2022年山西省忻州市北方中学高三数学理月考试卷含解析

2022年山西省忻州市北方中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列是各项均为正数的等比数列，，则的最小值为（

）A．8

B．16

C．64

D．128参考答案：2.函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为

A．

B．

C．

D．参考答案：A3.下面四个条件中，使成立的充分不必要条件为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A因为，所以是成立的一个充分不必要条件，选A.4.设是非零向量，若函数的图像是一条直线，则必有（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A5.在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的,且样本容量为200,则中间一组有频数为A．40

B．32

C．0.2

D．0.25参考答案：A略6.计算的值是

A．

B.

C.

D.参考答案：A7.命题“若是奇函数，则是奇函数”的否命题是（

）A.若是偶函数，则是偶函数

B.若不是奇函数，则不是奇函数C.若是奇函数，则是奇函数

D.若不是奇函数，则不是奇函数参考答案：B8.复数与的积是纯虚数，则…………………（

）A．且

B．或

C．且

D．或参考答案：答案：C9.设且，则的最小值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A10.执行如图的程序框图，则输出的值等于(

)

A．91

B．55

C．54 D．30参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义域为的函数满足，当时，

，若时，恒成立，则实数的取值范围是

参考答案：-1≤t≤312.已知关于x的二项式的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为

参考答案：2略13.若向量满足，且与的夹角为，则_________．参考答案：14.已知函数的最小正周期是，则正数______.

参考答案：2略15.在三角形ABC中，点M是线段BC的中点，，则______.参考答案：【分析】根据可以判断出为直角三角形且为斜边且长度为，从而可求斜边上的中线的长.【详解】因为，故，化简得到，故为直角三角形且为斜边.又，故，因为为斜边上的中线，故.故答案为：.【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，．特别地，两个非零向量垂直的等价条件是.16.圆心在直线上的圆C与x轴交于两点，则圆C的方程为___．参考答案：试题分析：先由条件求得圆心C的坐标，再求出半径r=|AC|，从而得到圆C的方程．因为直线AB的中垂线方程为x=-3，代入直线x-2y+7=0，得y=2，故圆心的坐标为C（-3，2），再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=∴圆C的方程为．故答案为．考点：圆的标准方程．17.已知函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围．参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数f（x）=|xex|是分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（﹣∞，﹣1）上为增函数，在（﹣1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（﹣∞，0）上，当x=﹣1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在内，一个在内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值范围．【解答】解：f（x）=|xex|=当x≥0时，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；当x＜0时，f′（x）=﹣ex﹣xex=﹣ex（x+1），由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＞0，f（x）为增函数，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＜0，f（x）为减函数，所以函数f（x）=|xex|在（﹣∞，0）上有一个极大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在内，一个根在内，再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，则只需g（）＜0，即，解得：t＜﹣．所以，使得函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是．故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈?，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．19.设m个正数a1，a2，…，an（m≥4，m∈N*）依次围成一个圆圈．其中a1，a2，a3，…，ak﹣1，ak（k＜m，k∈N*）是公差为d的等差数列，而a1，am，am﹣1，…，ak+1，ak是公比为q的等比数列．（1）若a1=d=1，q=2，k=8，求数列a1，a2，…，am的所有项的和Sm；（2）若a1=d=q=3，m＜2015，求m的最大值；（3）当q=2时是否存在正整数k，满足a1+a2+…+ak﹣1+ak=3（ak+1+ak+2+…+am﹣1+am）？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】等比关系的确定；等比数列的通项公式．【专题】分类讨论；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可得：ak=8，因此数列a1，a2，…，am为1，2，3，4，5，6，7，8，4，2共10个数，即可得出．（2）由于a1，a2，a3，…，ak﹣1，ak（k＜m，k∈N*）是首项为3，公差为3的等差数列，可得ak=3k．而a1，am，am﹣1，…，ak+1，ak是公比为q的等比数列，可得ak=3m+2﹣k，因此3k=3m+2﹣k，要使m最大，则k必须最大．又k＜m＜2015，即可得出；（3）由a1，a2，a3，…，ak﹣1，ak（k＜m，k∈N*）是公差为d的等差数列，可得ak=a1+（k﹣1）d．而a1，am，am﹣1，…，ak+1，ak是公比为2的等比数列，可得ak=．故a1+（k﹣1）d=，（k﹣1）d=a1（2m+1﹣k﹣1）．又a1+a2+…+ak﹣1+ak=3（ak+1+ak+2+…+am﹣1+am），am=2a1，化简整理即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：ak=8，因此数列a1，a2，…，am为1，2，3，4，5，6，7，8，4，2共10个数，此时m=10，Sm=42．（2）∵a1，a2，a3，…，ak﹣1，ak（k＜m，k∈N*）是首项为3，公差为3的等差数列，∴ak=3k．而a1，am，am﹣1，…，ak+1，ak是公比为q的等比数列，∴ak=3m+2﹣k，因此3k=3m+2﹣k，∴k?3k=3m+1，要使m最大，则k必须最大．又k＜m＜2015，故k的最大值为36，可得36?3729=3m+1，解得m的最大值是734．（3）由a1，a2，a3，…，ak﹣1，ak（k＜m，k∈N*）是公差为d的等差数列，可得ak=a1+（k﹣1）d．而a1，am，am﹣1，…，ak+1，ak是公比为2的等比数列，∴ak=．故a1+（k﹣1）d=，∴（k﹣1）d=a1（2m+1﹣k﹣1）．又a1+a2+…+ak﹣1+ak=3（ak+1+ak+2+…+am﹣1+am），am=2a1，∴=3×2a1×，则ka1+=6（2m﹣k﹣1），则+k=6（2m﹣k﹣1），即k?2m+1﹣k+k=6×2m+1﹣k﹣12，k≠6，则2m+1﹣k==﹣1+，∴k＜6，代入验证可得：当k=4时，上式等式成立，此时m=6．综上可得：当且仅当m=6时，存在k=4满足等式．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.设函数，其中常数a＞1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出导函数，利用导数大于0对应的为原函数的增区间，导数小于0对应的为原函数的减区间，即可求f（x）的单调性；（2）由（1）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值，所以须满足最小值大于0，解不等式组即可求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=x2﹣2（1+a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a），由已知a＞1，∴2a＞2，∴令f′（x）＞0，解得x＞2a或x＜2，令f′（x）＜0，解得2＜x＜2a，故当a＞1时，f（x）在区间（﹣∞，2）和（2a，+∞）上是增函数，在区间（2，2a）上是减函数．（2）由（1）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值．=，f（0）=24a．则即解得1＜a＜6，故a的取值范围是（1，6）．21.

已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.(1）求证：f(8)＝3

(2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集.参考答案：（1）由题意得f(8)＝f(4×2)＝f(4)＋f(2)＝f(2×2)＋f(2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2)又∵f(2)＝1

∴f(8)＝3