弧度制课件-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

任意角和弧度制环节二弧度制创设情境问题1我们知道，度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，你还知道哪些量有不同的度量制？举例说明．你认为度量同一种量为什么存在不同的单位制？答案：比如，度量重量可以用千克、斤、磅等不同的单位制，度量体积可以用立方米、升等不同的单位制．不同的单位制能给解决问题带来方便．新知探究1．引入弧度制的必要性问题2目前我们是用角度制度量角，它是六十进制，用它表示角有什么不方便之处呢？答案：（教师讲解）第一，为了三角函数定义的需要．我们知道，函数是两个实数集之间的对应关系，实数采用的的进位制是十进制．为了研究周期性变化规律，我们需要建立任意角三角函数．若沿用锐角三角函数定义，角的度量采用六十进制的角度制，则与函数定义的要求不符．因此，我们需要引入新的度量制，它必须是十进制，它的单位应与实数的单位一致，从而使三角函数的自变量和函数值都是实数．新知探究1．引入弧度制的必要性第二，如果三角函数的自变量和函数值的度量单位不统一，会给后续的研究带来很多麻烦．比如，在解决实际问题中，有时需要同时应用几类不同类型的函数，有时需要自变量的值和函数值的运算，比如f(x)=xsinx，如果只有角度制，解释xsinx的意义就比较复杂了．新知探究2．引入弧度制问题3度量角除了角度制，在数学和其他学科研究中经常采用另一种度量角的单位制——弧度制，那么它是如何度量角的呢？

追问1如图，射线OA绕端点O旋转到OB形成角α．在旋转过程中，射线OA上的点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α．设α=n°，OP=r，点P所形成的圆弧的长为l．回忆初中所学知识，弧长l如何用圆心角α来表示？答案：

．新知探究2．引入弧度制答案：

；圆心角α所对的弧长与半径的比值，与半径的大小无关，只与α的大小有关，也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定．因此可以利用圆的弧长和半径的比值度量圆心角．追问2

如图，在射线OA上任取一点Q（不同于点O和P），OQ=r1．在旋转过程中，点Q所形成的的圆弧

的长为l1，那么l1与r1的比值是多少？你能得出什么结论？新知探究追问3

结合上面的探索过程，阅读教科书，请你试着说一说什么是1弧度的角？答案：我们规定：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．2．引入弧度制新知探究追问4

（1）我们把半径为1的圆叫做单位圆．既然角的大小与半径无关，那么在单位圆中如何确定1rad的角呢？2．引入弧度制答案：单位圆中长度为1的弧所对的圆心角就是1rad（如图）；在半径为r的圆中

；类比角度制，α的弧度数正负由角α的终边的旋转方向决定．（2）在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角α的弧度数是多少？（3）角有正、负、零角之分，它的弧度数呢？新知探究2．引入弧度制追问5

请你说说弧度制与角度制有哪些不同点和相同点？答案：第一，弧度制以线段长度来度量角，角度制是“以角量角”；第二，弧度制是十进制，角度制是六十进制；

第四，无论是弧度制还是角度制，角的大小都是一个与半径大小无关的定值，等等．第三，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1°的角是周角的

；新知探究3．角度制与弧度制的换算问题4

既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么，它们之间应该可以换算，如何换算呢？你认为在换算的过程中最为关键的是什么？答案：关键是找到联系两种度量制的桥梁：360°=2πrad，即180°=πrad，然后将其单位化，即

，

．新知探究例1

按照下列要求，把67°30′化成弧度：（1）精确值；（2）精确到0.001的近似值．3．角度制与弧度制的换算解：（1）因为67°30′=

，所以67°30′=

．因此，67°30′≈1.178rad．1.178097245．（2）利用计算器有新知探究3．角度制与弧度制的换算例2

将3.14rad换算成角度（用度数表示）：（1）精确值；（2）精确到0.001的近似值．解：（1）因为3.14rad=

．（2）利用计算器有179.9087477．因此，3.14rad≈179.909°．新知探究追问如何完成角度与弧度之间的互化？3．角度制与弧度制的换算答案：角度转化弧度时，需要把含分或秒的角度统一为度的单位，然后再利用换算公式

将其化为弧度；弧度转化角度时，直接利用换算公式

将其化为角度．也可用计算器完成弧度制与角度制换算的近似值．新知探究3．角度制与弧度制的换算练习填写特殊角的角度数与弧度数的对应表．度0°30°45°

120°135°150°

360°弧度

π

02π270°180°90°60°新知探究追问角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立了怎样的对应关系？3．角度制与弧度制的换算答案：角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系．新知探究3．角度制与弧度制的换算例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式：（1）l=αR；（2）S=

αR2；（3）S=

lR．其中R是圆的半径，α（0<α<π）为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．（2）由于半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是

，

，

将n°转换为弧度，得

，于是S=

αR2．将l=αR代入上式，即得S=

lR．证明：（1）由公式|α|=

可得l=αR．归纳小结问题5（1）本节课我们学习了用弧度制度量角，你能说说为什么要引入弧度制，为什么这样定义弧度制是合理的？归纳总结（2）如何完成弧度制和角度制的互化？在度量角的时候需要注意哪些问题？（3）在弧度制下，扇形的弧长公式和面积公式分别是什么？通过与角度制下的公式对比，你发现弧度制度量角有什么好处？为什么会出现这种情况？（4）你能画一个知识结构图来反映本单元的研究内容与路径吗？归纳小结归纳总结答案：（1）第一，为了三角函数定义的需要．第二，为了将三角函数的自变量和函数值的度量单位统一，给后续的研究带来方便．圆心角α所对的弧长与半径的比值随α的确定而唯一确定，因此，利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角的是合理的；（2）利用角度制与弧度制的换算公式完成换算，也可以利用计算器完成换算的近似值．在度量角的时候需要注意：防止出现角的两种度量制混用的现象；归纳小结归纳总结答案：（3）在弧度制下，扇形的弧长公式和面积公式分别是l=αR，S=

αR2，S=