云南省昆明市安宁一六街乡中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析

云南省昆明市安宁一六街乡中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题中，真命题是：

（

）A．

B．C．a+b=0的充要条件是=-1

D．a>1,b>1是ab>1的充分条件参考答案：D略2.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点（，0）d对称C．函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称D．函数f（x）在[，π]上单调递增参考答案：D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】由题意可求f（x）的周期T，利用周期公式可求ω，函数f（x+）是偶函数，可得+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得φ，可得解析式f（x）=sin（2x+），利用正弦函数的图象和性质即可判断求解．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，∴函数f（x）的周期T=π，故A错误；∵ω＞0∴ω=2，∴函数f（x+）的解析式为：f（x）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵函数f（x+）是偶函数，∴+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得：φ=．∴f（x）=sin（2x+）．∴由2x+=kπ，k∈Z，解得对称中心为：（﹣，0），k∈Z，故B错误；由2x+=kπ+，k∈Z，解得对称轴是：x=，k∈Z，故C错误；由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得单调递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z，故D正确．故选：D．3.已知函数的图象是下列四个图象之一，其导函数的图象如右图所示，则该函数的图象是（

）参考答案：B略4.若一元二次不等式的解集为，则的解集为A．

B．C．

D．参考答案：C5.已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且，则等于（）A．++ B．++C．++ D．++参考答案：D【考点】空间向量的加减法．【专题】数形结合；转化思想；空间向量及应用．【分析】如图所示，，=+，=，=+，=，=，代入化简即可得出．【解答】解：如图所示，，=+，=，=+，=，=，∴==+．故选：D．【点评】本题考查了向量共线定理、向量三角形法则与平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，则满足条件a的值为（）A． B． C．﹣2 D．2参考答案：C【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】直线与圆．【分析】根据两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得a的值．【解答】解：根据两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，可得，求得a=﹣2，故选C．【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．7.5人站成一列，甲、乙两人相邻的不同站法的种数为（）A.18 B.24 C.36 D.48参考答案：D【分析】将甲、乙两人捆绑在一起，再利用排列公式得到答案.【详解】将甲、乙两人捆绑在一起，不同站法的种数为：故答案选D【点睛】本题考查了排列组合中的捆绑法，属于简单题.8.若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝()A.x－1 B.x＋1

C.2x＋1 D.3x＋3参考答案：B略9.已知a是实数，是纯虚数，则a=（）A．1B．﹣1C．D．﹣参考答案：A【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数分母为实数，复数化为a+bi（a、b是实数）明确分类即可．【解答】解：由是纯虚数，则且，故a=1故选A．10.复数的共轭复数的虚部为（

）A.1 B.3 C. D.参考答案：D【分析】根据复数的除法运算、共轭复数的定义求得共轭复数，从而可知虚部.【详解】

的共轭复数为：虚部为：本题正确选项：【点睛】本题考查复数的除法运算、共轭复数的求解、复数的实部和虚部的定义，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数满足，，则函数无极值的概率是

．参考答案：略12.已知实数满足约束条件,则的最小值为

．参考答案：313.设函数f（x）=，若f（a）+f（﹣1）=3，则a=．参考答案：e或【考点】5B：分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式求出f（﹣1），进而求出f（a）=1，解方程即可．【解答】解：f（﹣1）=（）﹣1=2，则由f（a）+f（﹣1）=3，得f（a）=﹣f（﹣1）+3=3﹣2=1，若a＞0，则f（a）=|lna|=1，即lna=1或lna=﹣1，即a=e或a=，若a＜0，则f（a）=（）a=1，则a=0不成立，故a=e或a=，故答案为：e或．14.已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示．则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是．参考答案：30【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，即可求出正确的结果．【解答】解：根据频率分布直方图，得；消费支出超过150元的频率（0.004+0.002）×50=0.3，∴消费支出超过150元的人数是100×0.3=30．故答案为：30．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题．15.某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，5，x，4天。四道工序的先后顺序及相互关系是：A,B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B,C完成后，D可以开工。若完成该工程共需9天，则完成工序C需要的天数最大是______参考答案：316.若a2－ab＋b2＝1，a，b是实数，则a＋b的最大值是_

____．参考答案：217.设的内角所对边的长分别为.若，则则角_________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，命题q：?x∈[1，2]，x2﹣a≥0，若p∨q为真，p∧q为假．求实数a的取值范围．参考答案：【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据二次函数的图象和性质我们可以求出命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立时，及命题q：?x∈[1，2]，x2﹣a≥0时，a的取值范围，根据p∨q为真，p∧q为假，结合复合命题的真值表，可得p、q一真一假，分类讨论后可得实数a的取值范围．【解答】解：设g（x）=x2+2ax+4，由于关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，所以函数g（x）的图象开口向上且与x轴没有交点，故△=4a2﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2．…（2分）若q为真命题，a≤x2恒成立，即a≤1．…由于p或q为真，p且q为假，可知p、q一真一假．…①若p真q假，则∴1＜a＜2；…（7分）②若p假q真，则∴a≤﹣2；…（9分）综上可知，所求实数a的取值范围是{a|1＜a＜2或a≤﹣2}…（10分）【点评】本题以复合命题的真假判断为载体考查了二次不等式恒成立问题，其中根据二次函数的图象和性质，分别求出对应的a值，是解答本题的关键．19.某大学高等数学这学期分别用A、B两种不同的数学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）.现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图。学校规定：成绩不得低于85分的为优秀（1）根据以上数据填写下列的2×2的列联表

甲

乙

总计

成绩优秀

成绩不优秀

总计

（2）是否有99%的把握认为成绩优异与教学方式有关？”(计算保留三位有效数字)下面临界值表仅供参考：

参考答案：（1）见解析；（2）没有99%的把握认为成绩优异与教学方式有关.【分析】（1）结合茎叶图给出的数据，直接填写表格即可；（2）结合第（1）问表格利用公式，参照临界值表作出判断.【详解】（1）

甲

乙

总计

成绩优秀31013成绩不优秀171027总计202040

(2)由公式可得，没有99%的把握认为成绩优异与教学方式有关【点睛】本题考查了列联表与独立性检验，属于基础题.20.某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球,根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下:其余情况无奖,且每次摸奖最多只能获得一个奖级.(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额的分布列.参考答案：（1）；（2）分布列见解析.【分析】（1）根据超几何分布概率公式可求得结果；（2）首先确定所有可能的取值，再分别求解出对应的概率，从而可得分布列.【详解】(1)设表示摸到个红球,则恰好摸到个红球的概率为：(2)的所有可能值为，，，则；；；的分布列为：21.某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为x米，钢筋网的总长度为y米．（Ⅰ）列出y与x的函数关系式，并写出其定义域；（Ⅱ）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？（Ⅲ）若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过25米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？参考答案：【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义；基本不等式．【分析】第一问较简单，别忘记写定义域；第二问用到基本不等式的性质注意能否取到“=”；第三问在求函数的单调区间时可以用导数求，也可以用函数单调性的定义求解，都能得到y在（0，25]上是单调递减函数；再求出函数最值．【解答】解：（Ⅰ）∵矩形的宽为：米，∴=定义域为{x|0＜x＜150}；（Ⅱ）y=当且仅当即x=30时取等号，此时宽为：米，∴长为30米，宽为15米，所用的钢筋网的总长度最小．

（Ⅲ）法一：y=（0＜x≤25），∵∴当0＜x≤25时，x+30＞0，x﹣30＜0，x2＞0∴y'＜0∴y在（0，25]上是单调递减函数

∴当x=25时，，此时，长为25米，宽为米所以，长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小．

法二：设，0＜x1＜x2≤25，则=；∵0＜x1＜x2≤25，∴x2﹣x1＞0