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向量代数与空间解析几何初步(第一部分)一、空间直角坐标系及向量代数1.空间直角坐标系,符合右手规则。2.空间两点间的距离点M1(x1,y1z1),M2(x2y2z2)间的距离d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)23.向量及向量的表示法拥有大小和方向的量称为向量,向量的大小或长度称为向量的模。(1)在空间直角坐标系中,按基本向量的分解式可表为aa1ia2ja3kM1M2(x2x1)i(y2y1)j(z2z1)k模aa12a22a32M1M2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2此中(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)分别是向量M1M2起点和终点(2)在空间直角坐标系中,向量的坐标表示为a(a1,a2,a3)M1M2(x2x1,y2y1,z2z1)(3)向量a的方向余弦为cosa1,cosa2,cosra3aaa4.向量的运算(1)两向量相等abaibi(i1,2,3)(2)向量的加(减)运算ab(a1b1,a2b2,a3b3)(3)数乘向量(a1,a2,a3)4)向量的数目积(a称内积,点积)a.babcosa,baba1b1a2b2a3b3abab0(5)向量的向量积(又称外积、叉积)ababsina,bab垂直于a,b,a,b,ab按右手规.则ijkaba1a2a3b1b2b3a//bab0二、平面与直线1.平面的几种形式(1)平面点法式方程若已知平面上一点M0(x0,y0,z0)和它的一个法向量n(,,),则该平面方ABC程为A(xx0)B(yy0)c(zz0)0(2)平面的一般式方程AxByCzD0,它的法线向量为n(A,B,C)(3)平面的截距式方程xyzabc
1a,b,c分别是平面在x,y,z轴上的截距.(4)平面的三点式方程xx1yy1zz1x2x1y2y1z2z10x3x1y3y1z3z1(5)平面的法线式方程2.两平面的夹角及两平面垂直、平行的条件1)两平面的夹角。两平面的法向量为n1,n2则两平面A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD2夹角的余弦0n1n20cosn1n22n1//n2A1B1C1A2B2C2n1n2A1A2B1B2C1C203.点到平面的距离平面AxByCzD0外一点P0(x0,y0,z0)到该平面的距离为d
Ax0By0Cz0DA2B2C24.直线方程的几种形式(1)标准方程(点向式方程)xx0yy0zz0abc(2)直线参数式方程xx0atyy0btt为参数zz0ct(3)直线的一般方程A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20(4)直线的两点式方程xx1yy1zz1x2x1y2y1z2z15.点到直线的距离。直线外一点M1(x1,y1,z1)到直线xx0yy0zz0的距离为abcdM0M1l,此中l(a,b,c)为直线的
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