2021-2022学年湖南省长沙市中建五局中学高一数学文期末试卷含解析

2021-2022学年湖南省长沙市中建五局中学高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.把函数的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移个单位，则所得图象的解析式为A．

B．

C．D.参考答案：C略2.光线从点发出，经过轴反射，再经过轴反射，最后光线经过点，则经轴反射的光线的方程为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A3.已知函数在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C4.用阴影部分表示集合，正确的是（

）

A

B

C

D参考答案：D略5.的值是（

）A.

B.-

C.

D.-参考答案：D6.已知三条不同的直线a，b，c，且，，则a与c的位置关系是（

）A. B.a与c相交于一点C.a与c异面 D.前三个答案都有可能参考答案：D【分析】根据直线与直线共面或异面判断位置关系即可。【详解】当直线共面时，直线可以平行或相交，直线异面时也可满足题目的条件，故选D.【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，属于基础题。7.某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（

）A.9

B．18

C.27

D．36参考答案：B根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果．设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得该单位老年职工共有90人，∵在抽取的样本中有青年职工32人，∴每个个体被抽到的概率是用分层抽样的比例应抽取×90=18人．故选B．

8.设集合M={x|―1≤x<2},N={x|x―k≤0},若M∩N≠φ,则k的取值范围是（

）A.k≤2

B.k≥―1

C.k>―1

D.―1≤k<2

参考答案：A略9.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE﹣CMFB，由此能求出AM与BN所成角的大小．【详解】如图所示，把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE﹣CMFB，∵CD∥BN，CD⊥AM，∴AM⊥BN，∴在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为90°．故选：B．【点睛】本题考查异面直线所成角的大小的求法，也考查数形结合与数学转化思想方法，属于基础题．10.在中，，则的大小为（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：解析：由平方相加得

若

则

又

选A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.中，点在边中线上，，则·（）的最小值为____________。参考答案：-8略12.偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）=．参考答案：3【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．【解答】解：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即f（x+4）=f（x），则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（1）=f（3）=3，因为f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）=f（x）是解决本题的关键，比较基础．13.若函数

的图象恒过定点P,则P点的坐标是

▲

.参考答案：略14.若直线上存在满足以下条件的点P:过点P作圆的两条切线(切点分别为A,B),四边形PAOB的面积等于3，则实数m的取值范围是_______参考答案：【分析】通过画出图形，可计算出圆心到直线的最短距离，建立不等式即可得到的取值范围.【详解】作出图形，由题意可知，，此时，四边形即为,而，故，勾股定理可知，而要是得存在点P满足该条件，只需O到直线的距离不大于即可，即，所以，故的取值范围是.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，意在考查学生的转化能力，计算能力，分析能力，难度中等.15.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于__________．参考答案：【分析】首先利用正三棱锥的性质，设底面边长为AB＝a，进一步求得侧棱长为：AC＝2a，顶点A在下底面的射影为O点．利用勾股定理求得：DE，进一步求得：OD，最后在Rt△AOD中，利用余弦公式求得结果．【详解】解：正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，如图，设底面边长为BC＝a，则：侧棱长为：AC＝2a顶点A在下底面的射影为O点．利用勾股定理求得：DE进一步求得：OD在Rt△AOD中，cos∠ADO故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：正三棱锥的性质，线面的夹角及相关的运算．16.我们知道，如果定义在某区间上的函数满足对该区间上的任意两个数、，总有不等式成立，则称函数为该区间上的向上凸函数（简称上凸）.类比上述定义，对于数列，如果对任意正整数，总有不等式：成立，则称数列为向上凸数列（简称上凸数列）.现有数列满足如下两个条件：（1）数列为上凸数列，且；（2）对正整数（），都有，其中.则数列中的第五项的取值范围为

.参考答案：略17.函数f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）的值域是．参考答案：[﹣,-].【考点】HW：三角函数的最值；HM：复合三角函数的单调性．【分析】f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）?f（x）=2cosx+2cos2x﹣1，利用配方法结合y=cosx的值域即可求得函数f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）的值域．【解答】解：∵f（x）=2cosx+cos2x=2cosx+2cos2x﹣1=2﹣，又﹣1≤cosx≤1，∴当cosx=1时，f（x）max=2×﹣=3，当cosx=﹣时，f（x）min=﹣；故函数f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）的值域是[﹣,-].三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（16分）一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图象P0点）开始计算时间，且点P距离水面的高度f（t）（米）与时间t（秒）满足函数：f（t）=Asin（ω+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）．（1）求函数f（t）的解析式；（2）点P第二次到达最高点要多长时间？参考答案：【考点】二次函数的性质；已知三角函数模型的应用问题．【分析】（1）先根据z的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当x=0时，z=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得；（2）令f（t）=4sin（）+2=6，）?sin（）=1，=解得t．【解答】解：（1）依题意可知z的最大值为6，最小为﹣2，∴，，∴f（t）=4sin（φ）+2，当t=0时，f（t）=0，得sinφ=﹣，φ=﹣，故所求的函数关系式为f（t）=4sin（）+2，（2）令f（t）=4sin（）+2=6，）?sin（）=1，=得t=16，故点P第二次到达最高点大约需要16s．【点评】本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了运用三角函数的最值，周期等问题确定函数的解析式，属于中档题．19.已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=?，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调增区间．参考答案：【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）首先根据向量的数量积的坐标运算求得f（x）=msin2x+ncos2x，进一步根据图象经过的点求得：m和n的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：=，f（x）向左平移φ个单位得到g（x）=2sin（2x+2Φ+）设g（x）的对称轴x=x0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：g（x）=2sin（2x+）=2cos2x，进一步求得单调区间．【解答】解：（Ⅰ）已知：，，则：=msin2x+ncos2x，y=f（x）的图象过点y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．则：解得：，即：m=，n=1（Ⅱ）由（Ⅰ）得：=，f（x）向左平移φ个单位得到：g（x）=2sin（2x+2Φ+），设g（x）的对称轴x=x0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：，则：g（0）=2，解得：Φ=，所以：g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．令：﹣π+2kπ≤2x≤2kπ（k∈Z）则：单调递增区间为：[]（k∈Z）故答案为：（Ⅰ）m=，n=1（Ⅱ）单调递增区间为：[]（k∈Z）20.等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足，，，，.（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）令，求数列{cn}的前n项和Tn.参考答案：（1），；（2）【分析】（1）由是等差数列，，，可求出，由是等比数列，，，，可求出；（2）将和的通项公式代入，则，利用裂项相消求和法可求出.【详解】(1)，，，解得.又，，.（2）由（1），得【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式的求法，考查了用裂项相消求数列的前项和，属于中档题。21.已知函数f(x)=x2+ax+b（1）若对任意的实数x都有f(1+x)=f(1－x)成立，求实数a的值；（2）若f(x)为偶函数，求实数a的值；（3）若f(x)在[1，+∞)内递增，求实数a的范围。参考答案：解析：（1）∵f(1+x)=f(1－x)

∴的图象关于直线对称

∴

即

（2）∵f(x)为偶函数，

∴

对于一切实数x恒成立即

∴

∴

（3）∵f(x)在[1，+∞)内递增

∴

∴

即实数a的范围为22.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，首项，且，正项数列{bn}满足，.（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）记，是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？若存在，求正整数k的最小值，若不存在，请说明理由.参考答案：（1）；（2）见解析【分析】（1）先设等比数列的公比为，根据题中条件，求出公比，即可得出的通项公式；再由累乘法求出，根据题中条件求出，代