数学分析上册练习题及答案第四

一元函数的连续性第四章函数的连续性1连续性概念1.按定义证明下列函数在其定义域内连续 ：r1r⑴f(x)=—；(2)f(x)=x.x_ 一一 证明⑴f(x)=一的定义域是xwR且x=0，取x0#0,由函数极限四则运算可知x 1 1 ,,、… limf(x)=lim—=—=f(x°)，所以f(x)在xo连续.由xo在te乂域内的任息性知 f(x)X四 X凶x xo在其定义域内连续.(2)f(x)的定义域是xWR,任取xowR,由于|x—x0|Wx—xo,所以对任给的名＞0,取6=名，使得当x-x0<6时有f(x)-f(x0)=|x一x0|<|x-x0|<z.按函数在一点连续的-6定义，f(x)在xo连续，由xo在R中的任意性知f(x)在定义域按函数在一点连续的R内连续.TOC\o"1-5"\h\z2.指出下列函数的间断点并说明其类型 ：sinx一 一f(x)=x+—；(2)f(x) —；(3)f(x)=[cosx]；(4)f(x)=sgnx；x x(5)f(x)=sgn(cosx)；(6)(5)f(x)=sgn(cosx)；(6)x,f(x)=」1x,x为有理数x为无理数;f(x)=1x7

x,(xf(x)=1x7

x,(x-1)sin1x-1-二：x-7,-7<x<1,1：x：二.解(1)因f(x)仅在x=0处无定义，故x=0为函数的间断点，又因lim+f(x)=依，limf(x)=-°°所以x=0为第二类间断点.x)0 x—0(2)因f(x)仅在x=0处无定义，故x=0为函数的间断点，又因limf(x) =lim^Jnx =1,limf(x) =limsnx =-lims-LxL7,所以 x=0是f(x)的x)0' xjO'x x:0- x)0--xx)0-x第一类间断点，且为跳跃间断点.

(3)由于JimJcoxS=QnwZ,而f(nn)=[cosnn]=[(—1)n]=[1]#0,所以x=nn(nwZ)为该函数的可去间断点.(4)由于sgnx=(4)由于sgnx=<3T J[x(2k：-一,2k二 一)2 2x=2k二—

23T J[x(2k：-一,2k二 一)2 2x=2k二—

2一二〜3、x(2k二一,2k二二)2 2-i(5)由于f(x)=sgn(cosx)=«0-1故limf(x)=-1, limx_(2k故limf(x)=-1, limx_(2k二• x)(2k.-_)-xj(2k]：_2). x》(2k二至：)一nx=2kn±,(k=0,±1,工2,…)皆为函数的跳跃间断点.TOC\o"1-5"\h\z(6)当x0 #0时，由于存在有理数列及；｝和无理数列及：｝使得：x； < x0且xnTx°(nT8);xn<x0且xnTx°(nT℃),故limf(xn)=limx；=x0,limf(x；)=lim(-xn)=-x0,而且x0丰-x0,n. n. n, n>据函数极限的归结原则，limf(x)不存在，同理lim*f(x)也不存在，所以x#0的点皆为函X-X0- X阳-数的第二类间断点.1(7)因为limf(x)=lim ="，所以x=-7为函数的第一类间断点.x「(二)一 x_(，)-x一7「、，一 一 1因为 limf(x) =limx=1,lim*f (x)=lim/x-1)sin- =0,即f(1一0)#f(1+0)，所以x—1一 x—1- x-1- x1- xx=1为函数的跳跃间断点.综上，x=-7是该函数的第二类间断点，x=1是该函数的跳跃间断点.3.延拓下列函数，使其在R上连续：3x-8 1-cosx 1f(x)= ;(2)f(x)= 2；(3)f(x)=xcos.x-2 x xx0处分析：如果函数f(x)在x0处补充定义f(x0)=limf(x)，就可以使f(x)的定义扩大到R上且处处连续.x—x0x3-8z2解(1)f(x)在x=2时无te义，而limf(x)=lim =lim(x+2x+4)=12，故x=2x—2 x—2x-2 x—2

f(x)为 f(x)为f(x)的可去间断点,令F(x)=』()12,x--2，则F(x)为f(x)在xwR上的延拓，且在x=2(-°0,收)上连续.f(x)在x=0时无定义，而limf(x)=li1-cosx2

x2sin而limf(x)=li1-cosx2

x2sin2-=lim-xp2一xsin2x21_c =—,所以x=0为该函数的可2f(x),去间断点.令f(x),去间断点.令F(x)--12,x=。，则F(x)为f(x)在XWR上的延拓,且在(,"上连⑶f(x)在x=0时无定义，一一 1一一 而limf(x)=limxcos-=0,所以x=0为该函数的可去间断点令F(x)'f(x),

0,TOC\o"1-5"\h\zX0 X0 xx；0令F(x)'f(x),

0,，则F(x)为f(x)在xwR上的延拓.x=0-2 . - -2 . _.证明:若f在点x0连续，则f与f也在点x0连续.又问：若f或f在I上连续，那么f在I上是否必连续？分析将|f(x)—f(x0)和f2(x)—f2(x0)与f(x)—f(x0)|的不等式关系找出，从而利用极限定义求证其连续，即运用极限理论讨论可得结论 .证明(1)因为f(x)在点x0连续，所以limf(x)=f(x0),则根据极限的君-6定义，对任给的x欢名>0,存在6A0,使得当x-xg<6时有f(x)-f(xg)<5.又因|f(x)-f(xq)|<|f(x)-f(xq),所以当x-xq<6时也有.所以af(x)=|f(xq)即可知f在点x0连续.(2)因f(x)在xq连续，即limf(x)=f(x0)，所以由函数极限的局部有界性知，存在x—xoM>0,^1>0使得当x—xo|<a时，有|f(x)—f(x0)|EM.取"=min{6e}，当x—Xg 时，有f2(x)-f2(xg)=|f(x)—f(%)-f(x)+f(%)f(x)-f(x0)V(x)—f(x0))<82M=2MW.

一…为有理数1, X为无理数所以f2在X一…为有理数1, X为无理数但是，当f或f2在I上连续时，f在I上不一定连续.例如f(x)=」f,f2为常数1,故处处连续，但f(x)却处处不连续.TOC\o"1-5"\h\z.设当x#0时，f(x)三g(x)，而f(0)0g(0).证明：f与g两者中至多有一个在 x=0连续.证明：反证法假设f(x)和g(x)都在x=0连续，即limf(x)=f(0),limg(x)=g(0)，又因x]0 x>0x#0时，f(x)三g(x)，所以limf(x)=limg(x)，从而有f(0)=g(0)，这与题设x_0 x_0f(0)#g(0)相矛盾.因此假设错误.f(x)与g(x)两者中至多有一个在x=0连续..设f为区间I上的单调函数.证明：若x°wI为f的间断点，则x0必是f的第一类间断与八、、.证明：设f(x)在I上递增，当x°WI且xO不是I的端点时，必存在x0的某邻域U(x0)UI,因f(x)在U_(x°)内递增且以f(x0)为上界，在U+(x0)内递增且以f(x0)为下界，据函数极限的单调有界原理知lim*f(x)与limf(x)都存在，从而x0是f(x)的第一类间断点.x及 Jx0-当x°WI且为I的左(右)端点时，f(x)在x0处的右(左)极限存在，所以x0仍为第一类间断与八、、..设函数f只有可去间断点，定义g(x)=limf(y).证明g为连续函数.y兴证明：设f的定义域为I,则对任意的x0wI，因为g(x0)=limf(y)，所以对任意的s>0,y-x)存在6A0,当ywu(x。，g时，有f(y)—g(x0)<&.对任意的x^U(x0,6)，因为g(x)=limf(y)，所以对同一名，存在“>0,使yxU(x,a)uU(x0,8),且对任意的ywu(x,6)时，有|f(y)—g(x)<名.从而有g(x)—g(x°)=g(x)—f(y)+f(y)—g(%)Wg(x)—f(y)+|f(y)—g(x0)<2'.从而得limg(x)=g(xO)，所以g(x)在点x0处连续.由x0的任意性知，g(x)在I上连续.X%.设f为R上的单调函数，定义g(x)=f(x+0).证明g在R上每一点都右连续.

证明：假定f为R上的单调函数对任意的X。wR,因f(xo+0)存在，即limj(x)=f(xo+0)，所以对任意的 s>0,存在JX0,0>0,当X。<X<X。+6时，有f(x)-f(x0+0)<3.取X,使X。<xex'<x0+6，有f(x)—f(x0+0)<£.又由f在R上的单调增加性有f(x0+0)-z<f(x0+0)<f(x)<f(x+0)<f(x)<f(x0+0)+w，即有g(x0)一w=f(x0+0)-z<f(x+0)=g(x)<f(x0+0)+w=g(x0)+8.由此可知，对一切xw(X0，X0+6)有g(x)一9仇)|<g.因此点X0是g的右连续点，再由x0在R上的任意性，推彳#g为R上的右连续函数..举出定义在［0,1］上分别符合下述要求的函数11一1 . …，，一一(1)只在一，一和一二点不连续的函数；TOC\o"1-5"\h\z2 3 41 1 1(2)只在一，‘和,二点连续的函数；2 3 41⑶只在一(n=1,2,3，…)上间断的函数；n(4)只在x=0右连续，而在其它点都不连续的函数1,2,解(1)f(X)=,C. 10-xC. 10-x：二一41. 1--x二一4 31 1--x：-3 21x<12(2)f(x)=(x/-"：),0,X为有理数X为无理数(3)f(x)=TJLsin一

xx(4)f(x)=x(4)f(x)=」0X为有理数X为无理数.2连续函数的性质.讨论复合函数f。g与g。f的连续性，设2⑴f(x)=sgnx,g(x)=1x；22)f(x)=sgnx,g(x)=(1-x)x.解⑴由于g(x)=1+x2>0,故(fog)(x)=f(g(x))=sgn(1+x2)三1,所以f*在所有点上都连续.2 1,2 1,又(g°f)(x)=g(f(x))=1十(sgnx)=」J,x=0x_0，且.(g。f)=2#(g。f)(0)，所以x=0为g°f的可去间断点，其余点均为g°f的连续点.1,x「1或0：x:：1(2)由于(f。g)(x)=Sgn(1—x2)x)=。0,x=0-1,1-1,-1<x<x<1且lim(f g)=1,lim (fg)=-1,lim (f g)=-1,lim(fg)=1,lim(f g)=1,x1- x1 x)0 - x0' x>1-limjf°g)=—1，所以(f°g)(x)在x=—1,0,1处有跳跃间断点，在其它点连续又(gf)(x)=[1-(sgnx)2]sgnx=0,所以gf处处连续..设f,g在点x0连续，证明:(1)若f(xo)Ag(x°),则存在U(Xo；6),使在其内有f(x)>g(x);(2)若在某U0(xo)内有f(x)>g(x)，则f(xo)之g(xo).证明(1)令F(x)=f(x)-g(x)，则F(xo)=f(xo)-g(xo)>0,又因为f,g在点xo连续，由定理4.4知F在点xo连续曲连续函数的局部保号性，对任何正数r<F(xo)，存在某U(xo)，使得对一切xWU(xo)，有F(x)ara0，即存在U(x0)，使得对一切xU(xo)，有F(x)uf(x)-g(x)0，即f(x)g(x).⑶由f(x),g(x)在点xo连续可知，有limf(x)=f(xo),limg(x)=g(xO)，又因为在xJxo x>xoU0(xo)内有f(x)>g(x)，则有极限保号不等式性有f(xo)=limf(x)_limg(x)=g(x0).X—X0 x囱.设f,g在区间I上连续.记F(x)=max{f(x),g(x)J,G(x)=min{f(x),g(x)打证明F和G也都在I上连续.证明：法一利用第一章总练习题 1的结论.因f(x),g(x)在I上连续,而F(x)=2[f(x)+g(x)+if(x)_G(x)]=2[f(x)+g(x)+m(x)_G(x)]2],是由f(x),g(x)经过加，减,乘运算及其募函数的复合运算所得 ，故F(x)也在I上连续.法二利用max和min的性质，由f,g的连续性推出F和G的连续性.对区间I上任意一点x0,f,g在点x0连续，则对任给8A0,存在正数61,62,使得当x-xo<61时，有f(x0)—W<f(x)<f(x0)+8，当 x—x0(邑时，有g(x0)-S<g(x)<g(x0)+凯取5=min{61,62},则有f(x0)-S<f(x)<f(Xo)十"g(xO)-w<g(x)<g(x0)+w同时成立.从而有max"(x),g(x)}<f(x0)+8且max"(x),g(x)》<g(x0)+s.即max{f(x),g(x)}<max{f(x0),g(x0)}+君.又有max"(x),g(x))>f(x0)—名且maxtf(x),g(x)}>g(x0)—6，即max。(x),g(x)bmax"(x0),g(x0)}一“综合以上得max{f(x0),g(x0)}—"maxy(x),g(x)}<max{f(x0),g(x0)}+w.由s的任意性得limmax"(x),g(x)}=max"(x0),g(x0)}.即limF(x)=F(x0).同理可证x及 x]XolimG(x)=G(x0).x叫0c-c,若f(x)<-c,.设f为R上连续函数，常数c>0.记F(x)={f(x),若f(x)<c,证明F在R上连续.、c, 若f(x)Ac.证明：令F(x)=max{—c,min{c,f(x)}},因常数c,f(x)都在R上连续，所以由3题结论知min{c,f(x))在R上连续，又因一c也在R上连续，再由3题结论知max{—c,min{c,f(x)}}在R上连续，即F在R上连续.

5.设5.设f(x)=sinx,g(x)=*x-二，x<0x+%x0.证明复合函数f©g在x=0连续，但g在x=0不连续.sin(x-n),x<0证明：因(f©g)(x)=」 所以lim(f*g)(x)=limsin(x-n)=0,sin(x+n),x>0,T— j0—lim^f°g)(x)=lim^in(x+n)=0.又(f°g)(0)=0,故f°g在x=0连续，但是1mg(x)=ym(x-n)=_冗，1m4g(x)=1m.x+n)=n，因盛g(x)/lim:g(x)，故g(x)在x=0不连续..设f在［a,")上连续，且limf(x)存在.证明：f在［a,")上有界，又问f在［a,y)上必x.有最大值或最小值吗？证明⑴由于limf(x)存在，设limf(x)=A,则根据极限定义，对6=1,存在M>a,x•二 x.使得当x>M时，有f(x)—A<1,从而f(x)|=f(x)-A+A<|f(x)-A+A<1+Ao又因为f(x)在［a,+*)上连续，从而在［a,M］上连续，根据闭区间上连续函数有界性知，存在Gi>0,使得对一切xw［a,M］,有f(x)EG,取G=max{Gi,1+|A},则对一切xw［a,+=c),恒有f(x)MG,故f(x)在［a,-)上有界。(2)虽然f(x)在［a,依)上连续且有界，但［a,~)不是闭区间，因此不能保证f在［a,+=c)1 1上一te有取大值或取小值。例如：f(x)=—在［1,+比)上连续，lim-=0/且f(x)在［1,+望)x x》二x上无最小值。.若对任何充分小的君>0,f在［a+s,b-町上连续，能否由此推出f在(a,b)内连续。解：可推出f(x)在(a,b)内连续。证明如下：任取小wg,b)令%=min{82且,2^°},则^>0,5 2-ax0a, ,b-x0 x0b且a+%Wa+ = <x0,b-^>b- = a% 。从而2 2 2 2%w［a+%,b—%］二(a,b),因f(x)在［a+%,b—%］上连续，所以f(x)在％连续。由小

的任意性，证得f(x)在(a,b)内连续。.求极限:/、，./ 、 /、，.x.12x-x2-1lim(冗-x)tanx；(2)hm1x牙 x1,解：(1)由于(兀—x)tanx为初等函数，点 在定义域内，从而函数在该点连续，于是有3lim(n—x)tanx=(冗-limx)limtanx=(n--)1=-n。x匚 x2x 4 4(2)该函数为初等函数(2)该函数为初等函数在x=1处右连续limx12x-xT=1121一12一17x1x1 11 2.证明：若f在［a,b］上连续，且对任何xw［a,b］,f(x)#0,则f在［a,b］上恒正或恒负。证明：反证法。若f在［a,b］上有正值也有负值，不妨设a<mcn<b,使f(m)<0,f(n)>0,因f(x)在［a,b］上连续，从而f(x)也在［m,n］上连续，且f(m)f(n)<0,由根的存在性定理，至少存在一点 ％w［m,n］,使得f(x0)=0,与题中条件矛盾，因此假设错误，故f(x)在［a,b］上恒正或恒负。.证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根。证明：设方程为： a0xn+a1xn，十…+a、x+an=0淇中n为奇数，�,不妨设a0A0,记f(x)=a0xn+a1xn,+…+an」x+an,limf(x)=limxn(a0+a1**+an［=+°°,/x->*I0xxJ由limf(x)=~，知任给M>0,存在N>0,当x>N时，f(x)>M>0。x■由Jim/(x)=Q，知任给M'M0，存在N'<0,当x<N'时，f(x)<M'<0。由上知，f(x)在［N'—1,N+1］上连续，且f(Nr-1)<0,f(N+1)>0,由根的存在性定理，至少存在一点％三(N1,N+1),使得f(x0)=0,故f(x)至少有一个实根。.一致连续的定义证明：若 f,g都在区间I上一致连续，则f+g也在I上一致连续。证明：因f,g在区间I上一致连续，则任给 WA0,存在61A0,62A0,使得对任意的x；xyI,只要x'_x"<61,就有f(x)-f(x)<€。当x'-x［<62,就有g(x)—g(x)<zo取6=min{孰,闻},那么又•任何x：x"wI,只要x'—x［<6,就有(f+g)(x)-(f+g)(x,)=|f(x)-f(x”)+g(x)-g(x*)引f(x)—f(x)|+|g(x)—g(x)|<2s。由定义，f(x)十g(x)在I上一致连续。.证明f(x)=Jx在［0,+力)上一致连续。证明：［0,二)=［0,1］［1,二)因为f(x)=Jx在闭区间［0,1］上连续，据一致连续性定理知， f(x)在［0,1］上一致连续。TOC\o"1-5"\h\zF吊 1rd由于x：x*w［1,y)时，有f(x)—f(x)|=后—乃=N-xJ_「xx1,所以对任1 vx'+qx" 2给的s>0,可取6=2名,只要x：x，w［1,收),且x'-x［<6,就有F Rx-x -f(x^-f(x*)|<——<6。由定义，f(x)在［1,y)上一致连续。综上，f(x)在［0,y)上一致连续。2.证明：f(x)=x在［a,b］上一致连续，但在(-0°,+比)上不一致连续。证明：先证f(x)=x2在［a,b］上一致连续，由于x：x"w［a,b］时，有f(x)-f(x)|=(x)2—(x)2=x'+x"x'—x［£(x'+x")x'—x1<2maxi,{b}x'—x”令c=2max{a,b},所以对任给的®>0,取6=-,当x：x"w［a,b］且x—x”<a时，c有f(x)—f(x)<3故f(x)在［a,b］上一致连续。再证f(x)在(-°0,")上不一致连续。/ 1 、取7=1,无论正数6多么小，存在x［=二,&=x〔+一满足：2

x1-x2<x1-x2<-<52/口2 2x1一x2=x1+x2］x1-x2-22=1+幺>1=%，所以f(x)=x在4(-°C,也)上不一致连续。.设函数f在区间I上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数L>0,使得对I上任意两点x：x“意两点x：x“都有f(x')—f(x)<Lx'_x1。证明f在I上一致连续。证明：对任名^的名>0,取6=［，当x：x”wI且x,-x］<6时，由利普希茨条件有f(x)-f(x)<Lxr-x］<L：=名。故f(x)在I上一致连续。f(x)-f(x).证明sinx在(㈤,收)上一致连续。证明：由于任意的x；x"W(_8,+oo)时恒有sinx'-sinx］=2FIW F »xsinx'-sinx］=2FIW F »x+x.x-x

cos sin x‘一x<2——2=x*-x所以对任给的名a0,取6=8,那么对一切x；x"W(-9+叼，6=8,那么对一切x；x"W(-9+叼，只要x'—x在(_Q0,y)上一致连续。16.设函数f满足第6题的条件。证明f在［a,收)上一致连续。sinx*-sinx!<®°故shx证明：因为Jim^f(x)存在，设Jim^f(x)=A,则对任意的0>O,存在M>0,当xaM时，有f(x)-A<z。又f(x)在［a,收)上连续，从而可得，有f(x)在［a,M］上一致连续。对任意的x：x"『M,Z),有f(x')-Ax：x"『M,Z),有f(x')-Af(x)-A<®o从而有f(x)-f(x)|=|f(x)—A+A-f(x")f(x')-A+|f(x〃)-A<2名。所以f(x)在［M,—)上一致连续。由例10的结论可知f(x)在［a,〜)上一致连续。17.设函数f在［0,2a］上连续，且f(0)=f(2a)。证明：存在点x°W［0,a］,使得f(x0)=f(x0+a)。证明：设F(x)=f(x)—f(x+a)。由于f(x)在［0,2a］上连续，所以f(x+a)在［0,a］上连续，于是F(x)在［0,a］上连续。又F(0)=f(0)—f(a),F(a)=f(a)—f(2a)=f(a)—f(0)。若f(0)=f(a),则取x0=0,a均可以。若f(0)#f(a)。则F(0)F(a)=f(0)—f(a),F(a)<0,由根的存在性定理，存在x°w(0,a),使得F(x0)=0,即f(x0)=f(xO+a)。综上，存在x°w［0,a］,使得f(x0)=f(x0+a)。.设f为［a,b］上的增函数，其值域为［f(a),f(b)］。证明f在［a,b］上连续。证明：反证法。假设f在［a,b］上某点x0不连续，则存在%>0,对任意的0>0,存在xwU(x。，)，使得f(x)—f(%)之7。又f为［a,b］上的增函数，则有f(a)Ef(x0)Ef(b)。［f(a),f(b)］是一个闭区间，由实数的稠密性，对上述.,存在6,当%<x+S时，有f(x)-f(M)</成立。由假设推出的结论与此矛盾，因此假设错误，原命题结论成立。即f在［a,b］上连续。.设f在［a,b］上连续，X,x2，…，xnw［a,b］。证明：存在占w［a,b］,使得f(D=l［f(xi)+f(x2)l+f(xn)］。n证明：设f(xjf(x2)，…，f(4)中的最大者为f(xs),最小者为f(~),则有1 1 1f(xt)Jnf(xt)"［f(xi)+f(x2)+…+f(xn)"nf(xs)=f(xs),n n n一1.n一、一1/ . 右f(xt)=—乙f(xi)或f(xs)=一乙f(xi),则取L=xt或xs均满足要求。ni1 niw1n若f(xt)<-Zf(xi)<f(xs)。对f(x)在以xt,xs为端点的区间上应用连续函数介值性nt1n定理知，存在"(xt,xs)u［a,b］使得f(句=一£f(x3ny20.证明f(x)=cosVx在［0,0)上一致连续。证明：[0,二)=[0,1][1,二)

由于f(x)=co点可看成函数f(u)=cOu与u=JX的复合，由定理4.5由于f(x)=cof(x)=cos/X在［0,1］上连续，据一致连续性定理，又知f(x)必在［0,1］上一致连续。当x1,x2W[1,-He)时,cos.x1-cos.x1-cos...x2=X1 X2 . \X1-，X22sin sin <2一X1-1x2sin XiXi-X2Xi-X22一,对任给的EA0,取2=2z,对任何X1,X2X1,X2W[1,y),只要X1-X2就有cosq'x1-COs%：X2<Xi-X2＜名。所以f(X)在［0,一)上一致连续。3.初等函数的连续性i.求下列极限:(1)limx_0_Xecosx5. 21xln(1-x)(2)7x[；(3)十Xlimx_0-11(4)XYX.X11(5)lim(1+sinxc°tx。X—0解：(1)因函数在x=0连续，故limX—0excosx521xln(1-x)=f(0)=e0cos0510ln(1-0)2)2)由初等函数的连续性,(limiJx,x，x-x=lim K* 1Ttof% XVx+(3)=xim?2、1.x11x=xim十了2..1.x2,10= =13 .10 .1-0xx23x23x2.10J -1o.10⑷后，x+HGmXT：x1 x->：-⑸四(1+sinxcotx=lim[11cosxsinxsinx.limcosx1x0sinxsinx2.设liman=a>0,

n)：：nlimbn=b。liman)二二n—j二二bnn证明：因limann、二故存在当n〉N时，有an〉0,从而limbnlimbnlnan二en.二blna二ebn bnlnanliman=limenj：：n n一j二二第五章导数和微分.导数的概念=1,0.1,0.01,求从t=4到t=4+At这一段时间内运动的平均速度及t=4时的瞬时速度。解：平均速度是差商概念。从t=4到t=4+At时间内，s=10(4t)5(4t)2-104-542=50t5t2

2；：s 50,t5,tv=2；：s 50,t5,tv=——△t=505.1分别令&=1,0.1,0.01,可得平均速度分别为 v=55,50.5,50.05。瞬时速度是导数的概念。v(4)=lim令=v(4)=lim令=lim△0：t △0s(4.4)-s(4)△t250「t5「t=lim =lim(50+5M)=50。』P：t tQ.等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。解：变速旋转的角速度包括平均角速度与瞬时角速度。一，，衿一、/一，人，一 , ,、，，一，，衿一、 (t-：t)-1(t)A0=l平均角速度是差商概念，则时刻t至Ut十At时间内的平均角速度为——=-( )一A0=l6(t+的-8⑴=㈣g。通常所说变速旋转的角速度多指瞬时角速度。dt△tdt.设f(x0)=0,f'(%)=4,试求极限limf(x0+Ax)二JO x解：依导数定义,f(X0x)f(X0f(X0x)f(X0.x)-0=limLJ0f(X0 ：x)-f(x0)—f(x0)=4。f_(3)-lim-x)3-f_(3)-lim-x)3-f(x)-f(3)axb-9 二lim x—3x—3-x-33ab-9=lim(a )=6,x—3- x-3x, x>3, 一4.设f(x)=«试确定a,b的值，使f4.设f(x)=«ax+b,x<3,又可导必连续，从而fM3)=limd2=9,f_(3)=lim[ax+b]=3a+b=9,由于x3 x>3-...3a b-9... 一…一一一一3a+b=9,故lim(a+ )=lima=a=6,从而b=9-3x6=-9°x—3- x-3x>3-综上，a=6,b=-9。5.试确定曲线y=lnx上哪些点的切线平行于下列直线:(1)y=x—1;(2)y=2x—3。.一， . 一， 1解：曲线y=lnx在点(x,y)处切线的斜率为y=—。x(1)… ，，…，，一1-直线y=x—1的斜率为1,从而—=1得x=1,xy=lnx,得y=0,所以曲线上(1,0)处的切线平行于直线y=x-1。… ，，…， 1 . 1(2) 直线y=2x—3的斜率为2,从而—=2得x=—,彳x 2.〜所以曲线y=lnx上(-,-ln2)处切线平行于直线y6.求下列曲线在指定点P的切线方程与法线方程：2x _(1)y=一,P(2,1)；⑵y=cosx,P(0,1)。4、y=Inx得y=—ln2,2x-3o.x,解：(1)y，=5，y，xs=1,故切线方程为y_1=x—2,即yx-1；法线斜率为-1,故法线方成为y-1=-(x-2),即y=-x+3。(2)y'=—sinx,y'xm=0,故切线方程为y=1,即y=x—17.求下列函数的导函数：3 'x+1,x之0(1)f(x)=x;(2)f(x)=」1,x<03x,x>0解：(1)f(x)={0,x=0-x3,x<0当xA0时，f(x)=3x2；当x<0时，f(x)=-3x2；,法线方成为x=0。当x=0时，fK0)3x一0二lim x—0x-03

-xf0.=0,f_(0)=lim =0，x-0-x-0所以「(0)=0。故f(x)=<3x2,-3x2,x-0x:0(2)当x>0时，f'(x)=1;当xM0时，f'(x)=0,f;(0)*匚f;(0)*匚(0),所以当x=0时，f；(0)=l1ml =1,f'(0)=lim——=0,因x—0 x-0 - x—0-x—0f(x)在x=01,：0不可导，故f(x)=」不存在,：00,x8.设函数f(x)=.1

sin—,

x0,00(m为正整数)，试问:二0(1)m等于何值时,f在x=0连续;(2)m等于何值时,f在x=0可导;(3)m等于何值时,「在x=0连续。解：(1)解：(1)当m>0时,f(x)在x>0连1c…sin—=0=f(0).因此，对一切正整数x⑵limf(x)-f(0)x0x—0m1cxsin——0.lim x——二limx—0 x x0当m-1>0即ma1时,1 _ . .limxsin—=0;当m=1时,J° xlimxx0m-1.1sin—x=limsin1不存x0x在，故正整数m22时,f(x)在x=0可导且f'(0)=0。(3)由(2)知，当m之2时,f(x)=一m4 1mxsin--xxQ1cos-,xf(x)=lxm^mxm4 1sin--xxm-21

cos-卜x当m〉2时，㈣fixxlxm01mxmm-2数m之3时，f'(x)在x=0连续。10.求下列函数的文定点：f(x)=sinx-cosx；(2)f(x)=x-lnx。解：(1)f(x)=cosx+sinx=V2sin(x十二)=0,则x十工=kn,kwZ4 4故x=kn—U,kwZ是原函数f(x)的文定点。4，、. 1cf,(x)=1——=0,故x=1是函数f(x)的文定点。x10.设函数f在点x0存在左右导数，试证f在点x0连续。, f(x0 lx)-f(x0)证明：因为f在点％存在右导数，依定义有Jim+ - 存在，即lim-.x—0■f(x0 x)-f(x°)=lim-.x—0■f(x0 x)-f(x°)=f^%),所以lim-

.x—0■f(x0 x)-f(x0)lx=limf(x0-x)-f(x0)1.x—0■=lim-

.xj0■f(x0 x)-f(x0)lim.ix=G(x0)0=0。.x—0■同理，根据f(x)在x0左可导有JlimAy=0,所以⑥Ay=0,即f(x)在小连续。11.设g(0)g'(0)=0,f(x)二g(x)sin；，0,求f(0)。1g(x)=limsin-卫上

x—0 xxf(x).1g(x)=limsin-卫上

x—0 xxTOC\o"1-5"\h\z解：f(0)=lim—— -=lim xx-0 x-0x—px1g(x)-g(0) 1g(x)-g(0) 1 1、=limsin— =limsin-lim =limsin-g(0)=limsin-0x0xx-0x)0 xx)0 x_0x0x x)0 x• 1cclimsin—0=0。• 1cclimsin—0=0。xQx而sin-<1有界，故得到f(0)x12.设f是定义在R上的函数，且对任何Xi,X2wR,都有f(x[+x2)=f(x1)f(X2)o若f'(0)=1,证明对任何x亡R,都有f'(x)=f(x)。

证明：由f(x1+x2)=f(x1)f(x2)可得f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),从而f(x)=0或f(0)=1.若f(x)三0,则f(x)三0与已知f'(0)=1矛盾，故f(0)=1成立.对任何x R,有f(x);lf(x);lxmof(xlx)—f(x)f(x二x)-f(x),f(.x)-1 ,V,f(.x)-1 ,Vhmof(x)——.f(x)llmof(x)-f(0)=f(x)f(0=f(x)即对任何xR,有f(x)=f(x).13.证明：若f(xo)存在，则f(%：：/x)ff(x0T：x)=2f(x13.证明：若f(xo)存在，则f(%：：/x)ff(x0T：x)=2f(xo).证明：lxmof(xox)-f(xo-x)f(xox)-f(xo) f(xo)-f(xo-x):limf(xo」x)-f(xo).limx—：o _x -xof(xo-x)-f(xo)f(xo x)-f(xo)limf(“一⑻一.%>o -7\xf(xo)=lim.jof(xo x)-f(xo)f(xo-x)-f(xo)lxlx=f(xo)f(xo)=2f(%)..证明：若函数f在［a,b］上连续且f(a)=f(b)=K,fi(a)f：(a)>o,则在［a,b］内至少有一点。使f伐)=K.证明：由于f.J(a)C(a)>o,不妨设f*a)>o，匚(a)>o,即limf(x)-即limf(x)-f⑻-lim-xja x-ax阳x-ax-bf(x)-K八o.x-bf(x)-Kf(x)-K八——>o,从而x-a根据极限保号性 ，分别存在61A。,62a。，使得xW(a,a+61)时,f(x)>K；当xw(b—g,b)时，f(x)—K>0,从而f(x)<K.x-b取x〔w(a,a+“),x2w(b一为加)，则有f(x［)>K>“x?)，因f(x)在［xhx2］上连续，由介值定理知至少存在一点 ［x1,x2］ ［a,b］,使f()=K.

.设有一吊桥，其铁链成抛物线型，两端系于相距100m高度相同的支柱上，铁链之最低点在悬点下10m处，求铁链与支柱所成之角.x2解:建立坐标系.悬点坐标为A(50,10),B(—50,10).铁链方程为y=/一.250TOC\o"1-5"\h\z一,x 2 2因为y「=—,y[=一,所以铁链在A处的切线倾角a=arctan—,铁链在A处与支柱的125x-0 5 52夹角为二——arctan—.2 5 316.在曲线y=x上取一点P,过P的切线与该曲线交于Q,证明：曲线在Q处的切线斜率正好是在P处切线斜率的四倍.解:设P点坐标为(XoX3),则曲线y=x3在P的导数为y'xi=3x2 =3x2，即过P的切x xx^0 x-Xo线斜率为3x2，该切线方程为y-x；=3x2(x-Xo)，将此方程与y=x3联立3 3 24y-x0=3Xo(X-xo)求得交点q的坐标为(_2x0,_8x3).y=x曲线y=x3在Q点的导数为y' =3x2 o=12x；,即过Q点的切线斜率为x=2x0 x=_2x012x2=43x2，故曲线在Q处的切线斜率正好是在P处切线斜率的四倍.2.求导法则.求下列函数在指定点的导数：设f(x)=3x4+2x3+5,求f'(0),f'(1)；x .⑵设f(x)=——,f'(0),f'(n)；cosx设f(x)=J1十△,求f'(0),f⑴f'(4)。解：由导数的定义知，函数 f(x)在点％处的导数与f(x)的导函数f'(x)在点x0处的值相等，即f(Xo)=f'(x)|x.°,故此题可先求出导函数 f'(x),再得出指定点的导数。依据多项式求导法则，知 f'(x)=12x3+6x2,于是f'(0)=f'(x)|=12.03+6义02=0。f'⑴=f'(x)xm=12父13+6父12=18。1cosx-x(-sinx)cosxxsinx由除法求导法则，知f(X)= 乙= 2 cosx cosxcos.sin二cos.sin二2—cos故f(0)=f(x)x=o= 2T =1，f0)=f(x)cos0(3)当XA0时，f(x)=f⑴=f(x)4f⑴=f(x)4、1 1,1 421f⑷-42「31=十，8,.3由于f(x)的定义域为x>0,所以在x=0处只能讨论右导数,f：(0)=f：(0)=lim-x旷=limx-0-=limx_02.求下列函数的导数:(1)1 x2(1)1 x22 1-xy=3x+2;⑵y= 2；(3)1xxn xm 2y=x+nx;(4)y=—十—+24x+^=mx x(5)xy=ecosx；(7)(5)xy=ecosx；(7)2 3 tanxy=(x+1)(3x—1)(1—x)；(8)y=——；x(9)xy二 (9)xy二 ；(10)1-cosx1Inxy= ；(11)y1-lnx=(Q+1)arctanx；(⑵y=——1~~x 。sinxcosx解：(1)y『=6x。(-2x)(1xx2)(-2x)(1xx2)-(1-x2)(12x)

(1xx2)2-2x-2x2-2x3-1-2xx22x3(1x x2)214xx2(1xx2)2y'=nxn，+14xx2(1xx2)2y'=nxn，+n=n(xn，+1)。1mc1 1 1、 1y 22x2(一2)x,x1y=3x2log3xx3---二3x2log3x

xln32

xoln3y'=(ex)'cosx+ex(cosx)'=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx)o20 o . o o o.32323L)y=(x+1)(3x—1)(1一x)十(x十1)(3x—1)(1—x)十(x+1)(3x—1)(1—x)3 2 3 2 2=2x(3x—1)(1-x)(x1)3(1—x)(x1)(3x-1)(-3x)=-18x5+5x4-12x3+12x2-2x+3o⑼y'=x(1-cosx)-x(1-cosx)1⑼y'=x(1-cosx)-x(1-cosx)1-cosx-xsinx1-cosx-xsinx2(1-cosx)2(1-cosx)2(1-cosx)2 ,⑻y'=⑻y'=TOC\o"1-5"\h\z1〃， 、 1〃 ，、(1-Inx)-(1 Inx)2x(1-Inx)2x(1-Inx)(1-Inx)2(1-Inx)2一^ — . 1 — 1y=(.x1)arctanx(.x1)(arctanx) arctanx(、x1) 2°2.x 1x(1x2(1x2)(sinxcosx)-(1 x2)(sinxcosx)2- 、2x(sinxcosx)-(1x)(cosx-sinx)3.求下列函数的导函数:/3.求下列函数的导函数:/・ 、2(sinxcosx)/・ 、2(sinxcosx)(1). 2=xY1-x;(2),2 .、3y=(x—1)；(3)J-xy=(1). 2=xY1-x;(2),2 .、3y=(x—1)；(3)J-xy=ln(lnx)；=ln(sinx);(6)y=lg(x2+x+1)；⑺y=ln(x+v'1+x2)；=lnv1+x+M’1-x',、 ，. 、3 , 、 3,y=(sinx+cosx)；(10)y=cos4x；(11)y=sinV1+x2(11)y=sinV1+x2；(12).23 1 ... . 32y=(sinx)；(13)y=arcsin—；(14)y=(arctanx)；

x(15)1x=arccot ；(16)1-xy=arcsin(sin(15)1x=arccot ；(16)1-xy=arcsin(sin2x)；(17)y=ex+；(18)y=2sinx；(19)sinx x=x；(20)y=x；(21)-x_y=esin2x；(22)(23)=sin(sin(sinx))；(24)y=sin(23)=sin(sin(sinx))；(24)y=sin./x、sin(^)sinx)(25)=(x—a1产(25)=(x—a1产(x—a2)"…(x—a。产；(26)y=.a2-b2.asinxbarcsin 。absinx解：（1）TOC\o"1-5"\h\z2、 2 2 2x (1-x)-x1-2x1-x (-2x)=、 ) =2J-x2 -1-x2 .1-x22 2.2 2 2 2 2(2)y=3(x-1)(x-1)=3(x-1)2x=6x(x-1)。'22x(1—x)—(―1)(1+x2'22x(1—x)—(―1)(1+x2)x(3)y，=3(1-x)21+x2,212x-x1+x2,212x-x2 3(1x2)2(12x-x2)(1-x)2(1-x)4(4)(5)Inx11(Inx)'= 。xlnxsinx(sinx)(4)(5)Inx11(Inx)'= 。xlnxsinx(sinx)'=cosx=cotx。

sinx(6)(x2x1)In102 .(xx1)=2x1(x2x1)In10(x1x2)x<1x(x1x2)x<1x2 x\1 x21+三2I2V1+x2)x%1 x2(8)(8)y=ln1*y=ln1*1一x=ln1x1-x.1xX1-x1x—、1—x_1n(1+x)+(1-x)-2,1-x2

(1x)-(1-x)/ / 2,1T:1一x二ln 2.1-x2(_2.1-x2(_2x)x_(1-1-x)x1-,1-x22x 2 -1v1f1-x2 2xx2-.1-x2 (1-x2)二1x(1-1-x2),1-x2x.1-x22 2 .2y=3(sinxcosx)(cosx-sinx)=3(sinxcosx)(cosx-sinx)=3(sinxcosx)cos2xy'=3cos24x(-sin4x)4=—12cos24xsin4x=—6cos4xsin8x。22 1 xcos1xy=cos、1+x—2x= ——。2dx2 lx2

2.2 2 2.2 2y=3(sinx)cosx.2x=6x(sinx)cosx。(14)3, -21 26x3~23x= 61(x3)2 1x6y=2arctanx, 32.2 2 2.2 2y=3(sinx)cosx.2x=6x(sinx)cosx。(14)3, -21 26x3~23x= 61(x3)2 1x6y=2arctanx, 3arctanx。(⑸y「1(i-'+x)13 ^x)1-x-2 -12 2= 2(1-x)2(1x)2 1x21c. sin2xy 2sinxcosx= 1-sin4x 1-sin4xy'=ex*(x+1)'=ex'。y=2sinxIn2cosx=(ln2)2sinxcosx。(19)用对数求导法：lny=sinxlnx,两边关于x求导，得—=cosxlnx+sinx,整理得y'=xsinx(cosxlnx+snx)。y x x(20)用对数求导法：lny=xxinx,再两边取对数，得ln(lny)=ln(xxlnx)=ln(lnx)+xlnx,两边求导，得1lny,_y =y11, 1———+lnx+x-,lnxx整理后得y二xsinx(cosxlnxsin-x)二xxxx. , 1 .八xlnx( lnx1)xlnxxx二x(-ln2x

x+lnx)。⑵)=e-(-1)sin2x2e*cos2x=e、(2cos2x-sin2x)。4xxx2x1. L：厂-2xJ8xxxrx-xxy'=cos(sin(sinx))cos(sinx)cosx。./x、 /x、sinx-xcosxsin( )-xcos( ) 2 (24)y'=cos (24)y'=cos ./x

sin(-一)<sinxJ,2Xsin()

sinx(25)用对数求导法：Iny=0(1ln(x-a1)+o(21n(x-a2)+…+o(nln(x-an)两边求导,丫=二十上…上品q,yx-aix-a2x-ank』x-akn一 n n整理后得，y=y、—=:(x—a)k'k4x-ak除二 Jkx-ak(26)y'= 「 v'M(26)y'= 「 v'M-b*2 i「asinx+b、 、a+bsinxjacosx(absinx)一bcosx(asinxb)， ・ ・ 、2(absinx)2 21 1 (a-b)cosxa ,. 2 _. 2解：(1)f(x)=3x,由此得f(x+1)=3(x+1),f(x-1)=3(x-1)。(2)由题知，f(x)=(x—1)3。于是f'(x)=3(x—1)2, ,. 2 _. 2解：(1)f(x)=3x,由此得f(x+1)=3(x+1),f(x-1)=3(x-1)。(2)由题知，f(x)=(x—1)3。于是f'(x)=3(x—1)2,从而f'(x+1)=3x2,f'(x-1)=3(x-2)2o(3)由题知，f(x)=(x+1)3,于是f'(x)=3(x+1)2,从而f'(x+1)=3(x+2)2,f'(x-1)=3x2。5.已知g为可导函数，a为实数，试求下列函数 f的导数：1 cosx1

(2)f，(x)=gF(x+g(x)).(x+g(x))=g，(x+g(x))，(1+g'(x))。(3)广(x)=g〈xg(a))(x，g(a)r=g〈x，g(a))，g(a)。⑷f\x)=g\xg(x))(xg(x)Y=g〈xg(x))(g(x)+xgH(x))o . d..2.d.2一..设f为可导函数，证明：若x=1时有一f(x)=—f(x)。则必有f⑴=0或f(1)=1。dxdx证明：由复合函数求导法则，有 9f(x2)=f'(x2)2x；9f2(x)=2f(x)f(x)。TOC\o"1-5"\h\zdx dx当x=1时，等式化为f'(1)，2=2f(1)，f'(1)。即2f'(1)[f(1)—1]=0,故有f'(1)=0或f(1)=1。x -x x _xe-e e e.定义双曲函数如下：双曲正弦函数 shx= ；双曲余弦函数chx= ；双曲2 2chxoshxchxoshx正切函数thx=——；双曲余切函数cothx=chx证明:1 .证明:.2°shx(shx)=chx；(2)(chx)=shx；(3)(thx)=-2-；(4)(cothx)=—.2°shx证明:(shx)'=Jx_x、e-e2 」x -xee-= =chx。2证明:(shx)'=Jx_x、e-e2 」x -xee-= =chx。2(chx)Jx. -x、e+e2、x _xe-e」 =shx。2(thx)二shx(shx)chx-shx〈chx)~— =n =chxchx,2 ,2chx-shxZ2

chx(chxshx)(chx-shx),2

chxx -xee1o=Z°chx chx(4)chx("(chx)shx-chx(shx)sh2chx("(chx)shx-chx(shx)sh2x,2 ,2shx-chxsh2x(shxchx)(shx-chx)sh2xTOC\o"1-5"\h\zx x、e (—e) -1,2 ,2shxshx.求下列函数的导数:(1)y=sh3x；⑵(1)y=sh3x；⑵y=ch(shx);(3)y=ln(chx)；(4)y=arctan(thx)。解：(1)y『=3sh2xchx。(2)y'=ch(shx)，(shx)'=sh(shx)chx。(2)chx1(chx)=1一shx—shx= =thxchx1(chx)=1一shx—shx= =thx。chx1th2x(thx)=chx1 1. ..2 ',2 — ,2 ,2 °1thxchxchxshx9.以sh,x,ch°x,th」x,coth」x分别表示各双曲函数的反函数。试求下列函数的导数:(1)1 1 1(1)y=shx；(2)y=chx；(3)y=thx；(4)y=cothx；(5)y=thx-coth—；x(6)y=sh(6)y=sh」(tanx)。1(1)y'= 1(1)y'= sh(y)1、chych(shx)2 ・2，而chx—shx=1,故当sh卢x时，ch卢-1x2工曰 1，于无y： 2y二ch」xy=ch」x(chy)shy...x2-1y=ch卢-1x2工曰 1，于无y： 2y二ch」xy=ch」x(chy)shy...x2-1y=coth1x—1—.=-sh2y二(cothy),2

shy,2 ,2 2一, 2chy-shy1-cothy1-x(x>1)oy二th」x,Icothx1-x21Jy1x2( ()-^ 2d2(I)2_1x1-x1-xx1=0。x(6)1y二 tan2xsec2x=sec3.参变量函数的与数.求下列由参量方程所确定的导数 包：dxJ' 4, 一x=cost,…cR7.在t=0,一处;、y=sint, 211t在…。1t’解：（1）3, ,dydydx4sintcostdxdtdt， 3，解：（1）3, ,dydydx4sintcostdxdtdt， 3，,，-4costsint-tan2tdy，dxt=0,2-=—tan0=0,dydx,2dydx,2二--tan一2=—coo⑵祟(i-t)(it)-(i-t)(ity-1-t-1t-22(1t)⑵祟(i-t)(it)-(i-t)(ity-1-t-1t-22(1t)2(1t)2(1t)dxt(1t)-t(1t)1t-tdt2(1t)2(1t)21(1t)故包dxdydx

= =2dtdt(1t)2(1t)=—2o解:dx'x=a(t-dt2(1t)2(1t)21(1t)故包dxdydx

= =2dtdt(1t)2(1t)=—2o解:dx'x=a(t-sint)，求dyy=a(1-cost).dy

dxdydydxt』dx

"2dydx_/[a(1-cost)]dtdtd而[a(t-sint)]jisin一2「11—0t-7：asintsinta(1-cost)1-costdy

dxsin二t二兀1-cos^ 1-(-1) . 2 23. . 2 23.设曲线方程x=1—t,y=t-t求它在下列点处的切线方程与法线方程:.2(1)t=1；(2)t=——。21-2tdxdtdtdy

dx1-2tdxdtdtdy

dxy-2^1 2当t=1时对应于曲线上点(0,0)当t=1时对应于曲线上点(0,0)， 1 , 〜 1所以切线万程为： y-0=-(x-0),即y=-x,法线方程为y—0=—2(x—0),即y=-2x。(2)dydxt士(2)dydxt士-22--12_ .22——2,2-1x2二1一二,

2当t=22时对应于曲线上点(1,}!二1),故切线方程为y_}l」=2iX」(x_2)，即2 2 2 2 ^2 23 .2—1 ..2 12y-(1一J2)x=-w2-2。法线方程为y =——^=—(x——),即2 2.2-122x+(2-<12)y=3^2-1。.证明曲线/一a(cost+tsint),上任一点的法线到原点距离等于aoy=a(sint-tcost).解：在曲线上任取一点 P(x0,y0)=(x(t0),y(t0))。因dy dydx a(cost-costtsint)dx dt dt a(-sintsinttcost)sint一日dy =tantdy dydx a(cost-costtsint)dx dt dt a(-sintsinttcost)sint一日dy =tant,于是—cost dxOW0)dydx*二tanto,法线斜率为-cott0所以过P(xo,yo)的法线方程为y-a(sint070cost0)=-cott0[x-a(cost0 t0sint0)]cost。0+sint00-acost0x+sinto了-a=0.原点(0,0)到该直线的距离 d= / 2 —鼻——=a,cos210 sin2t0与t0无关..证明：圆r=2asin6(a>0)上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角 ^证明：设圆上一点的切线与向径的夹角为中，据本节(5)式有ta%=^^=2asi4=ta%,而邛与日取值在［0,兀］范围内，在此区间内tanx为等：⑺2aco^s值函数( 对应)，故有邛=8,即圆上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角 ..求心形线r=a(1+cos日)的切线与切点向径之间的夹角.解：设所求夹角为中，则tan中=黑)~-a(1+cosf)=-1+cos6，用万能公式：(1) -asin^sin^cosi=1-tan2三2,sini=…82tan—2… 21tan一一2)1tan一2, 2。1-tan一2代入上式得tan;=-, 2口1tan一2e2tan一代入上式得tan;=-, 2口1tan一2e2tan一2/ 2口1tan一e=-cot—2=tane+n当0EO<ji时，中=—-—;当冗£日<2冗时，呼=0+n JT20-314.高阶导数1.求下列函数在指定点的高阶导数:f(x)=3x3+4x2-5x-9,求1(1),L⑴,f(4)(1);f(x)=」1x2，求f(0),f(1),f(-1).f71)=18x1+8=26,f*'(x)=18,⑵f'(x)=x.1x2-x1xf71)=18x1+8=26,f*'(x)=18,⑵f'(x)=x.1x2-x1x221x2-x1x21x21x2解：(1)f(x)=9x2+8x-5,f*(x)=18x+8,f71)=18,f(4)(x)=0,f(4)(1)=0。f(0)=f(x)x6=0,f⑴=f(x)x=1112f(一1)=f(x)x=4=-3(-1)1(-1)「22.设函数f在点x=1处阶可导，证明：若f'⑴=0,f"(0)=0,则在x=1处有d2、dxf(x)=d2dx2f2(x)。证明：△"Ex2TOC\o"1-5"\h\z—f2(x)l-2f(x)f(x),^f2(x)=—2f(x)f(x)l-2lf(x)]22f(x)f(x),dx dx dxd2dxf(x)再由条件fd2dxf(x)二21f(1)F2f(1)f(1)=0,x4=「(12)2x1=2«)=二21f(1)F2f(1)f(1)=0,x4xm dx故当x=1时，-d-f(x2)=Jf2(x)。dx dx下列函数的高阶导数：…2⑴f(x)=xlnx,求f"(x)；(2)f(x)=e，求f”);(3)f(x)=ln(1+x)，求f(x);f(x)=x3ex,求f(10)(x).1 ，，… 1斛1 ，，… 1斛：(1)f(x)=lnx+x,一=1+lnx,故f(x)