误差和有效数字

试验设计与数据处理材料科学与工程学院

误差与有效数字第一节误差的表示方法第二节测量误差的分类第三节误差分析与处理方法第四节测量误差的综合处理第一章误差理论基础学习要求1、掌握误差的表示方法、特点和计算；2、熟悉三种误差类型、特点和判断方法；3、了解减小或消除误差的基本方法；4、掌握误差综合的计算方法。学习误差的意义:1.正确认识误差的性质,分析误差产生的原因,以便消除或减小它;2.正确处理数据,合理计算所得结果,以便在一定条件下,得到更接近真实值的数据;3.正确组成检测系统,合理设计检测系统或选用测量仪表,正确选择检测方法,以便在最经济的条件下,得到理想的测量结果.误差的定义定义：Δx–测量误差x–测量结果x0–真值测量结果与其真值的差异真值：被测量的客观真实值理论真值：理论上存在、计算推导出来如：三角形内角和180°约定真值：国际上公认的最高基准值如：基准米(氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长)相对真值：利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值1m=1650763.73λ定性概念，定量表示6测量值1.1绝对误差：被测量真值，通常无法知道，常用较高精度的仪器示值代替第一节误差的表示方法如铂电阻温度计指示的温度相对于普通温度计而言是真值.绝对误差的特征：⑴具有量纲，与被测量相同⑵其大小与所取单位有关如0.1kg如⑶能反映误差的大小和方向⑷不能反映测量的精细程度+表示偏大;-表示偏小.为什么？举例说明1.用温度仪测量温度，绝对误差是10C对测量10000C的炉温，精度很高；但对测量人体体温则误差太大。2.一只钟的误差是1秒，误差是否大？是工作一天的误差还是一年的误差？1.2相对误差-----绝对误差与被测量真值之比.科学研究中常用算术平均值代替真值；工程上常用测量显示值代替真值。举例说明：例1.测量温度的绝对误差为10C，测量水的沸点温度1000C，测量的相对误差是多少？例2.某电子天平的相对误差是0.5%，测量500g重物的误差是多少？相对误差的特征：⑴大小与被测量单位无关⑶能反映测量工作的精细程度⑵能反映误差的大小和方向

相对误差比较符合实际检测需要，一般地，测量范围越小，要求的绝对误差越小。比如量程为1000Kg的秤，相对误差为1％，则测量10Kg重物的误差为0.1Kg，而测量500Kg重物的误差为5Kg。1.3引用误差----是一种特殊的相对误差表示法，常用于连续刻度的仪表中，实质给出仪表的最大绝对误差。引用误差A满量程刻度值xm测量中最大绝对误差指示仪表通常按进行分类。例如电工仪表按大小分为7级：0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0对一定级别的仪表，其绝对误差为一常数，x=A,不随示值刻度发生变化，但示值相对误差则不同，越接近仪表满刻度，示值相对误差越小，反之则越大。引用误差的用途例：满刻度为100v,=2.5%的电 压表其绝对误差若测量电压为25v,其示值相对误差大于引用相对误差结论：在使用电工仪表进行测量，要选择合适的量程，一般要求被测量工作在不小于满刻度的2/3区域在同一条件下，多次重复测量同一量时，误差的大小和符号保持不变或按一定规律变化。这叫“系统误差”。它又分为两类：⑴恒值系统误差——指在一定条件下，大小和符号都保持不变的系统误差2.1系统误差：第二节测量误差的分类⑵变值系统误差——在一定条件下，按某一确定规律变化的系统误差。根据变化规律有以下三种情况：指在整个测量过程中，误差的数值向一个方向变化。指在测量过程中，数值是按周期性变化的。指误差变化的规律复杂，一般用表格、曲线或公式表示。A.累进性系统误差。B.周期性系统误差。C.按复杂规律变化的系统误差。产生系统误差的原因主要是：⑴仪器不良，如零点未校准刻度不准；⑵测试环境的变化，如外界湿度、温度、压力变化等；⑶安装不当；⑷测试人员的习惯偏向，如读数偏高；⑸测量方法不当。2.2随机误差：在一定测量条件下的多次重复测量，误差出现的数值和正负号没有明显的规律。这叫“随机误差”。这类误差是由许多复杂因素微小变化的总和引起的，分析较困难，对于某一次具体测量，不能在测量过程中设法把它去除。随机事例的几个例子

彩票摇奖随机误差具有随机变量的一切特点，在多次测量中服从统计规律。随机误差是没有规律的，如何估计它的大小？随机误差表现了测量的分散性。在误差分析时，常用精密度表示随机误差的大小。随机误差愈小，精密度愈高。而系统误差则用准确度表示。2.3.疏失误差又称“过程误差”或“粗大误差”，简称“粗差”，这是一种由于测量人员的粗心或过度疲劳造成的误差。具有疏失误差的测量值称为“坏值”，在实际计算中应舍去。3.1系统误差1.系统误差的判别a)实验对比法采用多台更同类或相近的仪器进行同样的测试和比较，分析测量结果的差异，可判断系统误差是否存在。(1)恒值系统误差的判断----这种方法常用于新仪器的研制。第三节误差分析与处理方法b)改变测量条件法

通过改变产生系统误差的条件进行同一量的测量,可发现测量条件引起的系统误差。也可用更高精度的仪器来校正，判断系统误差的大小。c)理论计算与分析法对于因测量方法或测量原理引起的恒值系统误差，可以通过理论计算和分析加以判断和修正。a)残余误差观察法:对被测量x0进行多次测量后得测量列x1,x2,….,xn,得到相应的残余误差U1,U2,…..,Un。对残余误差进行列表或作图进行观察。0nU0Un0Un无系统误差线性系统误差周期性系统误差(2)变值系统误差的判断b)残余误差之和相减法(马利科夫判据):当测量次数较多时，将测量列前一半的残余误差之和，减去测量列后一半的残余误差之和。若M接近于零，说明不存在变化的系统误差；若M显著不为零，则认为存在变化的系统误差。式中，n为测量次数，K＝n/2或k=(n+1)/22.系统误差的消除与削弱(1)固定不变的系统误差消除法:

代替法---在一定的条件下,选择一个大小适当并可调的已知标量去代替测量中的被测量,并使仪表的指示值保持原值不变.此时该标准量即为被测的数值.交换法----在测量中将引起系统误差的某些条件（如被测物的位置）相互交换，而保持其它条件不变，使产生系统误差的因素对测量起相反的作用，取两次测量的平均值作为测量结果，以消除系统误差。例如：用等臂天平称某物重量。(2)周期性变化的系统误差消除法：可用半周期读数法：设误差为周期性变化，经过1800后，误差变号，利用此特点，每隔半个周期进行一次测量，取两次读数的平均值作为测值，即可消除周期性误差。0Un周期性系统误差需要准确确定误差的周期。3.2随机误差分析方法1.随机误差的统计特性就随机误差个体而言，其大小和方向都无法预测，但就随机误差的总体而言，都具有统计规律。在检测系统中，绝大多数随机误差近似服从正态分布。P0P--随机误差的概率密度----随机误差2.随机误差的估计问题:用算术平均值作为真值的近似值，误差有多大?-----对随机误差的估计均方根估计最适合服从正态分布的随机误差的估计。(1)测量列的均方根误差设测量列为x1,x2,…..,xN。列均方根误差为：反映测量列的离散程度，从而反映测量的精密度。列均方根误差与误差估计的置信概率Px0测量值典型正态分布曲线可见：a)全部测量值分布在算术平均值附近；B)测量值误差在-～+的概率为68.27%；在－2～+2的概率为95.45%。在－3～+3的概率为99.73%。(2)算术平均值的均方根误差对某量测量n次，可得到一个算术平均值重复上述过程m次，可得m个算术平均值，即，以上算术平均值相对于真值的离散程度可以用算术平均值的均方根误差表示可以证明，列均方根误差与算术平均值的均方根误差有以下关系：测量结果的表示方法：或例如：对某重物进行了十次等精度测量，测值为：20.6220.8220.7820.8220.7020.7820.8420.7820.8520.85g1）测量值的算术平均值；2）测量值的均方根误差；3）测量结果的表达。求:解：1）2）3）3.3疏失误差或粗大误差的处理1.粗大误差产生的原因1)测量人员主观的原因：

包括测量人员的经验不足、操作不当、或工作过度疲劳或测量时不细心、不耐心、工作责任感不强等等，造成了错误的读数或错误的记录。2)客观外界条件的原因：由于测量条件意外的改变，如机械振动、强电磁辐射或电网电压波动等，引起仪表示值或被测对象位置、性能的某些改变而产生误差。2.判断粗大误差的准则莱依特准则：设某一测量列中，测量值只含有随机误差，根据随机误差的正态分布规律，其误差落在3以外的概率约为0.3％，所以若发现有残余误差有则认为该测值xi是粗大误差，应予剔除。例：对容器中一溶液的浓度共测量15次，结果为：20.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.3020.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40%试判断并剔除异常值。【解】∵∴剔除20.30对剩下的14个数据继续继续判断：逐一检查ui，其绝对值无一超过0.048。所以，15个测量数据中只有20.30是异常值。10.08.05.08.0

8.05.0其它粗大误差的应用举例:8.08.08.08.08.08.0---裁判评分最后得分:前例结果分析:若不去掉最高分和最低分,则,结果与前面处理的结果相同，为什么？若采用莱依特准则进行粗大误差的处理，则显然也不合理!测量误差的综合处理是研究检测各个环节的误差对系统误差的影响规律，以确定总误差与各环节误差的关系。设Y为被测量，、、…为中间变量，找出被测量与中间变量的函数关系：第四节测量误差的综合处理误差传递例1：计算某长方体体积。知其长、宽、高分别为20.20mm、10.40mm、5.00mm，如测试所用的刻度尺最小刻度为0.1mm，求该长方体体积的最大误差。

误差传递例2：测量水泥密度。质量m用感量为0.1g的天平称量，体积V用感量为0.1cm3的比重瓶测量，如m=59.30g，V=19.73，求水泥的密度及最大相对误差和最大绝对误差。

第二章有效数字定义：观测值中有意义的数字。有效数字的修约有效数字的运算在科学实验中，为了得到准确的测量结果，不仅要准确地测定各种数据，而是还要正确地记录和计算。分析结果的数值不仅表示试样中被测成分含量的多少，而且还反映了测定的准确程度。所以，记录实验数据和计算结果应保留几位数字是一件很重要的事，不能随便增加或减少位数。例如用重量法测定硅酸盐中的SiO2时，若称取试样重为0.4538克，经过一系列处理后，灼烧得到SiO2沉淀重0.1374克，则其百分含量为：SiO2%=(0.1374/0.4538)×100%＝30.277655354%

上述分析结果共有11位数字，从运算来讲，并无错误，但实际上用这样多位数的数字来表示上述分析结果是错误的，它没有反映客观事实，因为所用的分析方法和测量仪器不可能准确到这种程度。那么在分析实验中记录和计算时，究竟要准确到什么程度，才符合客观事实呢？这就必须了解“有效数字”的意义。定义：在测量结果的数字表示中，由若干位可靠数字加一位可疑数字，便组成了有效数字。有效数字的一般概念有效数字位数的确定1.关于“0”的有效问题①.当“0”在数字中间或末尾时有效如：、、等中的0均有效。注意：不能在数字的末尾随便加“0”或减“0”数学上：测量上：②.小数点前面的“0”和紧接小数点后面的“0”不算作有效数字如：0.0123dm、0.123cm、0.00123m均是3位有效数字。注意：进行单位换算时，有效数字的位数不变。2.数值的科学记数法数据过大或过小时，可以用科学表达式。某电阻值为20000（欧姆），保留三位有效数字时写成2.00104又如数据为0.0000325m，使用科学记数法写成3.2510-5m3.有效数字与仪器的关系有效数字的位数测量值本身的大小、仪器的准确度

20分度游标卡尺L=2.525cm

（四位有效数字）

螺旋测微计L=2.5153cm

（五位有效数字）米尺L=2.52cm

（三位有效数字）有效数字的修约有效数字的修约通常的修约方法

四舍五入（不合理）修约规则修约到0，10

“四舍六入五成双”修约到0，5将原数字乘2，正常修约后除以2。≤2.5，舍为0；≥7.5进为10；2.5至7.5，进为5。GB8170数字修约规则有效数字运算规则加减：结果小数点后数字位数，与参与运算的数字中小数点后位数最少的那个数字相同。乘、除、成幂、开方：