第4讲-直线、平面与平面的相对位置

平行问题第一节相交问题第二节垂直问题第三节第4讲直线、平面与平面相对位置1/15/20231

一、平行问题1.直线与平面平行几何条件若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。2.平面与平面平行几何条件若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。1/15/20232例题1

试判断直线AB是否平行于定平面

fgfg结论：直线AB不平行于定平面1/15/20233例题2试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面

baaffb1/15/20234例题3

试判断两平面是否平行mnmnrrss结论：两平面平行1/15/20235二、相交问题

直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两平面的共有线。

求线面交点、面面交线的实质是求共有点、共有线的投影1/15/20236直线与平面相交直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。BKA1/15/20237M平面与平面相交两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有FKNL1/15/20238bbaaccmmnn（1）直线与特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。kk1/15/20239判断直线的可见性bbaaccmmnkkn

特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。

1/15/202310()

例题4求铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点并判别其可见性。

k21k'2'1'1/15/202311（2）一般位置平面与特殊位置平面相交nlmmlnbaccabfkfkMmnlPBCacbPHAFKNLkf1/15/202312判断平面的可见性1/15/202313

两一般位置平面相交，求交线步骤：1．用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。（4）两一般位置平面相交llnmmnPVQV1221kkee2．连接两个共有点，画出交线KE。1/15/202314两一般位置平面相交求交线的方法示意图

利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。MBCAFKNL1/15/202315利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性3

4

()3421()121/15/202316例题5试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交。1/15/202317分析

过已知点K作平面P平行于

ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。FPEKH1/15/202318作图mnhhnmPV11221．过点K作平面KMN//

ABC平面。2．求直线EF与平面KMN的交点H。3．连接KH，KH即为所求。1/15/202319直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。

三、垂直问题1/15/202320定理2（逆）若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。1/15/202321h例题6试过定点K作特殊位置平面的法线。hhhhh（a）（c）（b）1/15/202322

两平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。AD1/15/202323g

例题7平面由

BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。hacachg1/15/202324例题8

试判断

ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。ffdd结论：因为AD直线不在

ABC平面上，所以两平面不垂直。1/15/202325例题9

试过定点A作直线与已知直线EF正交。1/15/202326EQ分析

过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，AK即为所求。