章非线性分析

第七章非线性系统分析1第7章非线性系统分析

7-1非线性问题概述基本要求7-2常见非线性因素对系统运动特性的影响7-3相平面法基础7-4非线性系统相轨迹分析7-5描述函数7-6用描述函数分析非线性系统返回主目录2基本要求

明确非线性系统动态过程的本质特征。掌握系统中非线性部分、线性部分结构归化的方法。熟练掌握二阶线性方程的相轨迹，正确理解焦点、节点、中心、鞍点、极限环等概念。熟练掌握由相轨迹计算时间的方法。已知相轨迹大致画出时间响应曲线的图形。对简单的非线性系统能熟练写出相轨迹的解析表达式。能通过等倾线方法作出相轨迹。返回子目录3对分段线性的非线性系统，能决定开关线,写出分区域相轨迹的方程式。对具有外作用和或具有速度反馈的情况能合适地选取相坐标作出相轨迹图。正确理解谐波线性化的条件及描述函数的概念。了解描述函数建立的一般方法，明确几种典型非线性特性负倒描述函数曲线的特点。熟练掌握运用描述函数法分析系统中是否有周期运动,判断周期运动的稳定性。4简介非线性系统一般理解为非线性微分方程所描述的系统。线性系统的本质特征是叠加原理，因此非线性系统也可以理解为不满足叠加原理的系统。本章将介绍工程上常用的相平面法和描述函数法，并通过这两种方法揭示非线性系统的一些区别于线性系统的现象。57-1非线性问题概述一.实际系统中的非线性因素图7-1一些常见的非线性特性返回子目录6除上述实际系统中部件的不可避免的非线性因素外，有时为了改善系统的性能或者简化系统的结构，人们还常常在系统中引入非线性部件或者更复杂的非线性控制器。通常，在自动控制系统中采用的非线性部件，最简单和最普遍的就是继电器。7图7-2电磁继电器的工作原理和输入-输出特性8二.非线性系统和线性系统有不同的

运动规律在线性系统中，系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，对常参量线性系统，只取决于系统特征方程根的分布，而和初始条件、外加作用没有关系。对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概念。必须具体讨论某一运动的稳定性问题。非线性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及参数大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。9线性系统自由运动的形式与系统的初始偏移无关。非线性系统则不一样，自由运动的时间响应曲线可以随着初始偏移不同而有多种不同的形式。图7-4非线性系统在不同初始偏移下的自由运动10线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在临界情况，而这一周期运动是物理上不可能实现的。非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发生一定频率和振幅的稳定的周期运动，如图7—5所示，这个周期运动在物理上是可以实现的，通常把它称为自激振荡，简称自振。图7-5非线性系统的自激振荡11线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分量也是同频率的正弦函数，可以引入频率特性的概念并用它来表示系统固有的动态特性。非线性系统在正弦作用下的输出比较复杂。12三.非线性系统的分析方法在线性系统中，一般可采用传递函数、频率特性、脉冲过渡函数等概念。在工程实际中对于存在线性工作区域的非线性系统，或者非线性不严重的准线性系统，常常采用线性化的方法进行处理，然后在线性分析的基础上加以修正。而对于包括像继电特性那样根本不存在线性区的非线性特性，工程上常用相平面方法和描述函数方法进行研究。137-2常见非线性因素对系统

运动特性的影响一.不灵敏区不灵敏区又叫死区，系统中的死区是由测量元件的死区、放大器的死区以及执行机构的死区所造成的。图7-6死区特性返回子目录14死区非线性特性的数学表达式如下：式中15图7-7包含死区的非线性系统图7-8

斜坡输入时的系统输出量16二、饱和图7-9部件的饱和现象饱和特性也是系统中最常见的一种非线性特性。17理想化后的饱和特性典型数学表达式为：式中：a是线性范围，K为线性范围内的传递系数（对于放大元件，也称增益）。18粗略地看，饱和特性的存在相当于

大信号作用时，增益下降。图7-10饱和特性图7-11饱和特性的等效增益19图7-13图7-12系统的响应随动系统的方块图如图7—12所示。当系统输入端加上一个幅值较大的阶跃信号时，若放大器无饱和限制，系统的时间响应曲线如图7-13中的曲线1；放大器有饱和限制时的时间响应曲线如图7-13中的曲线2。图7-12非线性系统20若随动系统的方块图如图7—15所示。图7-14根轨迹图图7-15非线性系统根轨迹分析：21图7-16系统的时间响应当系统中不存在饱和特性的限制，系统是振荡发散的；若系统中存在饱和特性的限制，则系统不再发散，而是出现稳定的等幅振荡，如图7-16中的曲线2。22三、间隙图7—17齿轮传动中的间隙传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控制系统中的一种常见的非线性因素。23间隙特性的典型形式如图7-18所示（7-6）数学表达式为图7—18间隙非线性特性24间隙对系统性能的影响也很复杂，一般说来，它会增大系统的静差，使系统波形失真，过渡过程的振荡加剧。图7-19间隙特性的输入-输出波形25四、摩擦图7-20直流电动机的方框图摩擦非线性对小功率角度随动系统来说，是一个很重要的非线性因素。它的影响，从静态方面看，相当于在执行机构中引入了死区，从而造成了系统的静差，这一点和死区的影响相类似。图7-21摩擦力矩示意图26图7-22小功率随动系统方框图图7-23低速爬行现象277-3相平面法基础相平面法

是一种求解二阶常微分方程的图解方法。设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述

令

,（7-9）

则（7-11）返回子目录相轨迹方程28相平面：状态空间法描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫相轨迹。

通常把方程（7－9）称为相轨迹微分方程式，简称相轨迹方程。将（7－11）式的积分结果称为相轨迹表达式。相轨迹:把具有直角坐标的平面叫做相平面。29一、线性系统的相轨迹设系统的微分方程为（7-12）系统（7-12）的特征方程为

上述特征方程的根为

式（7-12）所表示的自由运动，其性质由特征方程根的分布特点所决定。30取相坐标、，式（7-12）可化为：（7-14）或31（1）无阻尼运动由方程（7-14），相轨迹方程为：其中相轨迹如图7－24所示，在相平面上是为一族同心的椭圆。每个椭圆相当于一个简谐振动。（7-16）32图7-24系统无阻尼运动时的相轨迹相轨迹的方向如图7-24中箭头所示。相轨迹垂直穿过横轴。坐标原点处相轨迹的斜率不能由该点的坐标唯一地确定，这种点叫做奇点。图7-24的奇点(0,0)通常称为

中心

在相平面上，满足x’’=x’的点为平衡点。相平面上满足dx’/dx=0/0,相轨迹方向不确定的点为奇点，这两个点本质是一样的33求下列方程的奇点：1）x’’+0.5x’+2x+x2=02)x’’-(1-x2)x’+x=034（2）欠阻尼运动其中（7-17）方程（7-12）的解为35相轨迹如图7－25所示。从图中可以看出，欠阻尼系统不管初始状态如何，它经过衰减振荡，最后趋向于平衡状态。坐标原点是一个奇点，它附近的相轨迹是收敛于它的对数螺旋线，这种奇点称为

稳定的焦点。图7-25系统欠阻尼运动时的相轨迹36（3）过阻尼运动这时方程（7－12）的解为相轨迹如图7－26所示。37图7-26过阻尼时的相轨迹图7-27过阻尼运动的时间响应坐标原点是一个奇点，这种奇点称为

稳定的节点。38（4）负阻尼运动相轨迹图如图7－28所示，此时相轨迹仍是对数螺旋线，但相轨迹的运动方向与图7－25不同，随着t的增长，运动过程是振荡发散的。这种奇点称为

不稳定的焦点。图7-2839系统的相轨迹图如图7-29所示，奇点称为不稳定的节点。图7-2940此时相轨迹如图

7-30所示。奇点称为

鞍点

该奇点是不稳定的。图7-30斥力系统的相轨迹41图7-31特征根和奇点的对应关系二阶线性系统的相轨迹P7242系统特征方程的根在复平面上的位置不同，系统运动形式就不同。在相平面上奇点的类型就不同，奇点附近的想轨迹也就不同。P288

总结：

二阶线性系统的奇点性质与特征根分布相对应，对于二阶非线性，其奇点性质与在奇点邻域内线性化方程的根分布有关。在奇点出展位泰勒级数，得到线性化方程。43求下列方程的奇点，并确定类型：1）x’’+0.5x’+2x+x2=0奇点为（x,x’)=(0,0)（x,x’)=(-2,0)X’’=f(x,x’)=-0.5x’-2x-x2在（0,0）展开泰勒级数，并保留一次项X’’=f（0,0）+f’(0,0)x’+f’(0,0)x=-0.5x’-2x次方程为奇点处的线性化方程，特征方程：

s2+0.5s+2=0特征根为s=-0.25+1.39j此奇点为稳定的焦点同样判定（-2,0）为鞍点44根据奇点类型试绘制下列方程的相轨迹图形X’’+xx’+x=0X’’+x=0解：1）奇点为（0,0）在原点线性化，x’’+x=0特征方程根±j,奇点为中心45X’’+x=0x>0X’’-x=0x<0奇点为0,0I区：线性化方程为s2+1=0奇点为中心II区：线性化方程为s2-1=0奇点为鞍点46二、相轨迹作图法求解相轨迹表达式通常比较困难和复杂，因此局限性很大。绘制相轨迹的方法相轨迹实际是相平面上x’-x

关系曲线。所以，只要通过系统微分方程找出x’-x

关系，并描绘在相平面上，就得到了该系统的相轨迹，绘制相轨迹的方法可以归纳为两种：解析法和图解法。（1）解析法用求解微分方程的办法找出x’和x的关系，从而可在相平面上绘制相轨迹。这种方法称做“解析法”。47

（2）图解法

设系统微分方程如化为表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线上的点时所取的斜率都是这条曲线就称为

等倾线。

令其中为某个常数1等倾线法所谓等倾线，是指在相平面内，对应相轨迹上具有等斜率点的连线。48

当给出了不同的数值时，总可以找出一簇等倾线。以初始条件为起点作相轨迹，每经过一条等倾线，相轨迹的斜率就是这条等倾先所对应的。按照这个原则画下去，可以大致得到该系统的相轨迹图。如果等倾线足够多，从理论上讲，所画出的相轨迹就足够精确，但是工作量增加，在工程上，一般取相邻两条等倾线之间的夹角为5°～10°

。49例子微分方程或等倾线是直线，它的方程为：等倾线方程50取不同值时，可在相平面上画出若干不同的等倾线，在每条等倾线上画出表示该等倾线斜率值的小线段，这些小线段表示相轨迹通过等倾线时的方向，从相轨迹的起点按顺序将各小线段连接起来，就得到了所求的相轨迹。图7-32等倾线是直线，它的方程为：在2条等倾线之间的曲线用一短线段近似，短线的斜率用2条等倾线a值平均值，-1-1.2/2=-1.1。从A点做斜率为-1.1直线，与a=-1.2交B点。具体做法51图7-34各种类型的极限环极限环在图7-33中，非线性系统相轨迹在相平面上出现了一种孤立的简单的封闭相轨迹。所以附近的相轨迹都趋向或离开这个封闭曲线。这种相轨迹称为极限环。P290描述系统的自激震荡图7-3352图7-34各种类型的极限环起始于极限环外或内都趋向于极限环，稳定的极限环稳定起始于极限环外或内都远离极限环，不稳定的极限环不稳定一侧远离极限环另一侧趋向极限环，半稳定的极限环类型半稳定53退出②圆弧法（法）设是单值连续函数（线性，非线性甚至时变），将改写为

(10)其中为一常数，令

(11)则在相平面上某一点处有54退出在附近，可以看做是常数。这样，式（10）变为（12）求解式（12），得（13）其中55三、由相平面图求时间解相轨迹上坐标点移动到点所需的时间，可按下式计算（7-37）这个积分可用通常近似计算积分的方法求出，因此求时间解的过程是近似计算的过程。561、用曲线计算时间利用式（7－37）计算时间，在某些情况下可直接进行积分运算。图7-37572、用小圆弧逼近相轨迹计算时间在小圆弧逼近的方法中，相轨迹是用圆心位于实轴上的一系列圆弧来近似的。如图7－8AD段，可用轴上的P、Q、R点为圆心，以、、为半径的小圆弧来逼近，这样就有58

代入（7-37）式得令（7-38）59图7-38用小圆弧逼近相轨迹计算时间60例7-2图示相平面上有两条封闭的相轨迹，已知和均是圆弧的一部分，试计算这两条封闭相轨迹所对应的周期运动的周期。图7-3961解：相轨迹和对应的周期运动，他们的周期分别为和s，则有627-4非线性系统相轨迹分析

在工程中很多非线性可以通过“分段线性化”的方法来研究，根据非线性的分段情况，用几条分界线将平面划分为几个线性区域。应用线性系统相平面分析方法和结论，绘制个区域相轨迹。最后将个区域衔接连成总的曲线。返回子目录63一、继电型系统系统中有一个或几个元件具有继电型非线性特性的系统称为继电型系统。（开关装置、继电器、接触器）图7-40继电型非线性特性64若继电系统的方框图如图7—41所示

研究图中继电特性为图7-40(b)的情况图7-4165很明显，相平面以直线为界被分成三个不同的区域，在每个区域里，系统的相轨迹完全由一个线性微分方程所确定66

1在c>h的区域系统方程为其中67所以当682在|c|<h区域系统方程为（7-47）693在c<-h区域相轨迹方程为当时70图7-42图7-41系统当时的相轨迹71当m=-1时，系统微分方程为对这个系统而言，不论初始条件如何，系统最终都是处于自振状态，并且振荡的周期与振幅仅取决于系统的参数，而和初始条件的大小无关。72图7-43图7-41系统当m=-1时的相轨迹73图7-44振荡趋势加大示意图74图7-45m逐渐减少时的相平面75二、速度反馈对继电系统自由运动的影响图7-46有速度反馈的继电器系统76系统的微分方程为将此相轨迹图与图7—42比较可看出两者主要是开关线不同。可以通过改变开关线的位置来改善系统的性能。77图7—47速度反馈对系统运动过程的影响78三、含有间隙非线性的系统图7-48间隙非线性和非线性控制系统79方程式：80式中相轨迹方程（7-59）（7-60）81图7-49式（7-59）和式（7-60）的相轨迹82图7-50图7-48系统的相平面83图7-51判断开关线所用的对应关系84四、具有阶跃或斜坡输入时非线性系统的相平面图7-52具有非线性放大器的系统85图7-52（a）表示的系统方程为得到假定86（1）阶跃输入r(t)=R系统方程变为图7-5387（2）输入信号r(t)=Vt+R系统方程为88图7-54V<kKe0，R>e0时的相轨迹89图7-55

kKe0<V<Ke0,R=0图7-56V>Ke0,R=090K>0取（e’,e)为相坐标，试做相轨迹图(北航）91由结构图可知：c=-e代入上式相平面分成2个区域I:e>=0II:e<0K=0K增加92K>0取（c’,c)为相坐标，试做相轨迹图93由结构图可知：相平面分成2个区域I:c>=0II:e<0K=0K增加94返回子目录

7-5描述函数描述函数法是线性频率特性发在非线性中的推广，基本思想：在一定的假设条件下，将非线性环节在正弦信号作用下的输出用一次谐波分量近似表示，得出非线性的等效近似频率特性，此方法主要分析无外力作用下的，非线性系统的稳定性和自振荡问题，不受阶次的限制，应用广泛，只能用来研究频率响应特性，不能给出时间响应的确切信息。95返回子目录描述函数可以定义为非线性特性输出的一次谐波分量与输入正弦量的复数比。若输出的一次谐波分量为

输入的正弦量为则描述函数的数学表达式如式（7-75）所示：

（7-75）=B1/X+jA1/x描述函数是输入正弦信号幅值的复函数线性元件输入非线性元件96图7-57理想继电特性在正弦输入时的输出波形和振幅频谱同频非正弦信号97为非线性特性在输入信号作用下的输出。一个周期变化的函数在一定条件下可展成傅里叶级数如果非线性特性是奇对称，那么A0=0，一次谐波分量为98例7-3若非线性特性为

（7-76）其特性曲线如图7-58。99令则有描述函数非线性下的正弦输出100一、不灵敏区特性的描述函数表7-1非线性特性及其描述函数101（7-83）根据描述函数的定义，可求出不灵敏区的描述函数为102图7-60不灵敏区特性及其输入-输出波形103二、饱和特性的描述函数104图7—61表示了饱和特性和它在正弦信号作用下的输出波形。饱和特性的描述函数为从上式可知，饱和特性的描述函数是输入幅值的实值函数，与输入频率无关。105图7-61饱和特性及其输入-输出波形106三、间隙特性的描述函数107108间隙特性的描述函数为图7—62表示了间隙特性和它在正弦信号作用下的输出波形109图7-62间隙特性及其输入-输出波形110四、继电型特性的描述函数图7—63表示了具有滞环和不灵敏区的继电特性和它在正弦信号作用下的输出波形111112113继电特性的描述函数为可知具有滞环和不灵敏区的继电特性的描述函数，和输入信号的频率无关，只是输入幅值的复数值函数。114图7-63继电特性及其输入-输出波形115当h=0,两位置理想继电特性的描述函数当m=1,三位置理想继电特性的描述函数当m=-1,得到具有滞环的两位置继电特性的描述函数116返回子目录

7-6

用描述函数法分析非线性系统大多数分非线性系统都可以化为线性部分与非线性部分串联，下列结构形式

图7-64非线性控制系统用描述函数代替整个系统可看作等效的线性系统117

非线性特性负倒描述函数一、稳定性分析Nyquist判据：G（jw）曲不包围（-1，0j）稳定，包围时，不稳定。非线性的闭环特征方程：（7-90）此时相当于将整个曲线当作临界线。

118假设线性部分传递函数开环稳定，在同一平面画出G（jw）和-1/N（x）曲线，利用Nyquist判据：1）若-1/N（x）曲线没有被G（jw）包围，系统稳定2）若-1/N（x）曲线被G（jw）包围，系统不稳定。3）若-1/N（x）曲线与G（jw）相交，则可能会产生自振荡，即系统有极限环存在。119120二、自激振荡的确定

每一个交点对应一个周期运动，只有稳定的周期运动才是非线性的自振荡定义：稳定的周期运动：系统受到干扰偏离原来的运动状态在扰动消失后，运动能重新收敛于原来的等幅持续振荡，不稳定的周期运动：系统干扰不能重新收敛于原来的等幅持续振荡，一经扰动就发散或转移到另外的周期运动状态。121二、自激振荡的确定

图7-65周期运动的确定及稳定性判