是
m次多项式，其左端也应是
m次多项式，而左端次数是由
Q
n(
x
),
Q
n(
x
)及
Q
n(
x
)及相应系数决定的。它可有三种情形：若
2
+
p
+
q
0
即
不是特征方程r
2
+
p
r
+
q
=0的根，此时左端多项式的次数就是
Q
n(
x
)的次数，因此n
=
m
，即有
Q
n(
x
)=
Q
m(
x
)=
b
0x
m
+
b
1x
m-
1
+
…
+
b
m-
1x
+
b
m
.
由于Q
m(
x
)共有
m
+
1
个待定系数，比较式子两边多项式同次项的系数就可确定Q
m(
x
)，于是可求得
y
*=Q
m(
x
)e
x=(
b
0x
m
+b
1x
m-
1
+
…
+
b
m-
1x
+b
m
)e
x.(3)
由比较系数法确定形式特解中的参数
Q
n(
x
)+(
2
+
p
)Q
n(
x
)+(
2
+
p
+
q
)Q
n(
x
)=
Pm(
x
).
若
2
+
p
+
q
=
0
，而2
+
p
0
即
是特征方程r
2
+
p
r
+
q
=
0的单根，此时有
Q
n(
x
)+(
2+p
)Q
n(
x
)+(
2
+p
+q
)Q
n(
x
)=
Q
n(
x
)+(
2+p
)Q
n(
x
)
=
Pm(
x
).
因此方程左端多项式的次数由
Q
n(
x
)的次数确定,故n
=
m
+
1
，即有
Q
n(
x
)=
Q
m
+1(
x
)=b
0x
m+1
+
b
1x
m
+
…
+
b
m
x
+
b
m
+1
.
虽然Q
m
+1(
x
)有
m
+
2
个待定系数，但代入方程后只会出现m
+
1
个，b
m+1
并不出现，比较式子两边多项式就可确定b
0,b1
,…，b
m
．于是相应特解为y
*=
Q
m
+1(
x
)e
x
=(
b
0x
m+1
+
b
1x
m
+
…
+
b
m
x
+
b
m
+1
)e
x.对于剩下的一个系数b
m+1可作如下考虑，由于此时
是特征方程r
2
+
pr
+
q
=
0的单根，故对应齐次方程
y
+p
y
+
q
y
=
0的通解为
Y=
C1y1
+
C
2
e
x.
非齐次方程的通解为
y
=
Y
+
y
*
=
C1
y1
+
C
2
e
x
+
y
*
=
C1y1
+
C
2
e
x+(
b
0x
m+1
+
b
1x
m
+
…
+
b
m
x
+
b
m
+1
)e
x=
C1y1
+
C
2
e
x+(
b
0x
m+1
+
…
+
b
m
x
)e
x
+
b
m
+1
e
x=
C1y1
+(
C
2
+
b
m
+1
)e
x+
x(
b
0x
m
+
…
+
b
m
)e
x.
由于
C
2为任意常数，b
m+1取何值并不重要，为讨论方便可取
b
m+1=0，于是非齐次方程特解可完全确定
y
*=x(
b
0x
m+1
+
b
1x
m
+
…
+
b
m
)e
x=x
Q
m(
x
)e
x.Q
n(
x
)+(
2
+
p
)Q
n(
x
)+(
2
+
p
+
q
)Q
n(
x
)=
Pm(
x
).
若
2
+
p
+
q
=
0
，且2
+
p
=
0
即
是特征方程r
2
+
pr
+
q
=
0的二重根，此时有
Q
n(
x
)
+(
2+p
)Q
n(
x
)+(
2
+p
+q
)Q
n(
x
)=Q
n(
x
)=
Pm(
x
).
因此方程左端多项式的次数就是
Q
n(
x
)的次数，故n
=
m
+
2
，即有
Q
n(
x
)=Q
m
+
2(
x
)=b
0x
m
+2
+
b
1x
m+1
+
…
+
b
m
x
2
+
b
m
+1
x
+
b
m
+2.
虽然Q
m
+
2(
x
)有
m
+
3
个待定系数，但代入方程后只会出现
m
+
1
个，b
m
+1,b
m
+
2并不出现。比较式子两边多项式就可确定可确定b
0,b1,
b
m
．于是相应特解为
y
*
=
Q
m
+
2(
x
)e
x=(
b0x
m
+2
+
…
+
b
m
x
2
+
b
m
+1
x
+
b
m
+2
)e
x.
对于剩下的两个系数b
m
+1,
b
m
+
2可作如下考虑：由于此时
是特征方程r
2
+
pr
+
q
=
0的二重根，故对应齐次方程
y
+
p
y
+
q
y
=
0的通解为
Y=(
C1
+
C
2
x
)e
x.
非齐次方程的通解为
y
=
Y+
y
*
=(
C1
+
C
2
x
)e
x
+
y
*
=(
C1
+
C
2
x
)e
x
+(
b
0x
m
+
2
+
b
1x
m
+
1
+
…
+
b
m
x
2
+
b
m
+1
x
+
b
m
+
2
)e
x=[(
C1+
b
m
+2
)+(
C
2
x
+
b
m
+1
x
)]e
x
+
x
2(
b
0x
m
+
b
1x
m+1
+
…
+
b
m)e
x.由于
C1,C
2为任意常数，b
m
+1,
b
m
+
2取何值并不重要，为讨论方便可取
b
m
+1=b
m
+2
=
0
，于是非齐次方程特解可完全确定
y
*=x
2(
b
0x
m+1
+
b
1x
m
+
…
+
b
m
)e
x=x
2
Q
m(
x
)e
x.
对形如
y
+
p
y
+
q
y
=
e
x
P
m(
x
)的方程，其特解形式可一般地设置为
y
*
=x
kQ
m(
x
)e
x
，其中，
Q
m(
x
)=b
0
xm+
b
1x
m
-1+…
+b
m
-1x
+
b
m，而
k
的取值可为
0,1,2
，具体取值取决于参数
．
若
不是特征方程
r
2
+
p
r
+
q
=
0
的根，
取
k
=
0
，相应地
y
*
=
Q
m(
x
)e
x
；若
是特征方程
r
2
+
p
r
+
q
=
0
的单根，取
k
=
1
，相应地
y
*
=x
Q
m(
x
)e
x
；若是特征方程
r
2
+
p
r
+
q
=
0
的二重根，取
k
=
2
，相应地
y
*
=
x
2
Q
m(
x
)e
x
.
结果归纳第一类非齐次方程特解的设置例：求方程
y
-
5
y
+
6
y
=
x
e
2
x的通解。
求解微分方程首先应注意判别方程类型。对方程类型的判别，首先应考虑给定方程是一阶方程，还是高阶方程。对高阶方程，则应考虑所论方程是可降阶方程，还是常系数线性方程。对本例，给定方程是形如
y
+
p
y
+
q
y
=
e
x
Pm(
x
)的常系数非齐次线性方程，宜按通解结构计算，即先求对应齐次方程的通解及非齐次方程的一个特解。分析2.第一类常系数非齐次线性方程通解计算的例
求对应齐线性方程的通解
给定方程
y
-
5
y
+
6
y
=
x
e
2
x对应的齐线性方程为
y
-
5
y
+
6
y
=
0
.
此齐线性方程的特征方程为
r
2
-
5
r
+
6
=(
r
-
2
)(
r
-
3
)=0
.
求得特征方程有两个相异实根
r1
=
2
，r2
=3
．故求得齐线性方程的通解为
Y=
C1
e
2
x
+
C2
e
3
x．解根据非齐次线性方程的通解结构求解
设置非齐次线性方程的特解形式
求非齐次方程的特解关键是正确地设置特解形式。设置特解形式依据的是方程已知项的形式及其间参数与特征方程根的相互关系。方程右端已知函数项为
f(
x
)=
x
e
2x，即有
P
m(
x
)=
P1(
x
)=
x
，m
=
1，e
x
=
e
2x，
=
2
.
相应的特解形式基本形式应为
y
*
=x
k
Q
1(
x
)e
2x
=x
k(
b
0
x
+
b1
)e
2x
．
由于
=
2是特征方程的单根，故取k
=
1
，于是可确定特解形式为
y
*
=
x(
b
0
x
+
b1
)e
2x=(
b
0
x2
+
b1x
)e
2x
．
确定非齐次线性方程的特解和通解
y
*
=[(
b
0
x
2
+
b
1x
)e
2x
]
=(
b
0
x
2
+
b
1
x
)e
2x
+(
b
0
x
2
+
b
1x
)(
e
2x
)
=(
2b
0
x
+
b
1
)e
2x
+
2(
b
0
x
2
+
b1
x
)e
2x
=[
2b
0
x
2
+
2(
b
0
+
b
1
)x
+
b
1
]e
2x
.y
*
={[
2b
0
x
2
+
2(
b
0
+
b
1
)x
+
b
1]e
2x
}
=[
2b
0
x
2
+
2(
b
0
+
b
1
)x
+
b
1
]e
2x
+[
2b
0
x
2
+
2(
b
0
+
b
1)x
+
b
1
](
e
2x
)
=[
4b
0
x
2
+
2(
b
0
+
b
1
)]e
2x
+
2[
2b
0
x
2
+
2(
b
0
+
b
1
)x
+
b
1
]e
2x
=2[
2b
0
x
2
+
2(
2b
0
+
b
1
)x
+
(
b
0
+
2b
1
)]e
2x
.将求得的y
*
，y
*
代入方程
y
-
5
y
+
6
y
=
x
e
2
x有
y
*
-
5
y
*
+
6
y
*
={
2[
2b
0
x
2
+
2(
2b
0
+
b
1
)x
+(
b
0
+
2b
1
)]e
2x}
-
5{
2[
2b
0
x
2
+
2(
2b
0
+
b
1
)x
+(
b
0
+
2b
1
)]e
2x}+
6{
2[
2b
0
x
2
+
2(
2b
0
+
b
1
)x
+(
b
0
+
2b
1
)]e
2x
}=
2[
2b
0
x
2
+
2(
2b
0
+
b
1
)x
+(
b
0
+
2b
1
)]e
2x-
5[
2b
0
x
2
+
2(
2b
0
+
b
1
)x
+
b1
)]e
2x
+
6[
b
0
x
2
+
b1
x
]e
2x
=
x
e
2
x.
比较系数得于是求得非齐次方程的特解为
非齐次方程的通解为例：求方程
y
-
8
y
+
16
y
=(
1
-
x
)e
4x的通解。
求解微分方程首先应注意判别方程类型。对方程类型的判别，首先应考虑给定方程是一阶方程，还是高阶方程。对高阶方程，则应考虑所论方程是可降阶方程，还是常系数线性方程。对本例，给定方程是形如
y
+
p
y
+
q
y
=
e
x
Pm(
x
)的常系数非齐次线性方程，宜按通解结构计算，即先求对应齐次方程的通解及非齐次方程的一个特解。分析
求对应齐线性方程的通解
方程
y
-
8
y
+
16
y
=(
1
-
x
)e
4x对应的齐线性方程为
y
-
8
y
+
16
y
=
0.
此齐线性方程的特征方程为
r
2
-
8
r
+
16
=(
r
-
4
)2=0.
求得特征方程有两个相等的实根
r1
=
r2
=4
．故求得齐线性方程的通解为
Y=(
C1+C
2
x
)e
4
x．解根据非齐次线性方程的通解结构求解
设置非齐次线性方程的特解形式
求非齐次方程的特解关键是正确地设置特解形式。设置特解形式依据的是方程已知项的形式及其间参数与特征方程根的相互关系。方程右端已知函数项为
f(
x
)=(
1
-
x
)e
4x，即有
P
m(
x
)=
P1(
x
)=
1-
x
，m
=
1，e
x
=
e
4x，
=
4
.
相应的特解形式基本形式应为
y
*
=x
kQ
1(
x
)e
4x
=x
k(
b
0
x
+
b
1
)e
4x
．
由于
=
4
是特征方程二重根，故取k
=
2
，于是可确定特解形式为
y
*
=x
2Q
1(
x
)
e
4x
=(
b
0
x
3
+
b1
x
2
)e
4x
．
确定非齐次线性方程的特解和通解
y
*
=[(
b
0
x
3
+
b
1x
2
)e
4
x
]=(
b
0
x
3
+
b
1x
2
)e
4
x
+(
b
0
x
3
+
b
1x
2
)(
e
4
x
)=(
3b
0
x
2
+
2b1
x
)e
4
x
+
4(
b
0
x
3
+
b
1
x
2
)e
4
x
=[
4b
0
x
3
+(
3b
0
+
4b
1)x
2
+
2b
1
x
]e
4
x
.y
*
={[
4b
0
x
3
+(
3b
0
+
4b
1
)x
+
2b
1x
]e
4
x
}=[
4b
0
x
3
+(
3b
0
+
4b
1
)x
+
2b
1
x
]e
4
x
+[
4b
0
x
3
+(
3b
0
+
4b
1)x
+
2b
1
x
](
e
4
x
)=[
12b
0
x
2
+
2(
3b
0
+
4b
1
)x
+
2b
1
]e
4
x
+
4[
4b
0
x
3
+
(
3b
0
+
4b
1
)x
+
2b
1
x
]e
4x
=[
16b0
x
3
+
8(
3b
0
+
4b1
)x
2
+
2(
3b
0
+
8b1
)x
+
2b1]e4
x.将
y
*
,
y
*
代入方程
y
-
8
y
+
16
y
=(
1
-
x
)e
4
x有
y
*
-
8
y
*
+
16
y
*
=[
16b0
x
3
+
8(
3b
0
+
4b1
)x
2
+
2(
3b
0
+
8b1
)x
+
2b1]e4
x
-
8[
4b
0
x
3
+(
3b
0
+
4b
1)x
2
+
2b
1
x
]e4
x+
16(
b
0
x
3
+b
1
x
2
)e
4
x
=(
2b
0
x
+
2b
1
)e
4
x=(
1
-
x
)e
4
x.
比较系数得于是求得非齐次方程的特解为
非齐次方程的通解为例：求方程
y
+
y
=
4
x
2e
x
的通解。
求解微分方程首先应注意判别方程类型。对方程类型的判别，首先应考虑所论方程是一阶方程，还是高阶方程。对高阶方程，则应考虑所论方程是可降阶方程，还是常系数线性方程。对本例，给定方程既是形如
y
=f(
x
,y
)的不含
y的可降阶二阶方程，又是形如
y
+
p
y
+
q
y
=
e
x
Pm(
x
)的常系数非齐次线性方程，因此可用两种方法求解。分析解法1根据非齐次线性方程的通解结构求解
求对应齐线性方程的通解
给定方程
y
+
y
=
4
x
2e
x对应的齐线性方程为
y
+
y
=
0
.
此齐线性方程的特征方程为
r
2
+
r
=
r(
r
+
1
)=
0.
求得特征方程有两个相异实根
r
=
0
，r
=-1．故齐线性方程的通解为
Y=
C1
+
C2
e
-
x．
设置非齐次线性方程的特解形式
求非齐次方程的特解关键是正确地设置特解形式。设置特解形式依据的是方程已知项的形式及其间参数与特征方程根的相互关系。方程右端已知函数项为
f(
x
)=
4
x
2e
x，即有
P
m(
x
)=
P2(
x
)=
4
x
2，m
=
2，e
x
=
ex，
=
1
.
相应的特解形式基本形式应为
y
*
=x
kQ
m(
x
)e
x=x
k(
b
0
x
2
+
b
1x
+
b2
)e
x
．
由于
=
1
不是特征方程的根，故取k
=0
，于是可确定特解形式为
y
*
=Q
2(
x
)
e
x
=(
b
0
x
2
+
b
1x
+
b
2
)e
x
．
确定非齐次线性方程的特解和通解
y
*
=[(
b
0
x
2
+
b
1x
+
b
2)e
x
]
=(
b
0
x
2
+
b
1
x
+
b
2
)e
x
+(
b
0
x
2
+
b
1
x
+
b
2
)(
e
x
)=(
2b
0
x
+
b
1
)e
x
+(
b
0
x
2
+
b
1
x
+
b
2
)e
x
=[
b
0
x
2
+(
2b
0
+
b
1
)x
+(
b
1
+
b
2
)]e
x
，
y
*
={[
b
0
x
2
+(
2b
0
+
b
1
)x
+(
b
1
+
b
2
)]e
x
}=[
b
0
x
2
+(
2b
0
+
b
1
)x
+(
b
1
+
b
2
)]e
x
+[
b
0
x
2
+(
2b
0
+
b
1
)x
+(
b
1
+
b
2
)](
e
x
)=[
b
0
x
2
+(
4b
0
+
b
1
)x
+(
2b
0
+
2b
1
+
b
2
)]e
x
.将求得的y
*
，y
*
代入方程y
+y
=
4
x
2e
x有
y
*
+y
*
=[
b
0
x
2
+(
4b
0
+b
1
)x+(
2b
0
+
2b
1
+b
2
)]e
x
+[
b
0
x
2
+(
2b
0
+
b
1)x+(
b
1
+b
2
)]e
x=[
2b0
x
2
+(
6b
0
+
2b
1
)x+(
2b
0
+
3b
1
+
2b
2
)]e
x=
4
x
2e
x.
比较系数得于是求得非齐次方程的特解为
y
*
=(
2
x
2
-
6
x
+
7
)e
x.
非齐次方程的通解为
y
=
Y
+y
*
=
C1
+
C2
e
-
x+(
2
x
2
-
6
x+
7
)e
x．解法2用降阶法求解
视方程
y
+
y
=
4
x
2e
x为形如
y
=f(
x,y
)的缺
y
项的二阶方程，考虑用固定代换降阶。
令:
y
=
p，则
y
=(
y
)
=
p，
于是二阶方程化为
p
+
p
=
4
x
2e
x.
这是一个一阶线性方程，可考虑用公式法求解。其中P(
x
)=
1，Q(
x
)=
4
x
2e
x.由线性方程通解公式有于是又得一阶方程
y
=
p
=
2
x
2e
x-
2
x
ex
+
e
x
+
C1e-
x.
两边积分求得方程通解为y
=
2
∫
x
2e
x
d
x-
2
∫x
exd
x+
∫
e
xd
x+
C1∫e-
xd
x=
2
∫
x
2
d
e
x
-
2
∫
x
d
ex
+
e
x
-
C1
e-
x=
2[x
2
e
x-
∫
e
x
d
x
2]-
2
[x
e
x-
∫
e
x
d
x
]
+
e
x
-
C1
e-
x=
2[x
2
e
x-
2
∫
x
d
e
x
]-
2[
x
e
x-
e
x
]
+
e
x
-
C1
e-
x=
2[
x
2
e
x-
2
x
e
x
+
2e
x
]-
2[
x
e
x-
e
x
]+
e
x
-
C1
e-
x+
C2=[
2
x
2
-
6
x
+
7
]e
x
-
C1
e-
x+
C2.对于非齐次线性方程
y
+p
y
+
q
y
=
e
x
[
Acos
x
+
Bsin
x]．
不难想到，此时方程的特解y
*
也应是指数函数与三角式乘积。可以证明：此时方程的特解形式为：
y
*=
x
k
e
x
(
acos
x
+
bsin
x)．其中
若
i
不是特征方程
r
2
+
pr
+
q
=
0
的根，取
k
=
0；
若
i
是特征方程
r
2+
pr
+
q
=
0
的复根，取
k
=
1．二．的情形1.方程的特解形式例：试确定如下方程的特解形式
y
+
2
y
+
2
y
=
e
-
x(
cos
x
+
sin
x
).
求解微分方程首先应注意判别方程类型。容易看出，本例方程是形如
y
+
p
y
+
q
y
=
e
x(
Acos
x
+
B
sin
x
)的常系数非齐次线性方程。这类方程的特解形式与方程右端函数项及特征方程有着确定的关系，故可按相应的特解结构确定特解。分析2.确定第二类常系数非齐次线性方程特解的例
求对应齐线性方程特征方程的根
给定方程
y
+
2
y
-
2
y
=
e
-
x(
cos
x+sin
x
)
对应的齐线性方程为
y
+
2
y
-
2
y
=
0
.
此齐线性方程的特征方程为
r
2
+
2r
-
2
=
0.
求得特征方程有一对共轭复根解根据非齐次线性方程的通解结构求解
根据方程已知项及特征方程写出特解形式
方程右端已知项为
f(
x
)=
e
-
x(
cos
x
+
sin
x
)，故方程特解的基本形式应为
y
*
=
x
ke
x(
a
cos
x
+
b
sin
x).
为确定特解形式，考察f(
x
)与特征方程的关系：由于
=
-1，
=
1，而
i
=
-1
i是特征方程的共轭复根，故取k
=
1
.
于是求得方程的特解形式为
y
*
=
x
e-
x(
a
cos
x
+
b
sin
x).例：求方程
y
-
y
=
e
x
cos
2
x的通解。
求解微分方程首先应注意判别方程类型。容易看出，本例方程是形如
y
+
p
y
+
q
y
=
e
x(
Acos
x
+
B
sin
x
)的常系数非齐次线性方程。这类方程的通解形式与其特征方程及右端函数项有着确定的关系，故可按相应的通解结构确定特解。
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